動力工程及工程熱物理學科研究生高等傳熱學（32課時）高等傳熱學內容第一章導熱理論和導熱微分方程第二章穩態導熱 第三章非穩態導熱第四章凝固和熔化時的導熱第五章導熱問題的數值解第六章對流換熱基本方程第七章層流邊界層的流動與換熱第八章槽道內層流流動與換熱第九章湍流流動與換熱第十章自然對流第十一章熱輻射基礎第十二章輻射換熱計算

第十三章復合換熱第一章導熱理論和導熱微分方程

相互接觸的物體各部分之間依靠分子、原子和自由電子等微觀粒子的熱運動而傳遞熱量的過程稱為導熱。在純導熱過程中物體各部分之間沒有宏觀運動。與固體物理的理論研究方法不同，傳熱學研究導熱問題時不是對導熱過程的微觀機理作深入的分析，而是從宏觀的、現象的角度出發，以實驗中總結出來的基本定律為基礎進行數學的推導，以得到如溫度分布、溫度-時間響應和熱流密度等有用的結果。1-1導熱基本定律

1-1-1溫度場由于傳熱學以宏觀的、現象的方式來研究導熱問題，因此必須引入連續介質假定，以便用連續函數來描述溫度分布。溫度場就是在一定的時間和空間域上的溫度分布。它可以表示為空間坐標和時間的函數。由于溫度是標量，溫度場是標量場。常用的空間坐標系有三種：直角坐標系、柱坐標系和球坐標系。在直角坐標系中，溫度場可以表示為

（1-1-1）式中：t表示溫度；x、y、z為三個空間坐標；τ表示時間。若溫度場各點的溫度均不隨時間變化，即，則稱該溫度場為穩態溫度場，否則為非穩態溫度場。若溫度場只是一個空間坐標的函數，則稱為一維溫度場；若溫度場是兩個或三個空間坐標的函數，則稱為二維或三維溫度場。

1-1-2等溫面與溫度梯度物體內溫度相同的點的集合所構成的面叫做等溫面。對應不同溫度值的等溫面構成等溫面族。等溫面與任一截面的交線形成等溫線。由于等溫線具有形象直觀的優點，二維溫度場常用等溫線來表示溫度分布。由于在同一時刻物體的一個點上只能有一個溫度值，所以不同的等溫面不可能相交。它們或者在域內形成封閉曲線，或者終止于物體的邊界。如圖1-l所示，在物體內某一點P處，沿空間某一方向l的溫度的變化率

1-1導熱基本定律稱為溫度場沿該方向的方向導數。

1-1導熱基本定律圖1-l等溫線和溫度梯度因為沿等溫面方向溫度不變，所以溫度場在等溫面方向的方向導數為零。對于確定的空間點，在空間各方向上最大的方向導數稱為該點的梯度。所以，溫度梯度是一個向量。溫度梯度的方向是溫度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向導數。溫度梯度可以記作gradt或▽t。溫度梯度在任一方向l的投影就是該方向的方向導數。若l方向與gradt的夾角為θ，則（1-1-3）其中l是l方向的單位向量；顯然，溫度梯度垂直于過該點的等溫面。

1-1導熱基本定律在直角坐標系中。溫度梯度在三個坐標軸上的投影分別為、、，則有（1-1-4）其中i、j、k分別為x、y、z在坐標軸上的單位向量。在一般的正交坐標系中梯度的表達式將在以后討論。連續溫度場內的每—點都對應一個溫度梯度向量，所以溫度梯度構成一個向量場。

