第5章有限(yǒuxiàn)差分法工程電磁場數值方法編程實驗(shíyàn)－有限差分法電子科技大學賴生建cem@精品資料cem@主要(zhǔyào)內容差分和差商有限差分格式不同媒質分界(fēnjiè)面上的差分格式及定解問題的差分格式有限差分法的求解場強與電、磁積分量的計算典型算例分析精品資料cem@介紹(jièshào)有限差分(chàfēn)方法是一種微分方法，自上世紀五十年代以來得到了廣泛的應用，該方法概念清晰，方法簡單，直觀。雖然其與變分法相結合所形成的有限元法更有效，但有限差分(chàfēn)還是以其固有特點在數值計算中有其重要地位，是應用最多的一種數值方法。為求解由偏微分方程定解問題所構造的數學模型，有限差分(chàfēn)法是將定解區域（場區）離散化為網格離散節點的集合。并以各離散點上函數的差商來近似該點的偏導數，使待求的偏微分方程定解問題轉化為一組相應的差分(chàfēn)方程。根據差分(chàfēn)方程組解出各離散點處的待求函數值——離散解。精品資料cem@1、差分(chàfēn)與差商用差分代替微分，是有限差分法的基本(jīběn)出發點。這一點由微分原理保證的，當自變量的差分趨于零時，差分變成微分精品資料cem@差分(chàfēn)與差商前向差分(chàfēn)后向差分(chàfēn)中心差分(chàfēn)精品資料cem@差分(chàfēn)與差商通過泰勒(tàilè)公式分析上面差分精度，在點上的一階導數的逼近度可由泰勒(tàilè)公式展開兩式相減精品資料cem@差分(chàfēn)與差商前向、后向差分截斷(jiéduàn)于，具有h的一階精度，而中心差分法截斷(jiéduàn)于，具有h的二階精度，中心差分的精度比較高。前向差分前向差分精品資料cem@差分(chàfēn)與差商對偏導數，可仿照(fǎngzhào)上述方法，將表示為：精品資料cem@差分(chàfēn)格式

二維Possion方程差分格式有限差分法的網格劃分(huàfēn)，通常采用完全有規律的分布方式，這樣可使每個離散點上得到相同形式的差分方程，有效的提高解題速度。對能填滿平面域的三種規則網格（正方形，正三角形和正六邊形）的劃分(huàfēn)方式，經常采用的是正方形網格劃分(huàfēn)，精品資料cem@差分(chàfēn)格式

一階偏導數差分格式可采用待定系數的方法，提高差分格式的精度，它的思路：1、3結點與0結點在x方向的差分用泰勒(tàilè)公式展開，它們各自占有一定的權系數，以截斷誤差來計算系數精品資料cem@差分(chàfēn)格式

忽略h3以上的高次冪的項，并且令項的系數為零，這樣處理可以保證得到的差分(chàfēn)格式誤差為h3量級。系數為零的條件求出二階精度精度為一階偏導數差分(chàfēn)格式精品資料cem@差分(chàfēn)格式

二階偏導數的差分(chàfēn)格式令方程右邊的一階偏導數的系數為0，得到系數間的表達式代入上式得到精度為O(h3)的二階偏導數的差分(chàfēn)格式精品資料cem@差分(chàfēn)格式

當時，上式可以簡化為Possion方程五點差分(chàfēn)格式精品資料cem@不同媒質分界面上(miànshànɡ)的差分格式分界面與網格線重合的情況(qíngkuàng)兩式中和是假設“虛”電位，可以利用分界面上場量遵循的邊界條件，削去它們精品資料cem@不同(bùtónɡ)媒質分界面上的差分格式其次，假設(jiǎshè)在分界面上沒有自由電荷中心差分格式表示把前面關于和式子代入上式精品資料cem@不同(bùtónɡ)媒質分界面上的差分格式分界面與網格線呈對角線的情況兩式中和是假設(jiǎshè)“虛”電位，可以利用分界面上場量遵循的邊界條件，削去它們精品資料cem@不同媒質分界面上的差分(chàfēn)格式其次，假設在分界面上沒有自由電荷對M、N結點(jiédiǎn)應用線性插值精品資料cem@不同媒質(méizhì)分界面上的差分格式把前面的＋和＋代入上式，得網格線呈對角線的差分(chàfēn)格式：精品資料cem@定解條件(tiáojiàn)的離散化第一類邊界條件的差分離散化應用多元函數的泰勒公式，結點1、3的位函數值和可通過表示為以h和h1分別與以上兩式相乘且相加，削去一階偏導項，然后(ránhòu)截斷與h的二次項，便得到關于結點0的二階偏導數的差分格式精品資料cem@定解條件(tiáojiàn)的離散化同理，在0結點處關于y方向的二階偏導的差分格式代入給定的泊松方程(fāngchéng)，得到通常第一類邊界條件的差分格式精品資料cem@定解條件(tiáojiàn)的離散化第三類邊界條件的差分離散化第一種情況，當結點剛好(gānghǎo)著落于邊界線L上時，這還取決于邊界結點處的外法線與網格線重合，精品資料cem@定解條件(tiáojiàn)的離散化外法線與網格線不重合情況，邊界結點上的外向法向方向與水平夾角為ā，其法向導數顯然是在x和y方向的導數在法向的投影(tóuyǐng)組合，精品資料cem@定解條件(tiáojiàn)的離散化第二種情況，當結點不落于邊界線L上時，只需要引入于結點0相關的邊界結點O‘，點的外方向n作為結點0處的“外方向n”，且近似地認為邊界條件中給定的函數和均在O’點上的取值。這樣(zhèyàng)，此種情況下的第三類邊界條件的離散格式于式相似，精品資料cem@定解條件(tiáojiàn)的離散化第二類邊界條件的差分(chàfēn)離散化第二類齊次邊界條件為第三類邊界條件的特殊情況，即。我們這里討論最常見的一種情況加一層虛擬邊界上面也是對稱邊界條件的離散公式精品資料cem@有限(yǒuxiàn)差分法的求解

