汽車傳感器與測試技術1第四章測量數據處理與誤差分析2▼被測量的真值和試驗所得的給出值總存在一定的差異，這就是測量誤差。而誤差的存在使我們對客觀事物的認識受到不同程度的歪曲，因此就必須進行誤差分析。▼另一方面，一般原始的測試技術都是參差不齊的，需運用數學方法加以精選、加工，以求獲得可靠、真正反映事物內在本質的結論，這就是要進行數據處理。

誤差分析和數據處理是判斷科學實驗和科學測試結果質量和水平的主要手段。3五數據處理三測量誤差的分析與處理二不確定度及其表征一測量誤差概述

本節主要內容四測量結果的表達4§4.1

測量誤差概述實驗數據 期望值NO實驗誤差測量絕對誤差=測得值—真值（示值誤差=儀器示值—真值）？1、測量誤差定義5注意：●“真值”是指被測量的客觀真實值。一 般來說這一客觀真值是未知的，僅 在一些特殊的場合真值才是已知的（ 如一些理論分析值）

●測量誤差的正負號

●量綱與被測量的量綱相同（１）理論真值：由理論公式計算所得結果（２）規定真值：由國際上公認的某些基準量。（如一米是光在真空中于1/299792458秒時間內所到之長度）（3）相對真值6絕對誤差很小示值誤差是儀表指示數值的絕對誤差；最大示值指該儀表測量范圍的上限；引用誤差的規定是便于儀器精度等級的評定當允許誤差去掉百分號、正負號后的數字被稱為儀表的準確度級，如）1、測量誤差定義7定義量綱相對誤差絕對誤差真值無反映測量效果絕對誤差測得值-真值有(與被測量相同)結果的實際誤差值81測量誤差是不可避免的，不同的是測量誤差的大小不同而已。2在一定的條件下，精確度的提高總要受到一定的限制。測量數據不可避免地會有一定的誤差，只要誤差在一定的范圍內就認為是正常的。3減小誤差的影響，提高測量精度4對測的結果的可靠性作出評定，即給出精確度的估計。2、測量誤差的普遍意義93測量誤差的分類測量誤差的來源對測量誤差的掌握程度測量誤差的特征規律裝置誤差已知誤差系統誤差隨機誤差粗大誤差環境誤差方法誤差未知誤差人員誤差101）測量誤差的來源11系統誤差：在順次測量的系列測量結果中，其值固定不變或按某確定規律變化的誤差。確定的規律：①測量誤差具有確定的值；

②在相同的考察條件下，可重復表現；

③原則上可用函數的解析式，曲線或數表示；

④這一規律性并不一定確知；如：由于儀器標度尺刻劃的不準確；測量者觀察儀器指針時習慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統誤差的特性。12隨機誤差（偶然誤差）：在同一條件下對同一被測量進行多次重復測量時，各測量數據的誤差或大或小，或正或負，其取值的大小沒有確定的規律性，是不可預知的。注意：●隨機誤差具有隨機變量的一切特征；

●不能通過“修正”的方法消除掉；

●用統計的方法做出估計；

如：由于儀器標度尺刻劃的不準確；測量者觀察儀器指針時習慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統誤差的特性。13粗大誤差（過失誤差）：超出正常范圍的大誤差。正常范圍：誤差的正常分布規律決定的分布范圍，只要誤差取值不超過這一正常的范圍，應是允許的。粗大誤差是隨機的，但不同于隨機誤差，僅表現在數值大小上的差別，因此差別不明顯時，不太容易區分。一般粗大誤差是由測量中的失誤造成的。如：由于儀器標度尺刻劃的不準確；測量者觀察儀器指針時習慣于斜視等原因引起的誤差，就具有系統誤差的特性。144幾個術語：精密度：(precision)表述：概念：重復測量時，測量結果的分散性準確度：表述：精確度：(正確度)測量結果與真值的接近程度，系統誤差的影響程度性質：隨機誤差的標準差(standarddeviation)性質：系統誤差和隨機誤差綜合影響程度平均值與真值的偏差(deviation)表述：不確定度(uncertainty)工程表示：引用誤差，最大允許誤差相對于儀表測量范圍地百分數0.1,0.2,0.5,1.0,1.5,2.5,5.0七級15經過修正的測量結果仍有一定的誤差。誤差的或大或小，或正或負，其取值具有一定的分散性，即不確定性。在多次重復測量中，可看出測量結果將在某一范圍內波動，從而展示了這種不確定性。測量結果可能的取值范圍越大，測量結果的可靠性越低；測量結果可能的取值范圍越小，測量結果的可靠性越高。§4.2不確定度及其表征參數16定義：與測量結果相關聯的參數，表征合理賦予的被測量之值的分散性。用標準偏差表示的測量結果的不確定度。

