2021-2022學年黑龍江省哈爾濱市第八十六中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.過點P（﹣，﹣1）的直線l與圓x2+y2=1有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]參考答案：D【考點】直線與圓的位置關系．【分析】用點斜式設出直線方程，根據直線和圓有交點、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，由此求得斜率k的范圍，可得傾斜角的范圍．【解答】解：由題意可得點P（﹣，﹣1）在圓x2+y2=1的外部，故要求的直線的斜率一定存在，設為k，則直線方程為y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根據直線和圓有交點、圓心到直線的距離小于或等于半徑可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直線l的傾斜角的取值范圍是[0，]，故選：D．【點評】本題主要考查用點斜式求直線方程，點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．2.若復數，則在復平面內對應的點位于(

)A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

參考答案：D略3.根據下面的結構圖，總經理的直接下屬是(A)總工程師、專家辦公室和開發部

(B)開發部(C)總工程師和專家辦公室

(D)總工程師、專家辦公室和所有七個部參考答案：A4.直線與曲線有且僅有一個公共點，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B5.過三角形ABC所在平面外的一點P，作PO⊥平面α，垂足為O，連PA、PB、PC，則下列命題①若PA=PB=PC，∠C=900，則O是ABC的邊AB的中點；②若PA=PB=PC，則O是三角形ABC的外心；③若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則O是三角形ABC的重心。正確命題是(

)A．①②③

B.①②

C.①③

D.②③參考答案：B6.圖2是判斷閏年的流程圖，以下年份是閏年的為（

）A.1995年

B.2000年

C.2100年

D.2005年參考答案：B略7.已知滿足,記目標函數的最大值為，最小值為，則Ａ．1

Ｂ．2

C．7

D．8參考答案：D8.若直線l1：ax+y﹣1=0與l2：3x+（a+2）y+1=0平行，則a的值為（）A．﹣3 B．1 C．0或﹣ D．1或﹣3參考答案：B【考點】II：直線的一般式方程與直線的平行關系．【分析】利用兩直線平行時，一次項系數之比相等，但不等于常數項之比，求出a的值．【解答】解：∵a=﹣2時，l1不平行l2，∴l1∥l2?解得：a=1故選：B．9.用反證法證明“若x+y≤0則x≤0或y≤0”時，應假設（）A．x＞0或y＞0B．x＞0且y＞0C．xy＞0D．x+y＜0參考答案：B【考點】反證法．【分析】熟記反證法的步驟，直接填空即可．反面有多種情況，需一一否定．【解答】解：用反證法證明“若x+y≤0則x≤0或y≤0”時，應先假設x＞0且y＞0．故選：B．10.若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，則f（x）的單調遞增區間為（）A．（﹣1，0） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） C．（2，+∞） D．（0，+∞）參考答案：C【考點】利用導數研究函數的單調性．【分析】確定函數的定義域，求出導函數，令導數大于0，即可得到f（x）的單調遞增區間．【解答】解：函數的定義域為（0，+∞）求導函數可得：f′（x）=2x﹣2﹣，令f′（x）＞0，可得2x﹣2﹣＞0，∴x2﹣x﹣2＞0，∴x＜﹣1或x＞2∵x＞0，∴x＞2∴f（x）的單調遞增區間為（2，+∞）故選C．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設

，函數中的的一次項系數為10，中的的二次項系數的最小值是_________________參考答案：20略12.若數列{an}成等比數列，其公比為2，則=． 參考答案：【考點】等比數列的通項公式． 【專題】計算題；轉化思想；等差數列與等比數列． 【分析】利用等比數列的通項公式即可得出． 【解答】解：∵數列{an}成等比數列，其公比為2， 則===， 故答案為：． 【點評】本題考查了等比數列的通項公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．13.設Sn為數列{an}的前n項之和，若不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對任何等差數列{an}及任何正整數n恒成立，則λ的最大值為．參考答案：【考點】數列的求和．【專題】等差數列與等比數列．【分析】由于不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對任何等差數列{an}及任何正整數n恒成立，利用等差數列的前n項和公式可得+，當a1≠0時，化為λ≤，利用二次函數的單調性即可得出．【解答】解：∵不等式n2an2+4Sn2≥λn2a12對任何等差數列{an}及任何正整數n恒成立，，∴+，當a1≠0時，化為+1=，當=﹣時，上式等號成立．∴．故答案為：．【點評】本題考查了等差數列的通項公式與前n項和公式、二次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．14.正三棱柱ABC-A1B1C1（底面是正三角形，側棱垂直底面）的各條棱長均相等，D為AA1的中點．M、N分別是BB1、CC1上的動點（含端點），且滿足．當M、N運動時，下列結論中正確的是______(填上所有正確命題的序號)．①平面平面；②三棱錐的體積為定值；③△DMN可能為直角三角形；④平面DMN與平面ABC所成的銳二面角范圍為．參考答案：①②④【分析】由，得到線段一定過正方形的中心，由平面，可得平面平面；由的面積不變，到平面的距離不變，可得三棱錐的體積為定值；利用反證法思想說明不可能為直角三角形；平面與平面平行時所成角為0，當與重合，與重合，平面與平面所成的銳二面角最大.【詳解】如圖：當、分別是、上的動點（含端點），且滿足，則線段一定過正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正確；當、分別是、上的動點（含端點），過點作邊上的高的長等于的長，所以的面積不變，由于平面，故點到平面的距離等于點到平面的距離，則點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值；所以②正確；由可得:,若為直角三角形，則一定是以為直角的直角三角形，但的最大值為，而此時，的長都大于，故不可能為直角三角形，所以③不正確；當、分別是、的中點，平面與平面平行，所成角為0；當與重合，與重合，平面與平面所成銳二面角最大；延長角于，連接，則平面平面，由于為的中點，，所以，且，故在中，為中點，為中點，在中，為中點，為中點，故，由于平面，所以平面，則，，所以平面與平面所成銳二面角最大為，故④正確；故答案為①②④【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查棱柱的結構特征，考查學生空間想象能力和思維能力，屬于中檔題.15.已知雙曲線：的離心率，且它的一個頂點到較近焦點的距離為，則雙曲線的方程為

