2021-2022學年黑龍江省哈爾濱市清華園高級中學高三數學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線滿足彖件：（1）焦點為；（2）離心率為，求得雙曲線的方程為。若去掉條件（2），另加一個條件求得雙曲線的方程仍為，則下列四個條件中，符合添加的條件共有①雙曲線上的任意點都滿足；②雙曲線的—條準線為③雙曲線上的點到左焦點的距離與到右準線的距離比為④雙曲線的漸近線方程為A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：答案：B2.函數的圖象關于

A．直線對稱

B.直線對稱

C.點對稱

D.點對稱參考答案：B略3.已知函數f（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x+2，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，則實數a的取值范圍（）A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，3） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）參考答案：D【考點】3N：奇偶性與單調性的綜合．【分析】根據題意，令g（x）=f（x）﹣2，則g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，分析可得g（x）的奇偶性與單調性，則f（a2）+f（a﹣2）＞4，可以轉化為g（a2）＞﹣g（a﹣2），結合函數的奇偶性與單調性分析可得a2＜2﹣a，解可得a的范圍，即可得答案．【解答】解：根據題意，令g（x）=f（x）﹣2，則g（x）=f（x）﹣2=﹣2x5﹣x3﹣7x，g（﹣x）=﹣2（﹣x）5﹣（﹣x）3﹣7（﹣x）=﹣（﹣2x5﹣x3﹣7x），則g（x）為奇函數，而g（x）=﹣2x5﹣x3﹣7x，則g′（x）=﹣10x4﹣2x2﹣7＜0，則g（x）為減函數，若f（a2）+f（a﹣2）＞4，則有f（a2）﹣2＞﹣，即g（a2）＞﹣g（a﹣2），即g（a2）＞g（2﹣a），則有a2＜2﹣a，解可得﹣2＜a＜1，即a的取值范圍是（﹣2，1）；故選：D．4.已知向量⊥，|﹣|=2，定義：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，則||的最大值為(

) A． B． C．1 D．參考答案：C考點：平面向量數量積的運算；函數的最值及其幾何意義．專題：平面向量及應用．分析：畫出草圖，通過⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四點共線，結合=||cosα，可得當B、P兩點重合時||最大，計算即可．解答： 解：如圖，記=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四點共線，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影為，∴當B、P兩點重合時，||最大，此時α=，||=||=1，故選：C．點評：本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運算法則，三點共線的向量表示，向量的投影等知識，注意解題方法的積累，屬于難題．5.設，且=sinx+cosx，則（）A．0≤x≤π

B．―≤x≤

C．≤x≤

D．―≤x≤―或≤x＜參考答案：B6.執行右面的程序框圖，若輸出結果為3，則可輸入的實數值的個數為（A）1 （B）2 （C）3 （D）4參考答案：C由題意知。當時，由，得，解得。當時，由，得，所以輸入的實數值的個數為3個，選C.7.已知函數f（x）=的圖象上關于y軸對稱的點至少有3對，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】分段函數的應用．【分析】求出函數f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）關于y軸對稱的解析式，利用數形結合即可得到結論．【解答】解：若x＞0，則﹣x＜0，∵x＜0時，f（x）=sin（）﹣1，∴f（﹣x）=sin（﹣）﹣1=﹣sin（）﹣1，則若f（x）=sin（）﹣1，（x＜0）關于y軸對稱，則f（﹣x）=﹣sin（）﹣1=f（x），即y=﹣sin（）﹣1，x＞0，設g（x）=﹣sin（）﹣1，x＞0作出函數g（x）的圖象，要使y=﹣sin（）﹣1，x＞0與f（x）=logax，x＞0的圖象至少有3個交點，則0＜a＜1且滿足g（5）＜f（5），即﹣2＜loga5，即loga5＞，則5，解得0＜a＜，故選：A8.與命題“若，則”等價的命題是

（

）A.若，則

B.若，則

C.若，

則 D若，則參考答案：D9.設是兩個不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是

（

）A．若，則

B．若，則C．若，則

C．若，則參考答案：C略10.已知命題p：?x∈R，使；命題q：?x∈R，都有．下列結論中正確的是（）A．命題“p∧q”是真命題B．命題“p∧”是真命題C．命題“∧q”是真命題D.命題“”是假命題參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.△ABC的重心為G(,－2),邊AB的中點為D(,－1),邊BC的中點為E(,－4),那么三個頂點的坐標是__________.參考答案：(1,2),(－,－4),(9,－4)12.函數，則的值為____________.參考答案：13.設若，則=