1-1導熱基本定律1-1-3熱流向量單位時間內通過單位面積傳遞的熱量稱為熱流密度，記作q，單位為W/m2。對確定的空間點、在不同方向上熱流密度是不同的。與定義溫度梯度的方法一樣，可以定義一點處的熱流向量。熱流向量的方向是熱流密度最大的方向，其大小等于該方向的熱流密度。熱流向量記作q。任一方向的熱流密度等于熱流向量在該方向的投影。在連續溫度場內的每一點都對應一個熱流向量，所以熱流向量也構成一個熱流向量場，或稱熱流場。在直角坐標系中（1-1-5）1-1導熱基本定律1-1-4傅里葉定律以實驗觀察為基礎并經過科學的抽象，1822年法國數學物理學家傅里葉（JosephFourier）提出了把溫度場和熱流場聯系起來的基本定律。對于各向同性（材料的導熱系數不隨方向改變）的物體，傅里葉定律可表述為：熱流向量與溫度梯度成正比，方向相反。因為溫度梯度是指向溫度升高的方向，而根據熱力學第二定律，熱流總是朝著溫度降低的方向，或用數學形式表示為（1-1-6）其中λ稱為材料的導熱系數。1-1導熱基本定律把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里葉定律在直角坐標系中的投影表達式為（1-1-7）傅里葉定律適用于穩態和非穩態的、無熱源和有熱源的溫度場，也適用于常物性和物性隨溫度改變的情況。但對于各向異性材料將必須作一定的修改。1-1導熱基本定律傅里葉定律建立了溫度場和熱流場之間的聯系，溫度場確定之后熱流場就被唯一地確定，并且可進一步求得經物體內部或邊界上任意表面傳導的熱流量Q（如圖1-2所示）：（1-1-8）（1-1-9）其中，dA是面積元向量，方向為表面的外法線方向。1-1導熱基本定律圖1-2通過任意表面的熱流量

1-1-5導熱系數傅里葉定律的另一個作用就是定義了導熱系數，即（1-1-10）在導熱分析中，導熱系數是一個重要的物性參數，在給定溫度梯度的條件下熱流密度的大小正比于導熱系數。在國際單位制中，導熱系數的單位是W/(m·K)。導熱系數與材料的種類及其所處的狀態有關。固體、液體與氣體，金屬與介電質的內部結構不同，導熱的機理也有很大的差異。對于絕大多數材料，現在還不能根據其結構和導熱機理來計算其導熱系數。各種實際應用材料的導熱系數主要是通過實驗的方法得到的。目前已有一系列不同的實驗方法可用來測定各種材料在不同溫度范圍內的導熱系數，特別是20世紀60年代以來發展起來的多種非穩態的方法，由于其測試時間短（幾秒至幾十秒）、適應性強等優點，已被廣泛采用。1-1導熱基本定律一般來說，材料的導熱系數是溫度的函數。大多數純金屬的導熱系數隨溫度的升高而減小，而氣體與介電材料的導熱系數隨溫度的升高而增加。在極低溫條件下（0-60K），金屬的導熱系數隨溫度有劇烈的變化，且可以達到很高的值。例如，純銅在10K時的導熱系數可達1.9×104W/(m·K)。對于液體和氣體，特別是在接近臨界狀態的條件下，導熱系數還與壓力有關。接近真空的稀薄氣體中的傳熱已不屬于經典的導熱過程。在求解導熱問題時常常假定導熱系數是常量，即不隨溫度變化。根據傅里葉定律，此時熱流與溫度梯度成線性關系，問題的求解可以得到很大簡化。在需要考慮導熱系數隨溫度變化而溫度變化范圍又不太大時，工程上常用線性關系來近似導熱系數與溫度的關系，即（1-1-11）1-1導熱基本定律為了對各種材料導熱系數的大小有一個數量級的概念，一些典型材料在通常工程溫度范圍內的導熱系數的范圍列于下面：金屬50-415W/(m·K)合金l2-120W/(m·K)非金屬液體0.17-0.7W/(m·K)隔熱材料0.02-0.17W/(m·K)大氣壓力下的氣體0.007-0.17W/(m·K)從以上數據可以看到，在通常的溫度范圍內導熱性能最好的材料與最差的材料相比，導熱系數大約相差5個數量級。這雖然是相當懸殊的差別，但從實際應用的需要來看，導熱材料和隔熱材料在導熱性能上的反差仍顯得太小。1-1導熱基本定律半無限大的物體引入過余溫度問題的解為

