§2.4一元線性回歸分析的應用：預測問題

一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個無偏估計二、總體條件均值與個別值的置信區間

對于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預測值?0

，可以以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個近似估計。

但是嚴格地說，這只是被解釋變量預測期實際值的一個估計值，而不是預測期的實際值。原因:

（1）參數估計量是不確定的，隨樣本而變；（2）預測期隨機干擾項0的影響。說明

（注意教材p46的某些表述不準確）所以，給定樣本以外的解釋變量的值X0，依據樣本回歸方程得到的?0

僅僅是預測期條件均值E(Y0)[注：簡寫符號，見教材P49

]或個別值Y0的實際值的一個點估計值，預測期E(Y0)或Y0的實際值僅以某一個置信水平被以該估計值為中心的一個區間所包含。換句話說，對樣本以外的被解釋變量進行預測，是一個區間估計問題。一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個無偏估計（見教材p46-47）（1）對于總體回歸函數E(Y|X=X)=0+1X，當X=X0時

E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計。或者說，?0是條件均值E(Y0)的無偏估計。（2）對于總體回歸模型Y=0+1X+，當X=X0時于是于是可見，?0也是個別值Y0的無偏估計。二、總體條件均值與個別值的置信區間

1、總體條件均值E(Y0)的置信區間

（教材p47）由于

并且因此

故

可以證明（參見潘文卿、李子奈、高吉麗：《計量經濟學習題集》P12例9）

所以又因所以，可以構造如下的t統計量：（有補充）（參見周紀薌《回歸分析》P14）于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區間為

記則上述t統計量可以寫為這就是教材P48所講的：2、總體個別值Y0的預測區間

（教材p48，有補充）由Y0=0+1X0+

知:

于是

而?0與Y0是獨立的，且又因所以，可以構造如下的t統計量：記從而在1-的置信度下，Y0的置信區間為

則在P34例2.2.1的可支配收入－消費支出例子中，得到的樣本回歸函數為:（見教材P48-49)則當X0=1000時，

?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y0)的95%的置信區間為：

同樣地，由于(補充)

673.84-2.30661.05<E(Y0)

<673.84+2.30661.05或（533.05元,814.62元）673.84-2.306130.88<Y0<673.84+2.306130.88或(372.03元,975.65元)所以，當X=1000時，總體單值Y0的95%的置信區間為：

對每個X值，求總體均值E(Y)的（1-）置信區間，然后將這些區間的端點（置信限）分別連接起來，可以得到總體回歸函數的置信帶（域）（confidenceband）。對每個X值，求總體單值Y的（1-）置信區間，然后將這些區間的端點分別連接起來，可以得到總體單值的置信帶（域）。

圖2.4.1Y均值與個別值的置信區間

對于Y的總體均值E(Y0)與個體值Y0的預測區間（置信區間），有以下結論:（1）樣本容量