第四章

數(shù)列4.3.2等比數(shù)列的前n項和公式第二課時一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題

學(xué)習(xí)目標(biāo)新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用例10如圖，正方形ABCD的邊長為5cm，取正方形ABCD各邊的中點E,F,G,H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點I,J,K,L，作第3個正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.(1)求從正方形ABCD開始，連續(xù)10個正方形的面積之和;(2)如果這個作圖過程可以一直繼續(xù)下去，那么所有這些正方形的面積之和將趨近于多少?分析：可以利用數(shù)列表示各正方形的面積，根據(jù)條件可知，這是一個等比數(shù)列.解:設(shè)各個正方形的面積組成數(shù)列{an}，正方形ABCD的面積為首項a1,

則a1=254新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用1.一個乒乓球從1m高的高度自由落下，每次落下后反彈的高度都是原來高度的0.61倍.(1)當(dāng)它第6次著地時，經(jīng)過的總路程是多少(精確到1cm)?(2)至少在第幾次著地后，它經(jīng)過的總路程能達到400cm?課本P40新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用例11

去年某地產(chǎn)生的生活垃圾為20萬噸，其中14萬噸垃圾以填埋方式處理，6萬噸垃圾以環(huán)保方式處理，預(yù)計每年生活垃圾的總量遞增5%，同時，通過環(huán)保方式處理的垃圾量每年增加1.5萬噸.為了確定處理生活垃圾的預(yù)算，請寫出從今年起n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量的計算公式，并計算從今年起5年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量(精確到0.1萬噸).分析：由題意可知，每年生活垃圾的總量構(gòu)成等比數(shù)列,而每年以環(huán)保方式處理的垃圾量構(gòu)成等差數(shù)列

.因此,可以利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識進行計算.解:

設(shè)從今年起每年生活垃圾的總量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{an}，每年以環(huán)保方式處理的垃圾量(單位:萬噸)構(gòu)成數(shù)列{bn}，n年內(nèi)通過填埋方式處理的垃圾總量為Sn(單位:萬噸)，則新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用

=

20

(

1.05+1.052+…+1.05n

)

-(

7.5+9+…+6+1.5n

)常用數(shù)列求和方法之分組求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n項和公式，其中{an}與{bn}是等差數(shù)列或等比數(shù)列；(2)

將等差數(shù)列和等比數(shù)列分開：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式來計算Tn.解：變式：例題小結(jié)例12某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，???.(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系;(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1－k=r(cn－k)的形式，其中k，r為常數(shù);(3)求S10=c1＋c2＋c3＋???＋c10的值(精確到1).新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用分析:(1)可以利用每年存欄數(shù)的增長率為8%和每年年底賣出100頭建立cn+1與cn的關(guān)系；(2)這是待定系數(shù)法的應(yīng)用，可以將它還原為(1)中的遞推公式形式,通過比較系數(shù),得到方程組；(3)利用(2)的結(jié)論可得出解答.例12某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，???.(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系;(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1－k=r(cn－k)的形式，其中k，r為常數(shù);(3)求S10=c1＋c2＋c3＋???＋c10的值(精確到1).新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用例12某牧場今年初牛的存欄數(shù)為1200，預(yù)計以后每年存欄數(shù)的增長率為8%，且在每年年底賣出100頭牛，設(shè)牧場從今年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為c1，c2，c3，???.(1)寫出一個遞推公式，表示cn+1與cn之間的關(guān)系;(2)將(1)中的遞推公式表示成cn+1－k=r(cn－k)的形式，其中k，r為常數(shù);(3)求S10=c1＋c2＋c3＋???＋c10的值(精確到1).新知探究一：等比數(shù)列的前n項和公式的實際應(yīng)用12課本P40新知探究二：等比數(shù)列的前n項和公式的性質(zhì)思考：你能發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列前n項和公式Sn＝

(q≠1)的函數(shù)特征嗎？??當(dāng)q≠1時，即Sn是n的指數(shù)型函數(shù).當(dāng)q＝1時，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函數(shù).結(jié)構(gòu)特點：qn的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù).【例】

數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n－2.求{an}的通項公式,并判斷{an}是否是等比數(shù)列.解:當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝31－2＝1，不滿足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比數(shù)列，即{an}不是等比數(shù)列.思考：還有其他方法判斷{an}是否是等比數(shù)列嗎？新知探究二：等比數(shù)列的前n項和公式的性質(zhì)探究點三

等比數(shù)列的判斷及其前n項和的函數(shù)特征精講精練

B

思考：若{an}是公比為q的等比數(shù)列，S偶,S奇分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和，則S偶,S奇之間有什么關(guān)系？(1)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n項，則(2)若等比數(shù)列{an}的項數(shù)有2n＋1項，則S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n??S偶＝qS奇??新知探究二：等比數(shù)列的前n項和公式的性質(zhì)【例】

已知等比數(shù)列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，新知探究二：等比數(shù)列的前n項和公式的性質(zhì)

D

1、等比數(shù)列前n項和公式，對于公比未知的等比數(shù)列，應(yīng)用等比數(shù)列的前n項和公式時，需討論公比是否為1；

3、數(shù)