20232023學年高一年級數學導學案（31）班級姓名學號編寫：趙海通審閱：王欣欣陳業慧§1.學習目標：1．理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進行正確的轉換．象限角的概念2．體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實數集一一對應關系．3．掌握并能應用弧度制下的弧長公式和扇形面積公式．學習重點：角度制與弧度制的概念，弧度和角度的轉換；弧長公式和扇形面積公式。學習難點：區間角與象限角【學法指導】1．通過類比長度、重量的不同度量制，體會一個量可以用不同的單位制來度量，從而引出弧度制．2．弄清1弧度的角的含義是了解弧度制，并能進行弧度與角度換算的關鍵．3．引入弧度制后，應與角度制進行對比，明確角度制和弧度制下弧長公式和扇形面積公式的聯系與區別.一．知識導學1．1弧度的角：把長度等于的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號表示，讀作．2．弧度制：用作為單位來度量角的單位制叫做弧度制．3．角的弧度數的規定：一般地，正角的弧度數是一個，負角的弧度數是一個，零角的弧度數是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么，角α的弧度數的絕對值是.這里，α的正負由角α的終邊的旋轉方向決定．4．角度與弧度的互化：(1)角度轉化為弧度：360°＝rad；180°＝rad；1°＝rad≈45rad.(2)弧度轉化為角度：2πrad＝；πrad＝；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈°＝57°18′.二．探究與發現【探究點一】弧度制問題11弧度的角是怎樣規定的？1弧度的角和圓半徑的大小有關嗎？你能作出一個1弧度的角嗎？問題2如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長是l，那么α的弧度數與l、r之間有著怎樣的關系？請你完成下表，找出某種規律.的長OB旋轉的方向∠AOB的弧度數∠AOB的度數0——eq\f(π,2)r順時針方向πr逆時針方向2πr順時針方向eq\f(πr,180)逆時針方向r逆時針方向2r順時針方向規律：如果一個半徑為r的圓的圓心角α所對的弧長為l，那么_______________，即_________.問題3除了角度制，數學還常用弧度制表示角．請敘述一下弧度制的內容．問題4角度制與弧度制換算時，靈活運用下表中的對應關系，請補充完整.角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°【探究點二】弧度制下的弧長公式和扇形面積公式問題1我們已經學習過角度制下的弧長公式和扇形面積公式，請根據“一周角(即360°)的弧度數為2π”這一事實化簡上述公式．(設半徑為r，圓心角弧度數為α)．問題2角度制與弧度制下扇形的弧長及面積公式對比：設扇形的半徑為R，弧長為l，α(0<α<2π)為其圓心角，則度量單位類別α為角度制α為弧度制扇形的弧長l＝____l＝扇形的面積S＝______S＝______＝_____【探究點三】利用弧度制表示終邊相同的角在弧度制下，與α終邊相同的角連同α在內可以表示為2kπ＋α(k∈Z)，其中α的單位必須是弧度．問題1利用弧度制表示終邊落在坐標軸上的角的集合.終邊所在的位置角的集合x軸y軸坐標軸問題2利用弧度制表示終邊落在各個象限的角的集合.α終邊所在的象限角α的集合ⅠⅡⅢⅣ【典型例題】例1．(1)把112°30′化成弧度；(2)把－eq\f(7π,12)化成角度．小結將角度轉化為弧度時，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記πrad＝180°即可求解．把弧度轉化為角度時，直接用弧度數乘以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°即可．跟蹤訓練1。將下列角按要求轉化：(1)300°＝________rad；(2)－22°30′＝________rad；(3)eq\f(8π,5)＝________度．例2．已知一扇形的周長為40cm，當它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？小結靈活運用扇形弧長公式、面積公式列方程組求解是解決此類問題的關鍵，有時運用函數思想、轉化思想解決扇形中的有關最值問題，將扇形面積表示為半徑的函數，轉化為r的二次函數的最值問題．跟蹤訓練2。一個扇形的面積為1，周長為4，求圓心角的弧度數．例3．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角：(1)－1500°；(2)eq\f(23π,6)；(3)－4.小結在同一問題中，單位制度要統一，角度制與弧度制不能混用．跟蹤訓練3。將－1485°化為2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式是___________．三．鞏固訓練1．時針經過一小時，時針轉過了 ()A．eq\f(π,6)rad B．－eq\f(π,6)radC．eq\f(π,12)rad D．－eq\f(π,12)rad2．若α＝－3，則角α的終邊在 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的中心角的弧度數是()A．1 B．4 C．1或4 D．2或44．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是_______．四．課后小結1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數集R之間建立起一一對應的關系：每一個角都有唯一的一個實數(即這個角的弧度數)與它對應；反過來，每一個實數也都有唯一的一個角(即弧度數等于這個實數的角)與它對應．2．解答角度與弧度的互化問題的關鍵在于充分利用“