第3-1節電阻電路的一般分析求解的方法3.22b法3.3

節點電壓法（，★）

3.1電路的拓撲圖及電路方程的獨立性

（）3.4

應用實例——晶體管電路3.1電路的拓撲圖及電路方程的獨立性

為何學習電阻電路的一般分析方法？答一、網絡圖論的初步知識等效變換是一種重要的電路分析方法，但只對具有一定結構形式的簡單電路行之有效。對于較復雜的電路，必須有一些更普遍、更一般的分析手段。系統化求解電路響應的一般方法將在本章介紹。這種方法不要求改變電路的結構。1.引言2.網絡圖論的基本概念(1)電路的圖：用G表示，是用于說明電路的連接特點或拓撲性質的圖，是支路(線段)和節點的集合。

有向圖無向圖5節點8支路將電壓源與電阻串聯作為一條支路處理.4節點7支路電流源與電阻并聯視作一條支路。4節點6支路有向圖與無向圖：標出了支路電流參考方向的圖叫有向圖。否則叫無向圖。支路電壓一般與支路電流取關聯參考方向。iS2R1R2R3R4R5R6+_uS1

(3)連通圖、子圖：任意兩個節點之間至少存在一條支路的圖稱連通圖。(非連通圖至少存在兩個分離部分)。若圖G1中所有支路和節點都是圖G中的支路和節點，則稱G1是G的子圖。圖(b)、(c)都是圖(a)的子圖。(2)路徑、閉合路徑及回路：從圖G的一個節點出發沿著一些支路連續移動到達另一節點所經過的支路構成路徑。起始節點與終止節點重合的路徑為閉合路徑。若閉合路徑所經過的節點均相異，則該閉合路徑構成圖G的一個回路。(a)圖G(b)子圖G1(c)子圖G21.獨立KCL方程數每個節點KCL方程：不是相互獨立。任意方程可由剩下的三個方程推導出來。∴獨立方程數為3。結論:對于n個節點的電路，獨立KCL方程數為(n－1)。二、

KCL和KVL的獨立方程數任意選擇一個節點為參考節點，其它節點即獨立節點。①②③④1264532.獨立KVL方程數結論:對于一個具有b條支路、n個節點的電路，

KVL的獨立方程數=基本回路數=網孔數=b－(n－1)。網孔1：u1-u3+u4=0網孔2：-u2-u3+u5=0網孔3：u1+u2-u6=0①②③④126453312網孔:平面圖中的自然孔，孔內區域中不再含有任何支路和節點。給定一個平面上的電路，該電路具有b-(n

-1)個網孔，b-(n

-1)個網孔的KVL方程是獨立的。

獨立回路可以選取網孔或基本回路。對獨立回路所列的KVL方程也是相互獨立的。思考與練習1.簡要證明：對于一個具有b條支路、n個節點的電路，樹支數為bt=n-1，連支數為bl=b-(n-1)。

2.有人說：“一個連通圖的樹包含該連通圖的全部節點和全部支路。”你同意嗎？為什么？3.有人說：“一個電路的KCL獨立方程數等于它的獨立節點數。”你同意嗎？為什么？4.有人說：“一個電路的KVL獨立方程數等于它的獨立回路數。”你同意嗎？為什么？

n個節點，b條支路(缺點：方程個數多，求解繁雜)一、2b法：VCR：b

個支路方程KCL：(n-1)個獨立方程KVL：(b-n+1)個獨立方程以支路電流、支路電壓為變量則2b

個變量2b法2b

個獨立方程3.22b法和支路法二、支路電流法以支路電流ik

為變量(b個)列方程。依據：VCR：KCL：KVL：uk

=f(ik)US2bI1I2I3aR1R2R3US1+_+_12選定兩個網孔為獨立回路，KVL方程為：利用元件的VCR將各支路電壓用支路電流表示，有:U1+U3=0U2+U3=0KVL:U1=–US1+R1I1U2=–US2+R2I2U3=R3I3VCR:將VCR代入KVL，整理得：選b為參考節點，對節點a列KCL方程有：

KCL:-I1-I2+I3=0<1>R1I1+R3I3=US1

R2I2+R3I3=US2<2>最終，支路電流方程由<1><2>組成。支路電流法的步驟如下:1.標定各支路電流（電壓）的參考方向。2.選定(n–1)個獨立節點，列寫其KCL方程。3.選取(b-n+1)個獨立回路，指定回路的饒行方向，列出KVL方程。4.求解各支路電流，進而求出其他所需求的量。三、支路電壓法:如果將支路電流用支路電壓表示，然后代入KCL方程，連同支路電壓的KVL方程，可得到以支路電壓為變量的b個方程。這就是支路電壓法。3-1求下圖中各支路電流及各電壓源的功率。70V6V7b+–+–I1I3I2711a對節點a有n-1=1個KCL方程：