1）．(測量)不確定度Uncenainty(ofmeasurement)

2）．標準不確定度(StandardUncenainty)1、定義：173）．合成標準不確定

當結果由若干其他量得來時，測量結果的標準不確定度等于這些量的方差和協方差的適當和的正平方根，這些方差是根據測量結果隨這些量的變化而變化情況進行加權的。測量的不確定度表示由于存在測量誤差而是被測量值不能肯定的程度，它的大小表征測量結果的可信程度。182、測量不確定度的分類：按誤差性質分類，分為系統分量的不確定度和隨機分量的不確定度兩類。按不確定度數值的估計方法分類，分為用統計方法估計的不確定度和用其他方法估計的不確定度兩類。193、測量的不確定度與測量誤差的區別測量不確定度表示由于存在測量誤差而使被測量值不能肯定的程度，它是表征誤差對測量結果影響程度的參數，對于某一確定的測量方法來說，不確定度具有確定的值。測量誤差是指被測量的測得值與其相應的真值之差，測量誤差取值具有不確定性并服從一定的分布。204、不確定廢的評定1）．(不確定廢的)A類評定

用對觀測列的統計分析進行不確定度評定的方法。2）．(不確定廢的)B類評定

用不同于對觀測列的統計分析的其他方法進行不確定度評定的方法。

21§4.3、測量誤差的分析與處理測量誤差的分析就是研究誤差的性質與規律。①研究和確定過失誤差與隨機誤差之間的界限，以便舍棄那些含有過失誤差的測定值；②研究系統誤差的規律，尋找將系統誤差從隨機誤差中分離出來的方法，并設法消除其影響；③研究隨機誤差的規律，分析和確定測量的精密度；④從一系列測定值中求出最接近于被測參數真實值的測量結果。221、隨機誤差實踐表明，測試結果的隨機誤差大多服從正態分布.正態分布的概率密度函數為：

式中：——為測量誤差；

——均方根誤差。從圖可以看出，值愈小，正態分布密度曲線愈陡峭，幅值愈大，測量誤差小；反之，值愈大，曲線愈趨平坦，測量誤差大。231）算術平均值

設…，為n次等精度測量所得的值，其算術平均值為：

由于被測參數的真實值無法知道，因此在直接測量中常將測量列的算術平均值作為真值的估計值。24◆使用范圍對同一量進行多次等精度重復測量而得到的數據的處理。所謂“等精度”是指各次測量的標準差相同，而并非指各測量數據具有相同的誤差。事實上，各測量數據的誤差并不相同。◆優點測量的隨機誤差的影響是最小。具有一致性、無偏性和最優性。25局限性1算術平均值仍為隨機變量，它不可能完全排除隨機誤差的影響，只是減小這一影響。2由于系統誤差不具有隨機抵償性，算術平均值原理的功效只是減小隨機誤差的影響。在一般情況下，不能指望通過取算術平均值減小系統誤差的影響。3算術平均值原理在提高精度的效果上是有限的.26無論測量誤差具有何種分布，只要具有對稱性，其數學期望就為零，以算術平均值作為被測量的估計量就具有最優性。這是隨機誤差抵償性的必然結果，按算術平均值原理處理等精度重復測量數據可充分利用這一抵償性，從而使隨機誤差對最終結果的影響減小到最低限度。隨機誤差抵償性是算術平均值原理的基礎。272)殘差的定義及其性質通常，被測量的真值是未知的，由測量誤差定義獲得的真誤差也是未知的，因而無法用測量的真誤差對測量的精度作出估計。考慮到算術平均值接近于被測量X，定義