誤差函數無量綱變量誤差函數：令說明:一旦物體表面發生了一個熱擾動，無論經歷多么短的時間無論x有多么大，該處總能感受到溫度的變化。

無量綱坐標傅里葉定律的局限性熱擾動應該以一定的速度傳播。修正的傅里葉定律a熱擴散率c熱傳播速度松弛時間

在深冷時或在熱負荷急劇變化的場合，左邊第一項不能略去。俄羅斯流變學家AlxanderMalkin的流變學教材Rheology:Concepts,MethodsandApplications在第2章介紹粘彈性的時候，專門用一塊小字號的閱讀材料來解釋什么叫松弛時間——而且是作為物理學的一般性概念來介紹，簡短明快，值得借鑒。Relaxationtime—generalconceptinphysicsTheconceptofrelaxationhasageneralmeaningformanyphysicalphenomena.Itisareflectionofanideaofrestorationofequilibriumstatefromanonequilibriumcondition,regardlessofthereasonswhichcausedthedeparturefromequilibrium.Forexample,thiscanbeconcentrationfluctuationcausedbypurelystatisticalreasonsaswasconsideredbyMaxwell.LettheequilibriumvalueofsomephysicalparameterbeX∞,currentvalueofthisparameterbeX,andletitbesupposedthattherateofapproachofequilibriumisproportionaltothedistancefromtheequilibrium.Thisassumptionimmediatelyleadstothefollowingfirst-orderkineticequation:

wherekisakineticrateconstantwiththedimensionofreciprocaltime.TheparameterXintheinitialstateequalstoX0.Then,thesolutionofthisequationis

Now,ifX∞=0,thenthesimplestformofthisequationis

(*)Thelasttwoequationsdescribetherelaxationprocess,andthevalueof

iscalledthe

relaxationtime.Itsvaluecharacterizestherateofapprochoftheequilibrium(butnotthecompletetimenecessarytoreachthisequilibriumbecauseitisinfinitelylargeaccordingtoequation*）.松弛時間：溫度場的重新建立滯后于熱擾動改變的時間。§

1.2

導熱問題的數學描述（數學模型）

1.導熱微分方程式導熱微分方程式+單值性條件建立數學模型的目的：求解溫度場假設：1）物體由各向同性的連續介質組成；

2）有內熱源，強度為，表示單位時間、單位體積內的生成熱，單位為W/m3

；1）選取物體中的微元體作為研究對象；導熱數學模型的組成：方法：2）依能量守恒,根據傅里葉定律，建立微元體的熱平衡方程式歸納、整理，最后得出導熱微分方程式。

3）熱導率、比熱容和密度均為已知。理論基礎：Fourier定律+能量守恒定律導熱微分方程式dyyxodx根據能量守恒定律：導入微元體的總熱流量+

微元體內熱源的生成熱-導出微元體的總熱流量=微元體熱力學能的增量a導入微元體的總熱流量b

導出微元體的總熱流量c

內熱源的生成熱d

熱力學能的增量a、b、c、d代入能量守恒定律得：——三維、非穩態、變物性、有內熱源的導熱微分方程。導熱微分方程式建立了導熱過程中物體的溫度隨時間和空間變化的函數關系。1-2固體導熱問題的數學描述

固體導熱問題的數學描述包括導熱微分方程和單值性條件。由于所考慮的導熱體系是靜止的，與外界沒有功的交換，所以體系得到的熱量應該等于體系內能的增加。體系得到的熱量可以有兩部分：一部分是由于導熱通過體系的界面傳入的熱量，另一部分是由于內熱源（化學反應、電加熱等）的發熱而產生的熱量。參照圖1-3，導熱體系的體積為V，表面為A。單位時間內通過表面A由導熱進入體系的熱量為圖1-3導熱微分方程的推導