．參考答案：略16.在數列中，，，則該數列的前2014項的和是

．參考答案：704917.已知等差數列{an}滿足a2=3，S4=14，若數列{}的前n項和Sn=，則n=

．參考答案：2014【考點】數列的求和．【專題】方程思想；轉化思想；數學模型法；等差數列與等比數列．【分析】利用等差數列的通項公式及其前n項和公式可得an，再利用“裂項求和”方法即可得出．【解答】解：設等差數列{an}的公差為d，∵a2=3，S4=14，∴，解得a1=2，d=1．∴an=2+（n﹣1）=n+1．∴==．∴Sn=++…+=，∴Sn==，解得n=2014．故答案為：2014．【點評】本題考查了“裂項求和”、等差數列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知矩形的兩條對角線相交于點,邊所在直線的方程為，點在邊所在直線上。（1）求邊所在直線的方程；（2）求矩形外接圓方程。參考答案：解：（1）因為邊所在直線的方程為，且與垂直，

所以直線的斜率為，

又因為點在直線上，所以邊所在直線的方程為即-----------------------------------------------------------------------5分（1）

由

解得點的坐標為

因為矩形兩條對角線相交于點，所以為矩形外接圓的圓心，又從而矩形外接圓方程為---------------------------------------10分19.已知函數.（1）求函數的極值；（2）當時，若存在實數使得不等式恒成立，求實數的取值范圍.參考答案：（I）由題意得，，∴，①當時，則，此時無極值；

②當時，令，則；令，則；∴在上遞減，在上遞增；

∴有極小值，無極大值；

（II）當時，由（1）知，在上遞減，在上遞增，且有極小值.

①當時，，∴，此時，不存在實數，，使得不等式恒成立；②當時，，在處的切線方程為，令，，則，，令，，則，令，則；令，則；∴，∴，∴，

當，時，不等式恒成立，∴符合題意.

由①，②得實數的取值范圍為.20.已知函數，，.（1）討論函數的單調性；（2）證明：，恒成立.參考答案：（1）當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【分析】（1）可求得，分別在、、、四種情況下討論導函數的符號，從而得到原函數的單調性；（2）將不等式轉化為：，令，，利用導數求得和，可證得，從而證得結論.【詳解】（1），①當時，時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減②當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減③當時，在上恒成立在上單調遞增④當時，和時，；時，在和上單調遞增，在上單調遞減綜上所述：當時，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，在上單調遞增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減（2）對，恒成立即為：，等價于：令，則時，；時，在上單調遞減，在上單調遞增令，則時，；時，在上單調遞增，在上單調遞減綜上可得：，即在上恒成立對，恒成立【點睛】本題考查導數在研究函數中的應用，涉及到討論含參數函數的單調性、恒成立問題的求解.解決本題中的恒成立問題的關鍵是能夠將所證不等式轉化為兩個函數之間最值的比較，通過最小值與最大值的大小關系得到結論.21.（本小題滿分12分）

已知四棱錐底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD＝2，AB＝1，E．F分別是線段AB．BC的中點，（1）證明：PF⊥FD；（2）在PA上找一點G，使得EG∥平面PFD；．（3）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值．參考答案：解：（1）證明：連接AF，則AF＝，DF＝，又AD＝2，∴DF2＋AF2＝AD2，∴DF⊥AF．又PA⊥平面ABCD，∴DF⊥PA，又PA∩AF＝A，……………4分

（2）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD且AH＝AD．再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，∴平面EHG∥平面PFD．∴EG∥平面PFD．從而滿足AG＝AP的點G為所求．………………8分

⑶建立如圖所示的空間直角坐標系，因為PA⊥平面ABCD，所以是與平面所成的角．又有已知得，所以，所以．設平面的法向量為，由得，令，解得：．所以．又因為，所以是平面的法向量，易得，所以．由圖知，所求二面角的余弦值為．……12分22.(本小題滿