綜上所述，對場域D內各結點（包括所有場域內結點和邊界結點）逐一列出對應的差分計算格式，即構成以這些離散結點上的位函數為待求量的差分方程組（代數方程組）。求解這些代數方程組，得到場域中的電位值計算步驟通常是：離散場域，采用一定(yīdìng)的網格剖分方式離散化計算區域。離散化場方程，即基于差分原理的應用，對場域內場的偏微分方程以及定解條件進行差分化處理，得到方程的差分格式。計算離散解，建立的差分格式（與原定解問題對立的離散數學模型—代數方程組），選用合適的代數方程組解法，編寫相應的計算程序，算出待求的結點上場值。精品資料cem@有限(yǒuxiàn)差分法的求解

精品資料cem@有限(yǒuxiàn)差分法格式特點仔細分析離散的差分(chàfēn)方程組，例如泊松方程，從離散方程式不難看出，該方程組的系數一般是有規律的，且方程都很簡單，每個方程的項數不多（待求量最多不超過5項）各離散結點上的方程組形式（結點順序按坐標先從y軸增加、再x軸增加（從下到上、從左到右，即先列后行）排列精品資料cem@有限(yǒuxiàn)差分法格式特點精品資料cem@有限(yǒuxiàn)差分法格式特點寫成矩陣(jǔzhèn)方程形式精品資料cem@有限差分法格式(géshi)特點可以看出系數矩陣由如下特點：系數矩陣是稀疏矩陣，只有少數元素不為零。系數矩陣在一定邊界條件下（邊界與結點重合且場域邊界類型都一樣），是對稱正定矩陣。系數矩陣是的方陣，大小為場域中離散(lísàn)結點的總數目Nx*Ny。，精品資料cem@超松弛(sōnɡchí)迭代法求解具有稀疏系數矩陣的大型差分方程組，其中最優的就是(jiùshì)超松弛迭代法（SuccessiveOverRelaxation，SOR）。為了說明SOR方法，首先介紹雅可比法和高斯-賽德爾法雅可比法（Jacobi）就是(jiùshì)要使迭代值能精確的滿足前一次各點的電位值所能表示的差分方程精品資料cem@超松弛(sōnɡchí)迭代法高斯-賽德爾法是雅可比法的改進方法，主要針對減少內存消耗，只需存儲一組完整的數組。它采取的措施是對每一次迭代(diédài)盡量采用最新計算的值來替換上一次迭代(diédài)的舊值。結果收斂速度比雅可比法快一倍。精品資料cem@超松弛(sōnɡchí)迭代法逐次超松弛法是對高斯-賽德爾法的改進，該方法的核心是借助于一收斂因子(yīnzǐ)w作用到高斯-賽德爾迭代公式。當時w＝1，就回到高斯-賽德爾法。當w>2時，迭代過程變得及其不穩定。只有1<w<2，才能提高收斂速度。精品資料cem@超松弛(sōnɡchí)迭代法正方形第一類邊界條件時長方形第一類邊界條件時精品資料cem@場強與電、磁積分(jīfēn)量的計算通過上述差分方程組的求解，在獲得場域內各結點(jiédiǎn)上待求位函數后，往往還需求場中的場強分布，以及其他有關的積分特性（如磁通量和磁導、電導、電容等磁路及電路參數等）。精品資料cem@場強與電、磁積分(jīfēn)量的計算無論是靜電場、恒定(héngdìng)電流場或恒定(héngdìng)磁場，其通量可一般地表示為所分析的靜電場中的電容C、恒定(héngdìng)電流場中的電導G或恒定(héngdìng)磁場中的磁導等電路或磁路參數P就可按下式計算精品資料cem@典型(diǎnxíng)算例分析設長直接地金屬(jīnshǔ)槽的橫截面如圖所示，其側壁與底面電位均為零，頂蓋電位的相對值為10。試求槽中間電位分布精品資料cem@典型(diǎnxíng)算例分析※、場問題分析(fēnxī)。直角坐標系，槽內電位函數滿足Laplace方程，構成如下的第一類邊值問題精品資料cem@典型(diǎnxíng)算例分析※、離散場域。用簡潔(jiǎnjié)的正方形網格對場域D各方向進行等分剖分p，q※、場域內差分格式。采用Laplace五點差分格式精品資料cem@典型(diǎnxíng)算例分析※、超松弛迭代計算。用超松弛迭代法計算差分方程※、邊界條件。本例給定為第一類邊值，邊界條件的差分離散(lísàn)化應直接賦值方式精品資料cem@典型(diǎnxíng)算例分析