山西省太原市小店區第一中學2023年高二數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果一組數x1，x2，…，xn的平均數是，方差是s2，則另一組數x1+，x2+，…，xn+的平均數和方差分別是（）A．x，s2

B．x+，s2C．x+，3s2 D．x+，3s2+2s+2參考答案：C【考點】眾數、中位數、平均數；極差、方差與標準差．【分析】根據一組數是前一組數x1，x2，…，xn擴大倍后，再增大，故其中平均數也要擴大倍后，再增大，而其方差擴大（）2倍，由此不難得到答案．【解答】解：∵x1，x2，…，xn的平均數是，方差是s2，∴的平均數為，的方差為3s2故選C2.函數的最小值為

A．5

B．6

C

7

D.8參考答案：D3.要得到函數y=sin()的圖象，需將函數的圖象(A)向左平單位

(B)向右平移單位(C)向左平移單位

(D)向右平移單位

參考答案：B4.用秦九韶算法求多項式在時的值，的結果是（

）

A.

B.

C.5

D.6參考答案：D5.在區域內任意取一點，則的概率是

（

）A．0

B．

C．

D．參考答案：D略6.命題：“若a2+b2=0（a，b∈R），則a=b=0”的逆否命題是（）A．若a≠b≠0（a，b∈R），則a2+b2≠0B．若a=b≠0（a，b∈R），則a2+b2≠0C．若a≠0且b≠0（a，b∈R），則a2+b2≠0D．若a≠0或b≠0（a，b∈R），則a2+b2≠0參考答案：D【考點】四種命題．【分析】根據逆否命題的定義，直接作答即可，注意常見邏輯連接詞的否定形式．【解答】解：“且”的否定為“或”，因此其逆否命題為“若a≠0或b≠0，則a2+b2≠0”；故選D．【點評】此類題型考查四種命題的定義與相互關系，一般較簡單，但要注意常見邏輯連接詞的運用與其各自的否定方法、形式．7.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．

B．16

C．8

D．24參考答案：C由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，由正視圖及側視圖可知底面三角形的底為4，由側視圖可知底面三角形的高為，三棱錐的高為，故可得幾何體的體積，故選C.

8.一個幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中△是邊長為的正三角形，俯視圖為正六邊形，則側視圖的面積為（

）A

B

C

D參考答案：A9.在等差數列中，已知，則該數列前11項的和等于A．58

B．88

C．143

D．176參考答案：B10.在平面直角坐標系中，若方程表示的曲線為橢圓，則的取值范圍是（

）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知a，b為異面直線，且a，b所成角為40°，直線c與a，b均異面，且所成角均為θ，若這樣的c共有四條，則θ的范圍為．參考答案：（70°，90°）考點：異面直線及其所成的角．專題：空間位置關系與距離．分析：由已知中a，b所成角為40°，平面α上兩條直線m，n分別滿足m∥a，n∥b，則m，n相交，且夾角為40°，且直線c與m，n所成角均為θ，分類討論θ取不同值時，直線c的條數，最后根據討論結果，可得答案．解答：解：設平面α上兩條直線m，n分別滿足m∥a，n∥b則m，n相交，且夾角為40°，若直線c與a，b均異面，且所成角均為θ，則直線c與m，n所成角均為θ，當0°≤θ＜20°時，不存在這樣的直線c，當θ=20°時，這樣的c只有一條，當20°＜θ＜70°時，這樣的c有兩條，當θ=70°時，這樣的c有三條，當70°＜θ＜90°時，這樣的c有四條，當θ=90°時，這樣的c只有一條，故答案為：（70°，90°）點評：本題考查的知識點是異面直線及其所成的角，熟練掌握空間直線與直線夾角的定義及幾何特征是解答的關鍵．12.已知定義在R上的可導函數f(x)的導函數為，滿足，且為偶函數，，則不等式的解集為______參考答案：(0,+∞)【分析】令，利用導數和已知即可得出其單調性．再利用函數的奇偶性和已知可得，即可得出．【詳解】設，，．所以函數是上的減函數，函數是偶函數，函數，函數關于對稱，（4），原不等式等價為，不等式等價，．在上單調遞減，．故答案為:【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、利用函數的單調性解不等式、函數的奇偶性及對稱性的應用．13.已知集合，，則=___________．參考答案：14.樣本中共有五個個體，其值分別為a，0，1，2，3．若該樣本的平均值為1，則樣本方差為

．參考答案：2【考點】極差、方差與標準差；眾數、中位數、平均數．【分析】根據平均數公式先求出a，再求出方差，開方得出標準差．【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均數是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，根據方差計算公式得s2=[（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2故答案為：215.在等差數列中已知，a7=8，則a1=_______________參考答案：D略16.如果函數，那么函數的最大值等于

▲

．參考答案：3

17.已知直線是曲線的切線，則實數k的值為

．參考答案：e若，則，設曲線上點的坐標為，則切點處切線的斜率，此時切線方程為：，切線為，則切線過坐標原點，即：,解得：，則：.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知橢圓的焦點在軸上，中心在原點，離心率，直線和以原點為圓心，橢圓的短半軸為半徑的圓相切．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為、，點是橢圓上異于、的任意一點，設直線、的斜率分別為、，證明為定值.參考答案：（Ⅰ）橢圓方程

19.某校統計了高一年級兩個重點班的所有學生期中考試數學成績，根據考試分數，學生成績在[90，150]范圍內，得結果如表：甲班：分組[90，105）[105，120）[120，135）[135，150）頻數1025105乙班：分組[90，105）[105，120）[120，130）[135，150）頻數3172010（1）規定分數120分以上的為學生為優秀學生，分別估計兩個班的優秀學生率；（2）由以上統計數據填寫2×2列聯表，并問是否有99%的把握認為“兩個班的優秀學生有差異”．（參考9題數據）參考答案：【考點】BP：回歸分析．【分析】（1）求出甲、乙班人數和優秀人數，計算優秀率；（2）由以上統計數據填寫2×2列聯表，計算K2，對照臨界值得出結論．【解答】解：（1）甲班人數是10+25+10+5=50，優秀人數是10+5=15，優秀率是=30%；乙班人數是3+17+20+10=50，優秀人數是20+10=30，優秀率是=60%；（2）由以上統計數據填寫2×2列聯表如下，

非優秀學生優秀學生總計甲班351550乙班203050總計5545100根據表中數據，計算K2=≈9.091＞6.635，對照臨界值得出，能有99%的把握認為“兩個班的優秀學生有差異”．20.(本題滿分12分)(文)已知函數f(x)=x2(x-a)．(1)若f(x)在(2，3)上單調，求實數a的取值范圍；(2)若f(x)在(2，3)上不單調，求實數a的取值范圍．參考答案：解：由f(x)=x3-ax2得f′(x)=3x2-2ax=3x(x-)．…………3分(1)若f(x)在(2，3)上單調，則≤0，或0<≤2，解得：a≤3．…………6分∴實數a的取值范圍是(-∞，3]．…………8分(2)若f(x)在(4，6)上不單調，則有4<<6，解得：6<a<9．…………11分∴實數a的取值范圍是(6，9)．…………12分

略21.如圖，在直三棱柱中，AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分別是AA1和B1C的中點求證：DE∥平面ABC；求三棱錐E-BCD的體積。參考答案：⑴取BC中點G，連接AG，EG，因為是的中點，所以EG∥，且．由直棱柱知，，而是的中點，

所以，…………4分所以四邊形是平行四邊形，所以，又平面，

所以∥平面．

………7分⑵因為，所以平面，

所以，………10分由⑴知，∥平面，所以．…14分

22.