2022年北京第一七八中學高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設A，B，C，D是球面上四點，已知，，球的表面積為32π，則四面體ABCD的體積的最大值為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A2.命題“對任意的”的否定是

（

）

不存在存在存在對任意的參考答案：C3.拋物線y=4x2的準線方程為（）A．x=﹣1 B．x=1 C．y=﹣ D．y=參考答案：C【考點】K8：拋物線的簡單性質．【分析】根據題意，將拋物線的方程變形為標準方程，分析可得其焦點位置以及p的值，進而可得其準線方程，即可得答案．【解答】解：根據題意，拋物線y=4x2的標準方程為x2=，其焦點在y軸正半軸上，且p=，則其準線方程為y=﹣；故選：C．4.如果logx＜logy＜0，那么（）A．0＜y＜x＜1 B．1＜y＜x C．1＜x＜y D．0＜x＜y＜1參考答案：C【考點】對數函數的圖象與性質．【分析】利用換底公式化簡，結合對數函數的圖象及性質，即可得到答案．【解答】解：∵真數在，對數值小于0，由對數函數的圖象及性質，可知：底數必須大于1，即x＞1，y＞1．換成以底的對數：可得：logx=；

logy=．∵logx＜logy，∴log＞，由于底數為＜1，是減函數，∴y＞x，所以：1＜x＜y故選：C．5.已知a=(3,2),b=(-1,y),且a⊥b,則y=(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：A6.橢圓的長軸長為10，其焦點到中心的距離為4，則這個橢圓的標準方程為A.

B.C.或

D.或參考答案：D略7.設a≠0，a∈R，則拋物線y=4ax2的焦點坐標為（）A．（a，0） B．（0，a） C．（0，） D．隨a符號而定參考答案：C【考點】拋物線的簡單性質．【分析】先把拋物線方程整理成標準方程，進而根據拋物線的性質求得答案．【解答】解：∵y=4ax2，∴x2=y，∴p=∴拋物線焦點坐標為（0，）故選C8.橢圓=1的長軸為A1A2，短軸為B1B2，將橢圓沿y軸折成一個二面角，使得A1點在平面B1A2B2上的射影恰好為橢圓的右焦點，則該二面角的大小為（）A．75° B．60° C．45° D．30°參考答案：B【考點】橢圓的應用；與二面角有關的立體幾何綜合題．【專題】計算題．【分析】連接A10根據橢圓的性質可知A10⊥y軸，A20⊥y軸，推斷出∠A10A2為所求的二面角，利用橢圓的方程求得a和c，即|A10|和|0F|的值，進而在Rt△A10A2中利用求得cos∠A10A2進而求得∠A10A2．【解答】解：連接A10∵A10⊥y軸，A20⊥y軸，∴∠A10A2為兩個面的二面角．|A10|=a=4，|0F|=c==2，∴cos∠A10A2==∴∠A10A2=60°，故選B【點評】本題主要考查了橢圓的應用，與二面角相關的立體幾何的綜合．解決二面角問題的關鍵是找到或作出此二面角．9.在四面體P-ABC的四個面中，是直角三角形的面至多有A.0個

B.1個

C.3個

D.4個參考答案：D10.用1，2，3，4，5，6這六個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為

A．30

B．45

C．60

D．120參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執行右側的程序框圖，若輸入n=3，則輸出T=

。參考答案：2012.已知函數，那么______參考答案：13.已知函數f（x）=lnx+ax2+（2﹣2a）x+（a＞0），若存在三個不相等的正實數x1，x2，x3，使得=3成立，則a的取值范圍是