參考答案：1本題考查了分段函數的求值以及定積分的有關計算問題，難度一般。

，而，所以14.已知滿足,則的最大值為

參考答案：答案:315.為估計一個圓柱形燒杯A底面積的大小，做以下實驗，在一個底面邊長為a的正四棱柱容器B中裝有一定量的白色小珠子，現用燒杯A盛滿黑色小珠子（珠子與杯口平齊），將其倒入容器B中，并充分混合，此時容器B中小珠子的深度剛好為a（兩種顏色的小珠子大小形狀完全相同，且白色的多于黑色的）現從容器B中隨機取出100個小珠子，清點得黑色小珠子有25個。若燒杯A中的高為h，于是可估計此燒杯的底面積S均等于

.參考答案：16.已知等差數列中,,,則

.參考答案：17.．直線與圓相交于，兩點，若，則實數的取值范圍是____________．參考答案：由圓可得：圓心，半徑，∴圓心到直線的距離．∵弦長，∴，即，解得．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.三棱錐,底面為邊長為的正三角形，平面平面，,為上一點，，為底面三角形中心.（Ⅰ）求證∥面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）設為中點，求二面角的余弦值.參考答案：證明：（Ⅰ）連結交于點，連結.為正三角形的中心，∴,且為中點.又，∴∥,

--------------2分平面，平面∴∥面．

--------------4分（Ⅱ）,且為中點,∴,又平面平面，∴平面,

------------5分由（Ⅰ）知，∥，∴平面,∴

----------6分連結,則,又,∴平面,∴．-----------8分（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知，兩兩互相垂直，且為中點，所以分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，如圖，則------9分∴設平面的法向量為，則，令，則．--------------10分由（Ⅱ）知平面,∴為平面的法向量，∴，由圖可知，二面角的余弦值為．--------------12分19.(本題滿分16分）已知函數（1）求f(x)的單調區間；（2）對任意的，恒有，求正實數的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）=（）

令，

…1分①時，，所以增區間是；②時，，所以增區間是與，減區間是③時，，所以增區間是與，減區間是④時，，所以增區間是，減區間是

…5分（Ⅰ）因為，所以，由（1）知在上為減函數. …6分若，則原不等式恒成立，∴

…7分若，不妨設，則，，所以原不等式即為：，即對任意的，恒成立令，所以對任意的，有恒成立，所以在閉區間上為增函數

…9分所以對任意的，恒成立20.已知函數．（1）用單調性定義證明：在上是減函數；（2）求的值域．參考答案：（1）證明：任取，則，因為，所以，，，所以，所以，故在上是減函數．（2）解：注意到，所以是上的偶函數．由（1）知在上是增函數，所以，又易知趨于無窮大，趨于無窮大，所以函數的值域為．21.已知存在單調遞減區間．（Ⅰ）求實數a的取值范圍；（Ⅱ）判斷曲線y=f（x）在x=0的切線能否與曲線相切？若存在，求出a，若不存在，說明理由；（Ⅲ）若f（x1）=f（x2）=0（x1＜x2），求證：．參考答案：

略22.如圖，多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，∠BCD=60°，四邊形BDEF是正方形且DE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：CF∥平面ADE；（Ⅱ）若AE=，求多面體ABCDEF的體積V．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．【專題】空間位置關系與距離．【分析】（Ⅰ）由已知得AD∥BC，DE∥BF，從而平面ADE∥平面BCF，由此能證明CF∥平面ADE．（Ⅱ）連結AC，交BD于O，由線面垂直得AC⊥DE，由菱形性質得AC⊥BD，從而AC⊥平面BDEF，進而多面體ABCDEF的體積V=2VA﹣BDEF，由此能求出多面體ABCDEF的體積V．（Ⅰ）證明：∵底面ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵四邊形BDEF是正方形，∴DE∥BF，∵BF∩BC=B，∴平面ADE∥平面BCF，∵CF?平面BCF，∴CF∥平面ADE．（Ⅱ）解：連結A