3．4．1基本不等式（第1課時）32**學習目標**1.理解算術平均數與幾何平均數的定義及它們的關系.2.探究并了解基本不等式的證明過程,會用多種方法證明基本不等式.3.理解基本不等式的意義,并掌握基本不等式中取等號的條件是:當且僅當這兩個數相等.**要點精講**1．基本不等式：()，即：兩正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數，當且僅當a=b時等號成立．注：上述不等式對a≥0,b≥０時仍成立。2．基本不等式的幾何解釋：半徑不小于半弦．a≥0,b≥03．基本不等式的變形公式：（1）（）；（2）；（3）；（4）；（5）。新課標第一網4．基本不等式的推廣：n個(n>1)非負數的幾何平均數不大于它們的算術平均數．即若ai≥0(i=1,2,…,n),則(n>1,nN)；**范例分析**例1．（1）如圖,已知在正方形ABCD中,有四個全等的直角三角形,設直角三角形的兩條直角邊的長為a、b,則正方形ABCD的面積為S1=________,4個直角三角形面積的和為S2=________,則S1_______S2(填“≥”“≤”或“=”).據此,我們就可得到一個不等式(用含a、b的式子表示),并且當a______b時,直角三角形變為________時,S1=S2.（2）已知，求證：，你能解釋（）的幾何意義嗎？例2.利用基本不等式證明下列不等式：已知a>0,求證a+；已知a>3,求證a+；例3.(1).已知x,y,z是互不相等的正數,且x+y+z=1,求證:((2).已知，求證：。例4．（1）已知為任意實數，求證：a2+b2+c2ab+bc+ca；（2）已知a+b+c=1,求證a2+b2+c2≥。４．已知a,b,c不全相等的三個正數,且abc=1,求證:注意：利用基本不等式證明時要交代等號為何不能成立．規律總結1．均值不等式（不等式鏈）：若，則。其中，分別稱為正數的調和平均數（H）、幾何平均數（G）、算術平均數（A）、平方平均數（P），即有。基本功能有：（1），將平方和與兩數和互化；（2），將和與積互化；wWw.xKb1.coM（3），將和與倒數和互化；（4）重要變形：，其中為正數。2．學會多次運用和創造條件運用基本不等式證題，尤其是不等式兩邊均為三項，可將一邊變成六項，分成三組．對每一組用基本不等式．3．均值不等式在運用時，常需先湊形后運用；用均值不等式證明時，為達到目標可先宏觀，后微觀；均值不等式和不等式的基本性質的聯合運用是證明不等式行之有效的方法。**基礎訓練**一、選擇題1．下面推導“”中所犯的錯誤是（）沒有考慮等號成立的條件沒有考慮的值應當非負的限制沒有考慮而不能開方的情況沒有考慮是可以開方的條件2．若a>1,b>1則a+b,2ab,2,中最大的一個是（）Aa+b,B2ab,C2,D3．設則以下不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．4．如果正數滿足，那么（）Ａ．，且等號成立時的取值唯一Ｂ．，且等號成立時的取值唯一Ｃ．，且等號成立時的取值不唯一Ｄ．，且等號成立時的取值不唯一5．已知x,yR，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，則M與N的大小關系是（）A、MN B、MN C、M=N D、不能確定二、填空題6．比較大小：1；7．已知，且，將下列五個數按從大到小順序排列是。8．有一組數據：，它們的算術平均值為10，若去掉其中最大的，余下數據的算術平均值為9；若去掉其中最小的，余下數據的算術平均值為11。則關于n的表達式為___________；關于n的表達式為___________。三、解答題9．證明：（1）若，則。（2）已知，求證：。10．（1）已知，求證：；（2）已知a,b,c∈R+,且a+b+c=1,求證:。.四、能力提高11．若a、b是正數，則、、、這四個數的大小順序是（）A.≤≤≤B.≤≤≤C.≤≤≤D.≤≤≤12．已知，，求證：。3．4．1基本不等式例1．解：（1），，由知，，當且僅當時等號成立；（2）見要點精講。例2.（1）因為，所以，當且僅當時等號成立；（2）因為，所以；當且僅當，即時等號成立；X|k|B|1.c|O|m例3.（1）因為是互不相等的正數，且x+y+z=1，所以……①……②……③三式相乘得。（2）證明：因為，所以，。例4．證明：（1）因為，得證。或，，，三式相加得證。（2）方法1：，所以a2+b2+c2≥，當且僅當時等號成立；方法2：因為，所以，當且僅當時等號成立；**參考答案**1~5BDBAA；5．提示：；6．；7．；8．。9．證明：（1），，相加得證。（2）證明：，，，相加得證。10．（1）因為，所以，同理，，，相加得證。（2）提示：。11．C；提示：方法1，特殊賦值，令a=1，b=2，