．參考答案：（，）考點：利用導數研究函數的極值．專題：導數的綜合應用．分析：若存在三個不相等的正實數x1，x2，x3，使得=3成立，等價為方程f（x）=3x存在三個不相等的實根，構造函數，求函數的導數，研究函數的極值，利用極大值大于0，極小值小于0，即可得到結論．解答： 解：若存在三個不相等的正實數x1，x2，x3，使得=3成立，即方程f（x）=3x存在三個不相等的實根，即lnx+ax2+（2﹣2a）x+=3x，lnx+ax2﹣（1+2a）x+=0有三個不相等的實根，設g（x）=lnx+ax2﹣（1+2a）x+，則函數的導數g′（x）=+2ax﹣（1+2a）==，由g′（x）=0得x=1，x=，則g（1）=a﹣1﹣2a+=﹣1﹣a+，g（）=ln+a（）2﹣（1+2a）+=﹣1﹣ln2a．若=1，即a=時，g′（x）=≥0，此時函數g（x）為增函數，不可能有3個根，若＞1，即0＜a＜時，由g′（x）＞0得x＞或0＜x＜1，此時函數遞增，由g′（x）＜0得1＜x＜，此時函數遞減，則當x=1時函數g（x）取得極大值g（1）=﹣1﹣a+，當x=時函數g（x）取得極小值g（）=﹣1﹣ln2a，此時滿足g（1）=﹣1﹣a+＞0且g（）=﹣1﹣ln2a＜0，即，即，則，解得＜a＜．同理若＜1，即a＞時，由g′（x）＞0得x＞1或0＜x＜，此時函數遞增，由g′（x）＜0得＜x＜1，此時函數遞減，則當x=1時函數g（x）取得極小值g（1）=﹣1﹣a+，當x=時函數g（x）取得極大值g（）=﹣1﹣ln2a，此時滿足g（1）=﹣1﹣a+＜0且g（）=﹣1﹣ln2a＞0，即，∵a＞，∴2a＞1，則ln2a＞0，則不等式ln2a＜﹣1不成立，即此時不等式組無解，綜上＜a＜．故答案為：點評：本題主要考查導數的綜合應用，根據條件轉化為方程f（x）=3x存在三個不相等的實根，構造函數，利用導數研究函數的極值是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．14.已知實數滿足不等式組,則的最小值為_________。

參考答案：15.在同一平面直角坐標系中，由曲線y=tanx變成曲線y′=3tan2x′的伸縮變換

．參考答案：【考點】HJ：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】把函數y′=3tan2x′化為=3tan2x′，由函數y=tanx變成函數=tan2x′，應滿足，即得變換公式x′與y′的表達式．【解答】解：函數y′=3tan2x′即=tan2x′，將函數y=tanx變成函數y′=3tan2x′，即=tan2x′，故有，即伸縮變換是．故答案為：．【點評】本題考查了函數的圖象變換問題，解題時應熟知坐標變換公式，是基礎題目．16.閱讀下面的程序框圖．若使輸出的結果不大于37，則輸入的整數i的最大值為．參考答案：5考點： 程序框圖．

專題： 常規題型．分析： 按照程序框圖的流程寫出前幾次循環的結果，據題目對輸出s的要求，求出n的最大值，據判斷框中n與i的關系求出i的最大值．解答： 解：經過第一次循環得到s=2，n=1，經過第二次循環得到s=5，n=2，經過第三次循環得到s=10，n=3，經過第四次循環得到s=19，n=4，經過第五次循環得到s=36，n=5，經過第六次循環得到s=69，n=6，∵輸出的結果不大于37∴n的最大值為4∴i的最大值為5故答案為：5點評： 本題考查解決程序框圖中的循環結構時，常采用寫出前幾次循環的結果，找規律．17.點P與定點的距離和它到定直線的距離比是則點P的軌跡方程為____參考答案：

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本小題滿分13分)如圖,在平面直角坐標系中,分別是橢圓的左、右焦點，頂點的坐標為，連結并延長交橢圓于點A，過點A作軸的垂線交橢圓于另一點C，連結.(1)若點C的坐標為,且,求橢圓的方程；(2)若求橢圓離心率e的值.參考答案：19.為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關系：(，為常數)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．（1）求的值及的表達式；（2）隔熱層修建多厚時，總費用達到最小？并求最小值．參考答案：解：（1）當時，，，

……………2分

…5分（2），

………………7分

設，.

當且僅當這時，因此的最小值為70.即隔熱層修建厚時，總費用達到最小，最小值為70萬元．

………10分略20.（本小題12分）如圖1，在直角梯形中,,,.將

沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.

（Ⅰ）若E為AD的中點，試在線段CD上找一點F，使∥平面ABC，并加以證明；

（Ⅱ）求證:BC⊥平面；

（Ⅲ）求幾何體的體積.

參考答案：解:（Ⅰ）在圖1中,可得,從而,故取中點連結,則,又面面,面面,面,從而平面,

∵面,∴

又,,

∴平面

另解:在圖1中,可得,從而,故∵面面,面面,面,從而平面

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知為三棱錐的高.，

所以

∴幾何體的體積為略21.設橢圓C1和拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點，從每條曲線上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：x3－24y－20－4(Ⅰ)求曲線C1，C2的標準方程；(Ⅱ)設直線l與橢圓C1交于不同兩點M、