橢圓同步檢測一、選擇題1.已知橢圓G的中心在坐標原點，長軸在軸上，離心率為，且橢圓上一點到其兩個焦點的距離之和為12，則橢圓的方程為（）A..B.C.D.QUOTEsinα=±12答案：A解析：解答：設橢圓的標準方程為，所以由題意可得：，所以橢圓的方程為.分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據橢圓的簡單性質進行計算即可.2.橢圓的長軸長為（）A．2D.9答案：C解析：解答：由題意可得：橢圓的標準方程為：，所以橢圓的長軸長為6.分析：本題主要考查了橢圓的標準方程，解決問題的關鍵是橢圓的標準方程計算即可.3.若橢圓的短軸為，它的一個焦點為，則滿足為等邊三角形的橢圓的離心率是（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：設，因為是等邊三角形，所以，即a=2b，∴，有，故選C分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問題的關鍵是根據橢圓的定義進行計算即可.4.橢圓上的一點到焦點的距離等于1，則點到另一個焦點的距離是（）A．1B．3C．D．答案：D解析：解答：根據橢圓的定義，，∴，故選D．分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據橢圓的簡單性質進行計算即可.5.方程表示焦點在y軸上的橢圓，則k的取值范圍是（）A．B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）答案：D解析：解答：橢圓的標準方程為,由橢圓的性質可知即,答案選D.分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問題的關鍵是橢圓的定義進行分析即可.6.已知橢圓,是橢圓長軸的一個端點,是橢圓短軸的一個端點,為橢圓的一個焦點.若,則該橢圓的離心率為（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：，即，兩邊同除以，得（舍負），故選B．分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據橢圓的簡單性質進行列示計算即可.7.已知橢圓的中心為，右焦點為、右頂點為，直線與軸的交點為，則的最大值為（）A．B．C．D．答案：C解析：解答：由題可得分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據橢圓的簡單性質進行計算即可.8.過橢圓的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F2為右焦點，若∠F1PF2＝60°，則橢圓的離心率為（）．A.B.C.D.答案：B解析：解答：由題意得點P的坐標為，因為所以，即，所以解得（舍去），答案為B分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是橢圓的簡單性質結合所給條件進行計算即可.9.已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.答案：A解析：解答：∵B和A關于原點對稱∴B也在橢圓上設左焦點為F′根據橢圓定義：又∵∴①是的斜邊中點，∴又②③②③代入①∴即∴,所以.分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據橢圓的簡單性質結合所給條件計算即可.10.從一塊短軸長為的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：B解析：解答：設橢圓的標準方程為=1，在第一象限內取點（x，y），設x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜），則橢圓的內接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，內接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，由已知得：3b2≤2ab≤4b2，3b≤2a≤4b，平方得：9b2≤4a2≤16b2，即，9（a2-c2）≤4a2≤16（a2-c2），整理得5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴，即e∈，故選B.分析：本題主要考查了橢圓的應用，解決問題的關鍵是根據橢圓的有關性質分析計算即可.11.若橢圓與直線交于兩點，過原點與線段的中點的直線的斜率為，則的值為（）A．B．C．D．答案：B解析：解答：由直線，可得代入得：設的坐標為，則有：，∴M的坐標為：，∴OM的斜率，故選B．分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，解決問題的關鍵是根據直線與圓錐曲線的關系結合韋達定理進行分析計算即可.12.橢圓上的點到直線2x－y＝7距離最近的點的坐標為（）A．（－，）B．（，－）C．（－，）D．（，－）答案：B解析：解答：設和橢圓相切且和直線平行的直線為，聯立橢圓方程得，因為直線和橢圓相切，所以，由圖可知，直線為，解得切點坐標為，此點就是所求點，故選B.分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關系，解決問題的關鍵是根據直線與圓錐曲線的關系進行分析計算即可.13.若點和點分別為橢圓的中心和右焦點，點為橢圓上的任意一點，則的最小值為（）A．B．C．D．1答案：B解析：解答：設點，所以，由此可得，，所以分析：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，解決問題的關鍵是根據點滿足的關系結合平面向量坐標運算計算即可.14.已知橢圓的兩個焦點為，，是此橢圓上的一點，且，，則該橢圓的方程是()A.B．C．D．答案：A解析：解答：設橢圓的方程為：，由題意可得：，又因為，，所以，即，所以，即，所以橢圓的方程為：．