1-2固體導熱問題的數學描述

（1-2-1）其中dA是指向外法線方向的面積元向量，負號表示熱流指向體系內部（與表面的外法線方向相反）。這里應用了散度定理把面積分轉換為體積分，其中（1-2-2）稱為熱流向量q的散度。內熱源的體積發熱率qv是單位時間內單位體積的內熱源的發熱量，在國際單位制中的單位是W/m3。一般來說，它可以是坐標和時間的函數，記為qv(r,τ)。由此，單位時間內體積V中內熱源產生的熱量為（1-2-3）

1-2固體導熱問題的數學描述

單位時間內體積V中熱量的增加Q3為（1-2-4）對導熱體系建立能量平衡方程，則有（1-2-5）（1-2-6）1-2固體導熱問題的數學描述

由于式（1-2-6）對于整個或部分空間域是普遍適用的，它對體系內的任一微元體積也成立。這樣，可以把積分號去掉，由此得到（1-2-7）根據傅里葉定律，熱流向量可以由溫度梯度得到。把式（1-1-6）代入方程（1-2-7）可以得到含有內熱源的各向同性物體中的導熱微分方程：（1-2-8）如果導熱系數不隨空間位置和溫度而變化，則以上方程可簡化為（1-2-9）式中：▽2稱為拉普拉斯算子；稱為熱擴散率或導溫系數。熱擴散率是材料的熱物理性質，在國際單位制中的單位是m2/s。熱擴散率表征材料內部溫度趨于均勻的能力。

1-2固體導熱問題的數學描述

在常物性且沒有內熱源的情況下，方程（1-2-9）進一步簡化為擴散方程，或稱傅里葉方程：（1-2-10）在穩態條件下，，則有內熱源時方程（1-2-9）簡化為泊松方程：（1-2-11）穩態而無內熱源時上式進一步簡化為拉普拉斯方程：（1-2-12）泊松方程和拉普拉斯方程是典型的橢圓型偏微分方程。

1-2固體導熱問題的數學描述

在常物性條件下，非穩態導熱由方程（1-2-9）描述。這種方程在偏微分方程的分類中稱為擴散方程，或拋物線型方程。擴散方程的特點是，物體在某一處受到的溫度（或熱）的擾動將以無限大的速度傳播到物體中的各處，也就是在距離擾動源無限遠處也能瞬時地感受到該擾動的作用。導熱過程是依靠微觀粒子的熱運動而引起的物體內能的遷移，認為它的傳播速度是無限大在物理概念上顯然是不合適的。隨著現代科學技術的發展，在一些極端的條件下，例如時間極短（μs或ns量級）的激光脈沖加熱，以及接近0K（絕對零度）的超低溫固體氦中，發現導熱的規律與擴散方程指示的結果有明顯的差異。為此有人建議，描述非穩態導熱的控制方程應該是衰減的波動方程。

（1-2-13）1-2固體導熱問題的數學描述

這一方程不是拋物線型的，而是雙曲線型的，其中τ0稱為松弛時間，稱為熱傳播速度。由此，式（1-2-13）又可寫作（1-2-14）在或的極限情況下，上式退化為常規的導熱微分方程（1-2-10）。對于絕大多數的實際問題，上式等號左邊兩項中的第一項要比第二項小很多，可以相差達10個數量級，因此完全可以忽略不計。但是對于極短的時間，或是極低的溫度的問題，熱傳播速度為有限值的影響就可以表現出來。這也從另一個側面說明傅里葉定律只是從實際經驗和實驗中抽象出來的表象性的規律，因而在適用范圍上有局限性。