為測量數據xi的殘差(剩余誤差)。28更一般地，殘差的定義可推廣為式中，為X的估計量，可由包括算術平均值原理在內的某一方法給出。

?xxvii-=29

殘差的性質(1)殘差的代數和為零，即這一性質常用于檢驗所計算的算術平均值和殘差有無差錯。

(2)殘差的平方和最小，即測量結果與其他量之差的平方和都比殘差平方和大，這一性質與最小二乘法一致。303）標準差

在一個等精密度測量列中，當測量次數趨于無窮大時，測量列的標準差為：

而在實際測量過程中，測量次數是有限的，由數理統計學可知，標準差的無偏估計可用貝塞爾法進行計算，即：31根據積分概率表可知，絕對值小于的隨機誤差出現的概率約為0.68，而絕對值小于2和3的隨機誤差，出現的概率分別為0.95和0.997。由此可知，絕對值大于3的隨機誤差出現的概率僅為0.027，即在370次測量中才可能出現一次。而在一般測量工作中，測量次數遠小于370次，因此，如果出現絕對值大于3的誤差，就可以認為，這個誤差屬于過失誤差。因此，可以把3作為區分隨機誤差和過失誤差的一種界限。32由于測量的標準差為估計量，故公式應寫為

上式表明，算術平均值的標準差為測量數據標準差的。因此，測量次數n越大，所得算術平均值的標準差就越小，其可靠程度就越高。33（1）從標準差與測量次數n的關系曲線，圖中可以看出，當測量次數較少時，增加測量次數，可明顯減小測量誤差；但當測量的次數超過15～20次時，再增加測量次數，則測量誤差幾乎不變。注意：靠增加測量次數n來給出更高精度的結果是有一定限度的！34(2)測量次數n過大，不僅經濟上耗費大，而且測量時間增長，易于因測量條件變化而引入新的誤差。(3)當隨機誤差遠遠小于系統誤差時，進—步增大n已無實際意義，應從減小系統誤差著手進一步提高測量結果的精度。因此，測量次數的規定要適當，應顧及到實際效果，一般取n<10。在較高精度測量中，若以隨機誤差為主，并且測量條件較好，則測量次數可大些。352、系統誤差

1）系統誤差的分類

根據系統誤差特性的不同，

定值系統誤差

在整個測量過程中，誤差的大小和方向始終保持不變。變值系統誤差

誤差的大小和方向按一定的規律變化。

①線性變化的系統誤差：誤差的大小隨時間線性遞增或遞減的系統誤差，稱為線性變化的系統誤差。②周期性變化的系統誤差：誤差的大小隨時間周期性交替變化的系統誤差，稱為周期性變化的系統誤差。③復雜的系統誤差：誤差按比較復雜規律變化的系統誤差變值系統誤差362）系統誤差的發現

系統誤差的數值往往比較大，而且會直接影響測量的準確度。因此必須消除或減小系統誤差。有時系統誤差不易查明，下面介紹兩種發現系統誤差的方法，即：

①殘差分析法②分布檢驗法37①殘差分析法

測量列的殘差為：在隨機誤差小于系統誤差的情況下，的正負號將主要取決于變化的系統誤差。因此，根據殘差的符號，可以發現變化的系統誤差的存在。將測定值的殘差按測量順序列表或作圖以觀察系統誤差的變化規律。