分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據所給條件結合橢圓的簡單性質計算即可.15.已知橢圓C：，點M與C的焦點不重合．若M關于C的焦點的對稱點分別為A，B，線段MN的中點在C上，則（）A．4B．8C．12D．16答案：B解析：解答：如圖，設的中點為，由題意可知，，分別為，的中位線，∴．分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，解決問題的關鍵是根據直線與橢圓的關系計算即可.二、填空題16.過點作一直線與橢圓相交于A、B兩點，若點恰好為弦的中點，則所在直線的方程為．答案：解析：解答：設，分別代入橢圓的方程中，可得：①②，由①-②可得，，因為點是弦的中點，∴，∴=，又因為直線過點（1,1），所以直線的方程為，即.分析：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，解決問題的關鍵是根據所給點A,B,結合點與橢圓關系列式計算即可.17.在平面直角坐標系中，已知點是橢圓上的一個動點，點在線段的延長線上，且，則點橫坐標的最大值為.答案：15解析：解答：設，由，得，，研究點橫坐標的最大值，僅考慮，（當且僅當時取“=”）．分析：本題主要考查了圓錐曲線的綜合，解決問題的關鍵是根據所求點滿足的關系結合平面向量坐標運算計算即可.18.若方程表示橢圓，則的取值范圍是______________.答案：(1,2)∪(2,3)解析：解答：因為，方程表示橢圓，所以，，解得，的取值范圍是(1,2)∪(2,3)分析：本題主要考查了橢圓的標準方程，解決問題的關鍵是根據橢圓標準方程的性質分析計算即可.19.橢圓的焦點為，點在橢圓上，且線段的中點恰好在軸上，，則.答案：7解析：解答：易知，原點也是的中點，所以平行于軸，因為，所以,設，根據橢圓定義可知，所以，解得，所以,故,所以7.分析：本題主要考查了橢圓的定義，解決問題的關鍵是根據橢圓定義列式計算即可.20.設F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任一點，點M的坐標為（6，4），則的最大值為__________.答案：15解析：解答：，此時點P為直線與橢圓的交點，故填15分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質，解決問題的關鍵是根據橢圓的簡單性質分析計算即可.三、解答題21.已知橢圓C的焦點F1（－，0）和F2（，0），長軸長6。(1)求橢圓C的標準方程。答案：解：由F1（－，0）和F2（，0），長軸長為6得：c=2，a=3，所以b=1。所以橢圓方程為。(2)設直線交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標答案：解：設A()B(),由（1）可知橢圓方程為，與直線AB的方程y=x+2聯立化簡并整理得10x2+36x+27=0，∴x1+x2=，，。所以AB的中點的坐標為.解析：分析：本題主要考查了橢圓的標準方程、直線與圓錐曲線的關系，解決問題的關鍵是根據橢圓性質結合直線與橢圓的關系列式計算即可.22.已知橢圓C：的上頂點坐標為，離心率為.（1）求橢圓方程；答案：解：依題意得：，橢圓方程為（2）設P為橢圓上一點，A為左頂點，F為橢圓的右焦點，求的取值范圍.答案：解：設，，則---（*）點滿足，代入（*）式，得：根據二次函數的單調性可得：的取值范圍為解析：分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質、圓錐曲線的綜合，解決問題的關鍵是根據橢圓定義得到橢圓方程；根據所給點滿足關系結合平面向量坐標運算性質計算即可.23.已知橢圓經過點其離心率為.（1）求橢圓的方程；答案：解：由已知，所以,①又點在橢圓上，所以，②由①②解之得,故橢圓的方程為（2）設直線與橢圓相交于A、B兩點，以線段為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點P在橢圓上，為坐標原點.求到直線距離的最小值.答案：解：當直線有斜率時，設時，則由消去得，，③設則，由于點在橢圓上，所以，從而，化簡得，經檢驗滿足③式，又點到直線的距離為：，并且僅當時等號成立；當直線無斜率時，由對稱性知，點一定在軸上，從而點為，直線為，所以點到直線的距離為1，所以點到直線的距離最小值為.解析：分析：本題主要考查了橢圓的簡單性質；圓錐曲線的綜合，解決問題的關鍵是（1）由離心率為，得①，又過點，得②，聯立①②求；(2)直線和圓錐曲線的位置關系問題，普通會根據已知條件結合韋達定理列式確定參數的值或者取值范圍，設直線：，聯立橢圓方程，消去，得關于的二次方程，設，利用韋達定理將點的坐標表示出來，，因為在橢圓上，代入橢圓方程，得的等式①，點到直線的距離為，聯立①得關于，或的函數，進而求其最小值，再考慮斜率不存在時的情況，求最小值，然后和斜率存在時候的最小值比較大小，得結論.24.已知在平面直角坐標系中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為,右頂點為,設點.（1）求該橢圓的標準方程；答案：解：由已知得橢圓的半長軸a=2,半焦距c=,則半短軸b=1，又橢圓的焦點在x軸上,∴橢圓的標準方程為（2）若是橢圓上的動點，求線段中點的軌跡方程；答案：解：設線段PA的中點為M(x,y),點P的坐標是(x0,y0)，由得由點P在橢圓上,得，∴線段PA中點M的軌跡方程是解析：分析：本題主要考查了橢圓的標準方程、圓錐曲線的軌跡問題，解決問題的關鍵是根據橢圓的幾何性質計算即可得到其標準方程；根據動點轉移法求得動點軌跡.25.已知橢圓：（）的右焦點，右頂點,右準線且．（1）求橢圓的標準方程；答案：解：由題意，，，，，由得.橢圓C的標準方程為.（2）動直線：與橢圓有且只有一個交點，且與右準線相交于點，試探究在平面直角坐標系內是否存在點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點坐標；若