1-2固體導熱問題的數學描述

1-2-1正交坐標系中導熱微分方程的表達式在解決實際的導熱問題時，物體的形狀各式各樣，首先需要選擇適當的坐標系，以減少自變量的數目和便于邊界條件的表達。一般來說，空間的一個點可由三個獨立的參數確定，這三個參數組成一個坐標系。如果在空間任一點處沿坐標軸方向的單位向量都兩兩垂直，則稱該坐標系為正交坐標系。最常用的坐標系有直角坐標系、柱坐標系和球坐標系，它們都是正交坐標系。設有一正交坐標系如圖l-4所示，是它的三個坐標軸，相應的坐標軸方向的單位向量為。正交坐標與直角坐標x、y、z之間的函數關系為

1-2固體導熱問題的數學描述

圖1-4正交坐標系1-2固體導熱問題的數學描述

在正交坐標系中任一點P處取正交微元六面體，相應的坐標增量，對應的曲線微段的弧長為。（1-2-15）1-2固體導熱問題的數學描述

令（1-2-18）則式（1-2-17）可以寫作（1-2-19）稱為拉梅系數，或稱度規系數。如果己知直角坐標系和正交坐標系之間的函數關系式（1-2-15），則可由式（1-2-18）確定拉梅系數。得到拉梅系數后，就可導得正交微元六面體中各個微元面積的表達式：（1-2-20）

1-2固體導熱問題的數學描述

或寫作（1-2-21）其中。正交微元六面體中微元體積的表達式為（1-2-22）根據梯度、散度等基本量的定義，可以得到它們在正交坐標系中的一般表達式。它們是（1-2-23）（1-2-24）

（1-2-25）二、梯度首先將算符按三個互相正交的基矢方向分解，得隨后將球坐標與柱坐標系的拉梅系數代入即得梯度，對于球坐標，有(24)對于柱坐標，有(25)三、散度與直角坐標系中采用的方法一樣，從散度的定義式(26)出發，計算矢量場穿過圖A1.8中留個面元的通量。首先，矢量場穿出左、右兩個面元的通量為：注意，上式不僅E1，而且E1,H2,H3一般在左、右兩面元上所取的值不相同，因為H2與H3一般為坐標的函數，寫成(27)式最后那種形式是為了便于找出規律性。于是，穿出前后兩個面元的通量為：(27)(29)(28)穿出上、下兩個面元的通量為：綜合上述，矢量場穿出圖A1.8中體積元左、右、前、后、上、下六個面的總通量為將上式及體積元的體積dV

=H1H2H3dq1dq2dq3，代入(26)式，即有對于球坐標系，將H1=1,H2=R,H3=Rsinθ

代入，得(30)(31)

（1-2-25）

（1-2-24）

（1-2-23）1-2固體導熱問題的數學描述

把式（1-2-23）～（1-2-25）代入以上導得的方程，例如適用于變導熱系數時的導熱微分方程（1-2-8），可得相應的在一般正交坐標系中的導熱微分方程為（1-2-26）在直角坐標系（x，y，z）中，三個坐標軸均為直線，因此有。對于如圖1-5所示的柱坐標系（r，φ，z），其坐標與直角坐標之間的關系為，，

1-2固體導熱問題的數學描述

圖1-51-2固體導熱問題的數學描述

令、、，則由式（1-2-18）可得（1-2-27）同樣地，對于球坐標系（r，θ，φ）有，，則可以導得球坐標系中的拉梅系數為（1-2-28）

1-2固體導熱問題的數學描述

由此得直角坐標系中的拉普拉斯算子表達式為（1-2-29）在柱坐標系（r，φ，z）和球坐標系（r，θ，φ）中，拉普拉斯算子的表達式分別（1-2-30）（1-2-31）

1-2固體導熱問題的數學描述

1-2-2導熱過程的單值性條件單值性條件包括以下各項：幾何條件——說明參與過程物體的大小和形狀。如果是各向異性材料，還應給出導熱系數主軸的方向。物理條件——給定各種有關物理量的值，包括隨溫度變化的函數關系、有無內熱源以及內熱源的大小和分布。參考溫度時的導熱系數

