華華期末考試試卷 卷2012~20131（閉卷）考試科目：高等數學考試時間：分題題—二三四總得評閱訂分分1y11

1lim(14xx 設yln(sinx)，則dy xln不定積分1dxxln

1dx 1 分分 設f(x)xsinx,x0,在點x0處必 x連續但不可 D．不連續，故不可(,曲線y1在點 處的切線方程 (, y4x4 B．4xy4C．y4x4 D．4xy4設f(x)為連續函數，則df(x)dx f f C．f(x) D．fx設(x)0(t1)(t2)dt，則'(0) x D．若函數f(x)f(x),(x，在(0)f'x0f''x0則在(0,)內 分分求極限

exexsinF(x

xtf(t)dt

xx

f(xf(0)0，試確定xln(1t3設參數方程 ytsin

4.4.計算不定積分1dx裝f(x)x4)3(x1)2訂線 f(x)1

x x

求f(x1)dx已知sinxf(x的一個原函數，求x3f'(x)dxx分分四、解答題（3721分x1lnx2(x1)xf(x在0,1上連續，在(0,1f(0)f(1)0存在一點0,1f'(2f(0yax(0x1)yx2S該最小值所對應的平面圖形繞x軸旋轉所得旋轉體的體積。華華 期末考試試卷 卷2012~2013學年第1學期 考試科目：高等數學AⅠ參考答案一、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分） 2．e 3．cot 4．ln|lnx| 5．裝

二、單項選擇題（本大題共5小題，每小題3分，共15分 三、計算題（本大題共7小題，每小題7分，共49分exex求極限 exe

sin

exex4 sin

27線xtf設F(x)

xx

f(xf(00，試確定解

limxf

f(0)0tf tf所以當c0F(x2x0F'(xf(x)

tf 3 F'(0)

F(x)F

xtf0

f(x)

f

4

xtf

x0 f(x)2 ,xF'(x 5f'(0) x

xx2f(x) xlimF'(x) 20tf(t)dtlim2xf(xxf'(x2xf(x)f'(0) F'(xx0xln(1t3設參數方程 ytsin

解dy2tsintt2cost2dx3t 1t3

計算不定積分 dx。xsint,t,dxcostdt．2 dx

costdt

dt．4tttantC．5tt1C13(xf(x)3(x

5(x33x解：5(x33xy 2993(xy0x24x1時取得極大值05x1時取得極小值3346分拐點為(2,6)7分 1 xf(x1

2求0f(x1)dx2

x1原式1f(t)dt1 1 f(t)dt f(t)dt

dt3 ＝ ＝線線

11dtdt[ln(1t)]15

010＝1(et1

)detln26

1et

ln2ln(e1)7x已知sinxf(x的一個原函數，求x3f'(x)dxxsinxf(xxf(x

sin(

)'

xcosxsinx

2則x3f'(x)dxx3df(x)3＝x3f(xf(x)dx3x3f(x3x2f(x)dx5＝x(xcosxsinx3(xcosxsinx)dx＝x2cosx4xsinx6cosxC四、解答題（3721分1時x1)。x1f(xlnx2(xx(x

(x1)f'(xx(x1)23x1f'(x0f(x分x1f(x)f(15分f(1)06所以lnx2(x1)0，即lnx2(x1)x x設f(x)x1lnx2(x1) (x1)．分則f(x)lnxx12lnx112分 f(x11111 x1f(x0f(xf(xf(1)f(x0，也f(x分而f(1)06分所以x1lnx2(x1)0，即lnx2(x1)xf(x在0,1上連續，在(0,1)f(0)存在一點0,1)f'(2f(0

F(xe2xf(x2則F(x)在0,1上連續，在(0,1)內可導3分F(0)F(1)4F'(2e2f(e2f'(06f'(f'(2f()03.yax(0a1)yx2S1x1所圍圖形的面積為S2（1）試確定a的值使S1S2達到最??；（2）aa

63S1(x2ax)dx 3 所以SS1S232S'1

2令S1a20，得a

或a22 22

（舍去2S''2a，S''(2) 2所以當a 2時陰影部分的面積S與S之和最?。? （2）V

)dx x