2020年中考數學壓軸題專題26幾證明綜復(判四邊形狀-形(解析)(17)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company本頁僅作為文檔封面，使用請直接刪除

專題幾證明綜合復（判定四邊形狀-菱形）教學重點1.培養學生通過探索和證明，發展推理意識和能力2.通過證明舉例的學習和實踐，懂得演繹推理的一般規則，并掌握規范表達的格式；了解證明之前進行分析的基本思路；3.體會用“分析綜合法”探求解題思路；4.學習添置輔助線的基本方法，會添置常見的輔助線；5.會用文字語言、圖形語言、符號語言三種數學語言進行證明說理。【說明：本部分為識點方總結性梳理目的在讓學生能從目條件所證明結論去尋找明思路，用大概5-8分鐘左右【知識、方法總結：中考何題證明思總結幾何證明題重點考察的是學生的邏輯思維能力，能通過嚴密的因為"所以"邏輯將條件一步步轉化為所要證明的結論。這類題目出法相當靈活，不像代數計算類題目容易總結出固定題型的固定解法，而更看重的是對重要模型的總結、常見思路的總結。所以本文對中考中最常出現的若干結論做了一個較為全面的思路總結。一、證明兩線段相等1.兩全等三角形中對應邊相等。2.同一三角形中等角對等邊。3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。10.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。11.等于同一線段的兩條線段相等。2

二、證明兩角相等1.兩全等三角形的對應角相等。2.同一三角形中等邊對等角。3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等；7.相似三角形的對應角相等；8.等于同一角的兩個角相等。三、證明兩直線平行1.垂直于同一直線的各直線平行。2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。3.平行四邊形的對邊平行。4.三角形的中位線平行于第三邊。5.梯形的中位線平行于兩底。6.平行于同一直線的兩直線平行。7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。四、證明兩直線互相垂直1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。4.鄰補角的平分線互相垂直。5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。3

8.利用勾股定理的逆定理。9.利用菱形的對角線互相垂直。10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。11.利用半圓上的圓周角是直角。五、證明線段的和、差、倍、分1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。六、證明角的和、差、倍、分1.作兩個角的和，證明與第三角相等。2.作兩個角的差，證明余下部分等于第三角。3.利用角平分線的定義。4.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。七、證明兩線段不等1.同一三角形中，大角對大邊。2.垂線段最短。3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。八、證明兩角不等1.同一三角形中，大邊對大角。2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。4

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。九、證明比例式或等積式1.利用相似三角形對應線段成比例。2.利用內外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。5.與圓有關的比例定理--相交弦定理、切割線定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。以上九項是中考幾何證明題中最常出現的內容，只要掌握了對應的方法，再根據題目中的條件進行合理選擇，攻克難題不再是夢想！

ABABCDE分BCFACDF、HHAHC1FBGH2ABCH1DF//BG/FBGHOBOHOFOGAFCGOAABCH5

1FGAFFGGCDAB/BGEH//BFFBGHACOCOBHFG2FBGH

AFFGGCAFABCHACBHABABCH6

2.（2020靜安區一模）如圖，有一菱形紙片，∠A＝60°，將該菱形紙片折疊，使點好與中點合，折痕為FG，點F、別在邊、AD上，聯結EF，那么cos∠EFB的值為____．【整體分析】連接BE，由菱形和折疊的性質，得到AF=EF，∠C=∠A=60°，由∠C=，CE1BC2

，得到△是直角三角形，，則△也是直角三角形，設菱形的邊長為

，則FB

BE

，由勾股定理，求出FB=m，EF，即可得到cos∠EFB的值【滿分解答】解：如圖，連接BE，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD∠C=∠°，AB∥，由折疊的性質，得AF=EFFB，則EF=AB∵cos∠C=

，∵點中線，7

8m8m∴

CE1BC2

，C

CEBC2

，∴△BCE是直角三角形，即⊥，∴⊥AB，即△是直角三角形.設，則BE=

sin60

，在Rt△，，由勾股定理，得2BE2

,∴2

m

，解得：FBm，則EF，∴

EFB

1mFBEF78

；故答案為：

.【點睛】本題考查了解直角三角形，特殊角的三角函數值，菱形的性質，折疊的性質，以及勾股定理的運用，解題的關鍵是正確作出輔助線，構造直角三角形，從而利用解直角三角形進行解題.ABCDAD//BCADCDEBDEC1ABCD2:BCE8