在一定溫度范圍內，大多數工程材料導熱系數可以近似認為是溫度的線性函數。時間條件——說明過程在時間上的特點。穩態過程不需要時間條件；對于非穩態過程，則要給出初始溫度分布，即初始條件。邊界條件——描述在區域邊界上過程進行的特點。幾何條件和物理條件通常體現在導熱微分方程的簡化和坐標系的選取中，而時間條件(對非穩態問題)和邊界條件則體現為單獨的數學表達式。

1-2固體導熱問題的數學描述

第一類邊界條件給定邊界上的溫度。一般情況下，邊界上的溫度可以是時間和位置的函數，并可表示為如下的形式：在邊界面S處（1-2-32）第二類邊界條件給定所求函數在邊界上的法向導數值，在導熱問題中等同于給定邊界上的法向熱流密度。一般情況下，邊界上的熱流密度可以是時間和位置的函數，并可表示為如下的形式：在邊界面S處（1-2-33）絕熱邊界滿足，是第二類邊界條件的一個特例。

1-2固體導熱問題的數學描述

第三類邊界條件給定所求函數在邊界上的函數值和法向導數值的線性組合，在導熱問題中等同于結定外界介質的溫度和邊界上的對流換熱表面傳熱系數，由此又稱為對流邊界條件。在邊界面S處（1-2-34）式中：等號左邊是在表面外法線方向上物體內部導熱的熱流密度；等式右邊是物體表面通過牛頓冷卻定律傳遞給環境的熱量。第一類邊界條件和第二類（絕熱）邊界條件都可以看作是第三類邊界條件的特例。如果h＝0，則第三類邊界條件轉化為絕熱邊界條件；如果h＝，則有，第三類邊界條件轉化為第一類邊界條件。例如，對于圖1-6所示的與x方向垂直的兩個表面，其邊界條件應分別為

1-2固體導熱問題的數學描述

圖1-6對流邊界條件和外法線方向1-2固體導熱問題的數學描述

除了由單一非復合材料組成的物體外，還需要確定物體的內部條件，用以表征諸如交界面熱阻和交界面反應這樣一些影響。最常見的情形是在求解復合區域的導熱問題時需要列出區域分界面上的邊界條件。通過交界面的熱交換是由通過真正接觸點的導熱、通過截留在縫隙內的流體的導熱以及通過縫隙的輻射傳熱這三種機理綜合進行的。結合處的總熱導是由接觸材料（它們的導熱系數、表面粗糙度、不平度以及硬度）、接觸壓力、結合處的平均溫度和熱流、縫隙內流體的性質（液體、氣體、真空）、是否存在氧化皮或填隙材料等一系列因素決定的。通過兩種不同材料1和2間粗糙接觸面的穩態導熱狀況如圖1-7所示，接觸面附近可能存在一明顯的溫度躍變。定義一假想的交界面溫降t，它是由兩種材料遠離接觸面處按線性變化的實際溫度外推至中心線得出的。在穩態熱流q的情況下，單位交界面接觸熱阻定義為1-2固體導熱問題的數學描述

圖1-7交接面上的接觸熱阻圖1-8理想接觸時的邊界條件

1-2固體導熱問題的數學描述

（1-2-35）對于理想接觸，溫降等于零，Rc＝0。在這種情況下，內部邊界條件就是溫度分布和熱流在交界面上連續，即在如圖1-8所示的系統中，分界面上的邊界條件可寫作（1-2-36）其中兩個偏導數的正方向為兩區域各自的外法線方向，因此式中出現負號。這樣的邊界條件也有稱為第四類邊界條件的。