若系統誤差的數值不超過隨機誤差,可采用下述的方法：

a.將殘差按測量的先后順序排列,如前一半殘差和與后一半殘差和之差顯著地不等于零,則該測量列包含累進系統誤差。

b.在一個測量列中，如條件改變前測定值的殘差與條件改變后測定值的殘差和之差顯著地不等于零，則該測量列包含隨測量條件的改變而出現的固定的系統誤差。38

②分布檢驗法

因為隨機誤差服從正態分布，所以只包含隨機誤差的測定值也服從正態分布。如果發現測定值不服從正態分布，就有理由懷疑測定值中包含變化的系統誤差，這就是分布檢驗法的基本思想。顯然，分布檢驗法只適用于重復測量次數足夠多的情況。393）系統誤差的消除由于產生系統誤差的原因非常復雜，消除系統誤差不可能有統一的方法,因此需根據具體情況，采取適當的措施。消除系統誤差可從以下兩方面著手。防止系統誤差的產生

采用完善的測量方法，正確地安裝、調整和使用測量儀器、設備，保持穩定的測量條件，防止外界的干擾等。對測定值引入更正值

在測量工作之前，對測量儀器和設備進行校正，取得儀器示值與準確值之間的關系，確定各種修正公式、修正表或修正曲線，用修正的方法消除系統誤差。

403.過失誤差與異常數據的取舍

1）過失誤差與異常數據

過失誤差是由于在測量過程中某些突然發生的不正常因素（外界干擾、測量條件意外改變，測量者疏忽大意）所造成的、與其它大多數誤差相比明顯偏大的誤差。

在一個測量列中，可能出現個別過大或過小的測定值，這種包含巨大誤差的測定值，通常稱為異常數據。異常數據往往是由過失誤差引起的，也可能是由巨大的隨機誤差引起的。41

2）異常數據的取舍準則

(1)來伊達準則

萊伊達準則是以隨機誤差的正態分布規律為根據的。對于某一測量列，如果各測量值僅含有隨機誤差，根據隨機誤差的正態分布規律，其殘差v落在以外的概率僅有0.27％，可以認為實際上是不可能發生的。因而，萊伊達準則認為：凡殘差超出，即

:視為過失誤差。由于在實際中測量次數有限，因此常用標準差的估計值代替。凡誤差超出者，便判斷為過失誤差，應予以剔除。然后重新計算值，再次對誤差進行判斷，直至剩下的測量值的殘差均小與3。必須注意：經剔除含有過失誤差的異常數據后，要重新計算出其余數據的算術平均值和標準誤差，再作判別，直至完全剔除含有過失誤差的異常數據為止。42局限性①此準則在測量數據較少時可靠性差。特別是,當采用貝塞爾公式計算測量標準差σ時,若n≤10,則對任一數據工xi恒有此時該準則無效②當測量次數n不同時,vk超出±3σ

的概率是不同的。此準則沒有考慮這一差別,也沒有區別對可靠性的不同要求,因而比較粗糙。

43(2)、格羅布斯(Grubbs)準則1定義對某量進行n次重復測量,得,設測量誤差服從正常分布,若某數據xk滿足下式,則認為xk含有粗大誤差,應剔除。

44式中:——數據xk的統計量,

——統計量的臨界值,它依測量次數n及顯著度而定,其值查表——顯著度，為判斷出現錯誤的概率,值依具體問題選擇。即當xk滿足上式，但不含粗大誤差的概率為:

452優點

該準則克服了萊以特準則的缺陷,在概率意義上給出較為嚴謹的結果,被認為是較好的判斷準則。46§4.4測量結果的表達

一·直接測量結果的表達

1.簡單表達

測量工作的目的是要獲取被測量的數值。工程上常用測定值的算術平均值來近似地代替真值X，這時，測量結果可以表達為

這種表達方式常用于粗略的測量中，原因是測定值的算術平均值也存在隨機誤差。為此，需用數理統計學中區間估計的方法，求得被測參數的真實值在某個置信概率下的置信區間。47

2.測量次數較少時測量結果的表達

t分布反映了重復測量次數n較小時平均值誤差的分布規律，常用于估計重復測量次數較少時的極限誤差。設少量的n次重復測量的一組測量值為；，，…，標準差的估計值為：

測定值的算術平均值服從正態分布，即：L～N(X，),所以