首得由角的得由AD//BC得CBDCDBADBCABCDADCDBECCBE

90ABCD1

ADCDDEDE//CDECBDBCBCADAD2BEBCBECCBE:CBE

45ABCD

454.已知：如圖，ABC中的平分線交BC于D，DE垂足為連，交AD于點H。（1）求證：ADCE；（2）如過點EF∥交于點F，連CF猜想四邊是什么圖形？并證明你的猜想。

F

HDB

HDB【解法撥】可參考下方法導學生分析題、解問題一.找題目中的已知量和特殊條件：1.邊的關系DE，BC；2.角的關系

CAD

；二．證明ADCE根據題目中的條件，聯想到用全等證明，證明△ACD≌△AED可得。三．判斷四邊CDEF是什么圖形：根EF∥FHHD再結CD得四邊CDEF菱形。【滿分答】證明：（1）ACB90的平分線于DDEAB∴在△和△中10

CADEADAD

ACDAED∴△≌△∴AC=AE∴ADCE（2）四邊CDEF是菱形。（如上右圖）∵AC=，ADCE∴CH=HE∵EF

∥，∴

EHFH∴FH=HD∴四邊CDEF菱形.5.已知：如圖，在梯ABCD中，，點E、邊上，DE//，A//，且四邊形AEFD是平行四邊形。（1）試判斷線段AD與的長度之間有怎樣的量關系？并證明你的結論；（2）現有三個論斷：①=；②∠B∠C90°；③∠B=2∠。請從上述三個論斷中選擇一個論斷作為條件，證明四邊形是菱形。【解法撥】可參考下方法導學生分析題、解問題一.找題目中的已知量和特殊條件：11

1.邊的關系：AD//DEAB，A//；2.特殊圖形：梯，平行四邊形AEFD。二.判斷線段AD與的長度之間的數量關：分別證明四邊形ABED和是平行四邊形，即可得到

BCAD

。三.擇條件，證明四邊形AEFD是菱形：選擇條件，證明四邊形AEFD一組鄰邊相等即可。【滿分答】（1）解：線段AD與BC的長度之間的數量為：

BCAD

．證明：∵//BCDE，∴四邊形ABED是平行四邊形∴AD=B．同理可證，四邊形AFCD平行四邊形．即得AD=FC．又∵四邊形是平行四邊形，∴AD=EF．∴AD==EF=FC．∴

BCAD

．（2）解：選擇論斷②作為條件．證明：∵//，∴∠B=DEC．∵∠∠C=，∴∠+∠C=．即得∠EDC90°．又∵=FC，∴DF=EF．∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形。6.如圖，四邊形中，ADBC，E的延長線上，聯結DEAB于點F

，聯結DB，且DE

BE。(1)求證DBECDE；（2）當平時，求證：四邊形菱形。12

DE

F

2

1

【解法撥】可參考下方法導學生分析題、解問題一.找題目中的已知量和特殊條件：1.邊的關系AD//，DE2BECE；2.角的關系AFD二.DBECDE：用題目中的條件證即可。三.證四邊形是菱形：1.先用角度相等證AB//DC，結合//到四邊形是平行四邊形；2.再用角平分線證，得到四邊形菱形。【滿分答（1）證明：∵DEDE∴．CE

BE，∴∽CDE．(2)

DBECDE，（如右上圖）又DBECDE．∴AB．又∵//BC，∴四邊形ABCD平行四邊形∵AD，ADB∵DB平，13

．ADB．∴ABAD．∴四邊形ABCD是菱形。2018ABCD()AABBACABCDCABC90DAABCDACABCDCDBDD2019E

ABCDACADOBA14

12OBACFOC2

BO1AEDCAEAC2BAF1BCBCE90ACB

BABFBEAEC90ACE90ACAEABCD//AEAEDCAEDC2OBACAEDCACEOCOFC

AFBAEOABF∽

BABFBOBEBABEBAAB23.如圖，在四邊中，AD，平DAB，60（1）求證：四邊形是等腰梯形；（2）取的中點E，聯結DE。求證：四邊形DEBC是菱形。【解法撥】可參考下方法導學生分析題、解問題一.找題目中的已知量和特殊條件：1.邊的關系ADCD，ACBC2.角的關系平DAB二.明四邊形ABCD等腰梯形：1.用AC平和ADCD∥AB；16

2.在說明AD與不平行即可。三.證四邊是菱形：用直接三角形的性質證明先證明四邊形是平行四邊形，再結合CD得到。【滿分解答】證明：（1）∵ADCD，∵AC