1-2固體導熱問題的數學描述

如果在界面上有接觸熱阻存在，則溫度分布在界面上不再連續，以上邊界條件應改為（1-2-37）提高壓緊兩種材料的壓力可以增加隨機性質的點接觸和大尺度的面接觸，因為壓緊可以使凹凸不平的面配合緊密，可以克服被波紋不平度造成的非理想接觸，還可以使兩種較軟材料發生彈性和塑性變形。為了降低接觸熱阻也可以人為地在接觸面之間插入容易變形的高導熱系數的填隙材料。此外，也有一些導熱問題的邊界條件是非線性的。如熱輻射邊界條件的熱流與邊界溫度的四次冪有關；自然對流邊界條件的熱流正比于溫差的5/4或4/3次方。與相變（如熔化、凝固、燒蝕）相聯系的邊界條件也是非線性的。表示的傅里葉定律只適用于各向同性材料。在工程實際中也可能遇到各向異性材料，它們的物性在空間的各個方向上不相同。如晶體材料、木材、石墨和沉積巖等是典型的各向異性材料；層壓的復合材料、硅鋼片疊加而成的鐵芯等，在宏觀上也有各向異性的特征。各向異性材料導熱與各向同性材料重要差別：一、各向異性材料沿各方向的導熱系數不同；二、各向異性材料在某一方向上的熱流密度分量不僅與該方向上的溫度變化率有關，而且還與其垂直方向上的溫度變化率有關。1-3各向異性材料中的導熱

在各向異性材料內部，溫度場、等溫面和溫度梯度的概念仍適用，熱流向量的定義也不變。但此時導熱系數不再是一個與方向無關的標量，即從一點出發，沿各個方向的導熱系數不同。熱流向量的分量，例如qx，一般取決于沿x、y、z三個方向的溫度梯度的線性組合。在直角坐標系中可表示為

（1-3-1）1-3各向異性材料中的導熱

由此可見，對于各向異性材料，熱流向量與溫度梯度不再共線，亦即熱流向量不再垂直于通過考察點的等溫面。上式寫成向量的形式為（1-3-2）其中

是各向異性材料的導熱系數，由9個導熱系數分量組成。式（1-3-1）就是各向異性材料中的傅里葉定律在直角坐標系中的表達式，同樣地建立了各向異性材料中溫度場與熱流場的聯系。雖然溫度梯度和熱流向量以及它們之間的關系是客觀存在的，不依坐標的取向而變化，但是它們在坐標軸上的投影，特別是各導熱系數分量的值將隨坐標取向的變化而變化。因此首先要研究導熱系數分量在不同坐標系中的變換。1-3各向異性材料中的導熱

圖1-9直角坐標系原點的旋轉1-3各向異性材料中的導熱

當坐標系（x，y，z）繞原點O旋轉一個角度后，得到新坐標系（），如圖1-9所示。新舊坐標的關系為（1-3-3）或簡寫成（1-3-4）其中，，1-3各向異性材料中的導熱

熱流向量與溫度梯度的聯系在新坐標系（）內表示為（1-3-5）用表示上述導熱系數矩陣，即1-3各向異性材料中的導熱

利用線性代數中有關線性變換的知識，或根據張量的坐標變換的性質，可以導得在不同坐標系中導熱系數矩陣之間的關系：（1-3-6）根據線性變換的性質，總可以選擇一個適當的坐標系，記為（，，），使矩陣進一步轉換為對角矩陣，即把式（1-3-1）轉換為（1-3-7）亦即，，（1-3-8）1-3各向異性材料中的導熱

此時坐標系（，，）稱為導熱系數的主軸，稱為各向異性材料的三個主導熱系數。以下僅就二維問題為例說明各向異性材料中導熱問題的特點。圖1-10表示一塊各向異性材料，其中斜線是表示各向異性特征的，與是導熱系數的主軸，分別為這兩個方向的主導熱系數。如果z坐標軸與另一個導熱系數主軸重合，且有，則由式（1-3-8）得。該問題是一個二維問題。在坐標系（，）中，1-3各向異性材料中的導熱

圖1-10各向異性材料中的二維導熱1-3各向異性材料中的導熱

在坐標系（x，y）中（1-3-9）根據不同坐標系中導熱系數矩陣的換算關系式（1-3-6），可得（1-3-10）

其中C表示坐標系（x，y）和（，）間的變換矩陣：