–I1–I2+I3=0①P6V=-6I2=-6×(-2)=12W(吸收功率)。(3)獨立回路數：l=b-(n-1)=3-1=2；應用舉例

例：解：(1)選定各支路電流的參考方向。(2)節點數2、獨立節點數為1。2個網孔的KVL方程：7I1–11I2=70-6=64②11I2+7I3=6③(4)解以上聯立方程式①，②，③，各支路電流為I1=6A，I2=-2A，I3=I1+I2=6-2=4A；P70V=-70I1=-70×6=-420W(發出功率)，思考與練習1.2b法求解電路有哪些優點和缺點？

2.闡述支路電流法與2b法的區別與聯系。3.闡述支路電壓法與2b法的區別與聯系。

4.為什么說支路電流是不獨立的？

節點電壓法：以節點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。3.3

節點電壓法一、基本的節點電壓法任意選擇電路中某一節點作為參考節點，其余節點與此參考節點間的電壓分別稱為對應的節點電壓，節點電壓的參考極性均以參考節點為負極性端，以所對應節點為正極性端。UPQ=UP-UQUPUQPQoUPQ=？根據廣義KVL兩節點之間電壓(支路電壓)UPQ等于P節點電壓減去Q節點電壓節點電壓自動滿足KVL方程。UPQ+UQ-UP=0只需列寫以節點電壓為變量的KCL方程。（2）

設定各支路電流的參考方向,列出未知節點的KCL方程i出=i入i1+i2+i3+i4+iS2=iS1+iS3iS3+i5=i3+i4un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012

（1）

選定參考節點，假設其余未知節點的節點電壓。（1）（3）將支路電流用節點電壓表示將支路電流表達式代入（1）式un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012支路電壓是兩節點電壓之差

支路(端口）的VCR電流從節點電壓高的流向節點電壓低處(關聯參考方向)水從高處往低處流整理，得（4）求解上述方程得節點電壓。

（2）步驟繁瑣，能否直接寫出方程組（2）？G11=G1+G2+G3+G4—節點1的自電導，接在節點1上所有支路的電導之和。

G22=G3+G4+G5—節點2的自電導，接在節點2上所有支路的電導之和。

G12=G21=-(G3+G4)—節點1與節點2之間的互電導，接在節點1與節點2之間的所有支路的電導之和，并冠以負號。

令Gk=1/Rk，k=1，2，3，4，5un1un2iS1iS2iS3R1R2R5R4R3012iSn1=iS1-iS2+iS3—流入節點1的電流源電流的代數和。

iSn2=-iS3—流入節點2的電流源電流的代數和。

*電流源電流流入節點取正號，流出取負號。un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012將上述結論推廣到有n-1個獨立節點的僅含電阻、電流源的電路G11un1+G12un2+…+G1nunn=iSn1G21un1+G22un2+…+G2nunn=iSn2Gn1un1+Gn2un2+…+Gnnunn=iSnn

Gii

—自電導，接在節點i上所有支路的電導之

和，總為正。不標注參考電流，不列寫KCL，直接觀察電路的自電導，互電導，流入節點的電流源，寫出標準方程的方法標準方程的直接觀察法iSni

—流入節點i的所有電流源電流的代數和。Gij

=Gji

—互電導，接在節點i與節點j之間的所有支路的電導之和，并冠以負號。

標準方程R1un1un2uS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012+-可將該支路進行電源等效變換后，再列方程。記Gk=1/Rk，得(G1+G2+G3+G4)un1-(G3+G4)un2=G1uS1

-iS2+iS3-(G3+G4)un1+(G3+G4+G5)un2=-iS3等效電流源電路中含電壓源與電阻串聯的支路正極靠近節點時等效電流源為正，否則為負。自電導：接在節點i所有支路電導之和，恒正。互電導：接在節點i和j之間的各支路電導之和，恒負。節點電壓

與節點i相連的電流源電流代數和，電流流入節點為正，否則為負。

與節點i相連的電壓源與串聯電導乘積的代數和。正極靠近節點時為正，否則為負。節點電壓法的標準方程的直接觀察：

節點電壓法的一般步驟：（1）選定參考節點(地)，標定其他節點的節點電壓

（2)設定各支路電流的參考方向,對未知節點列寫其KCL方程

（4）求解上述方程，得到未知節點電壓；(3)根據元件方程以節點電壓表示電流----難點節點電壓法的標準方程的直接觀察----簡明用節點電壓法求各支路電流。例Un1Un22010402040+120V-240VI4I2I1I3I5120V240V+-+-2010402040I4I2I1I3I5（1）選定參考節點(地)，標定其他節點的節點電壓

120V240V+-+-2010402040Un1Un2I4I2I1I3I5（2)設定各支路電流的參考方向,

對未知節點列寫其KCL方程

節點1節點2(3)根據元件方程以節點電壓表示電流端口I1與Un1的電流電壓關系+-10Un1Un2I2120V+-20I1Un1+-支路電壓是兩節點電壓之差

120V240V+-+-2010402040Un1Un2I4I2I1I3I5+-節點電壓法的標準方程的直接觀察：

二、特殊的節點電壓法1.含理想電壓源支路時的分析方法a:

適當選取其中一個理想電壓源US1端點作參考點，

b:設流經其他理想電壓源的電流為I，利用直接觀察法形成標準方程:

c:添加理想電壓源的約束方程

Un2－Un3＝US3

d:求解Un3G1G2G4G5US1+_+_US3I2314則Un1＝US1_Un1Un2

b:先將受控源作獨立源處理，利用直接觀察法列方程。

a:

選取參考節點。

d:整理求解：(注意：G12≠G21)

R1R2R3R4R5gUU+_US+_Un1Un22.含受控源支路時的分析方法

c:再將控制量用節點電壓表示:

3-2用節點電壓法求下圖的i1和i2。例：解：+4i22A442i10.5i24i1①②_應用舉例

控制量用節點電壓表示3.含電流源串聯電阻時的分析方法3-9用節點電壓法求圖示電路的i1和i2。例：解：節點電壓方程:

約束方程：補充方程：R1R2R3R4R5+_IS4US2US6+_+_Un1Un3Un2U5+_I3IμU5βI3與電流源串聯的電阻不出現在節點電壓方程中。節點法的一般步驟：(2)對n-1個獨立節點，以節點電壓為未知量，確定自電導和互電導，按照標準形式列寫節點電壓方程；

(3)

求解上述方程，得到n-1個獨立節點電壓；(4)

進一步計算支路電流、支路電壓和進行其它分析。②如果電路中有受控源①如果有電壓源和電阻的串聯支路④與電流源串聯的電阻不出現在節點電壓方程中。③如果電路中有多個理想電壓源(1)選定參考節點，標定n-1個獨立節點；作業3.3提示：練習用節點電壓法求解電路。3.43.5

提示：練習用節點電壓法求解含受控源電路。3.9

提示：練習用節點電壓法分析含負反饋運放電路.3.7提示：練習用節點電壓法求兩節點間含電壓源的電路3.8提示：練習用節點電壓法求兩節點間含受控電壓源的電路1.哪些電路適于用節點電壓法？

2.電路中含有理想電壓源或者受控源時，用節點電壓法分析電路時如何處理？3.電路中含有電流源串聯電阻時，用節點電壓法分析電路時如何處理？4.支路電流法、網孔電流法、回路電流法、節點電壓法的異同是什么？

你對本節知識掌握得如何？3.3

應用實例——晶體管電路3-10試求下圖所示晶體管電路中的U0。假定晶體管工作在放大模式，并且β=150，UBE=

0.7V。例：解：U0=14.575V小結：看看記記一、網絡圖論的基本概念

1.支路:不考慮元件的特性,而把各元件都抽象地用線段來代替,稱為支路,可將電壓源與電阻串聯,電流源與電阻并聯視作一條支路。2.節點:支路和支路之間的交點稱為節點,用小圓圈表示。

3.對具有b條支路,n個節點的圖。獨立KCL方程數為(n-1)個,獨立KVL方程數為(b-n+1)

個。二、2b法和支路電流法1.2b法:對具有b條支路,n個節點的電路,當以b個支路電壓和b個支路電流為未知量時,可列寫(n-1)個獨立的KCL方程,(b-n+1)個獨立的KVL方程,b個支路VCR方程,這種方法叫2b法。2.支路電流法:以b個支路電流為未知量分析電路的方法。利用元件的VCR將各支路電壓以支路電流表示,然后代入KVL方程,這樣,就得到以b個支路電流為未知量的b個KCL和KVL方程。

3.支路電壓法:將支路電流用支路電壓表示,代入KCL方程,連同支路電壓的KVL方程,可得到以支路電壓為變量的b個方程的方法。三、節點電壓法:以節點電壓為未知量列寫電路方程分析電路的方法。對支路多節點少的電路最為簡便。步驟：1.選定參考節點（該節點的電位為0）

，標定n-1個獨立節點；2.對n-1個獨立節點，以節點電壓為未知量，按照標準形式列寫節點電壓方程；

標準方程：①自電導:G11、G22、G33、…等于與各節點相連的支路電導之和。自電導總為正。②互電導:G12、G13、G23、…等于連接在兩節點之間的所有支路的電導之和,互電導總為負。③電流源:寫在等式右邊,電流源電流流入節點為正,流出節點為負。④如果有電壓源和電阻的串聯,將其等效變換為電流源和電阻的并聯。正極靠近節點的電流源流入節點，寫在等式右端為正3.求解上述方程，得到n-1個節點電壓；4.進一步計算支路電流、支路電壓和進行其它分析。⑤如果電路中有受控源，首先將控制量用電路變量表示，然后將其視為獨立電源處理，最后將含有電路變量的電流源項移到方程左端合并同類項。支路法回路法節點法KCL方程KVL方程n-1b-n+100n-1方程總數b-n+1n-1b-n+1b⑦與電流源串聯的電阻不出現在節點電壓方程中。⑥如果電路中有多個理想電壓源，適當選取某個理想電壓源“-”