2021-2022學年福建省漳州市和坑華僑中學高三數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.“關注夕陽、愛老敬老”—某馬拉松協會從2013年開始每年向敬老院捐贈物資和現金.下表記錄了第x年與捐贈的現金y(萬元)的對應數據，由此表中的數據得到了y關于x的線性回歸方程，則預測2019年捐贈的現金大約是(

)34562.5344.5

A.5萬元 B.5.2萬元 C.5.25萬元 D.5.5萬元參考答案：C【分析】由已知求出，代入回歸直線的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【詳解】由已知得，，所以樣本點的中心點的坐標為，代入，得，即，所以，取，得，預測2019年捐贈的現金大約是萬元.【點睛】本題主要考查了線性回歸方程以及應用，其中解答中熟記回歸直線的方程經過樣本中心點是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.3.在如圖所示的程序框圖中，若輸出i的值是3，則輸入x的取值范圍是（）A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞）參考答案：A【考點】程序框圖．【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環結構計算并輸出變量i的值，模擬程序的運行過程，分析循環中各變量值的變化情況，可得答案．【解答】解：設輸入x=a，第一次執行循環體后，x=3a﹣2，i=1，不滿足退出循環的條件；第二次執行循環體后，x=9a﹣8，i=2，不滿足退出循環的條件；第三次執行循環體后，x=27a﹣26，i=3，滿足退出循環的條件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故選：A4.設隨機變量服從正態分布N(3,4)，若，則a=

A．4

B.3

C.2

D.1參考答案：C略5.對于命題：雙曲線的離心率為；命題：橢圓的離心率為，則是的（

）（A）充要條件

（B）充分不必要條件

（C）必要不充分條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：C略6.已知函數，則A.函數在（-∞，0）上遞減

B.函數在（-∞，0）上遞增C.函數在R上遞減

D.函數在R上遞增參考答案：B略7.設變量x，y滿足約束條件

,則目標函數z＝2x+y的最大值為（

）A．8

B．13

C．14

D．10參考答案：C略8.參考答案：A略9.函數的部分圖像大致為（

）

參考答案：C10.將一根長為3m的木棒隨機折成三段，折成的這三段木棒能夠圍成三角形的概率是（

）（A） （B）

（C）

（D）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

參考答案：略12.數列是公比為的等比數列，是首項為12的等差數列．現已知a9＞b9且a10＞b10，則以下結論中一定成立的是

▲

．（請填寫所有正確選項的序號）①；②；③；④．參考答案：①③略13.設隨機變量服從正態分布，若，則的值為

．參考答案：因為，所以得14.已知，，則的值為________．參考答案：略15.已知雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即b=a，即可求出雙曲線的離心率．【解答】解：∵雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，∴一條漸近線的斜率為1，即b=a，∴c=a，∴e==，故答案為．16.若函數為奇函數，則______________.參考答案：-1517.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面為直角三角形?！螦CB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一動點，則CP+PA1的最小值為___________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲線y=f（x）在點A（1，f（1））處的切線L的方程，并證明：除點A外，曲線y=f（x）都在直線L的下方；（2）若函數h（x）=ex+f（x）在區間（1，3）上有零點，求a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】（1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1），求出切線方程，根據函數的單調性判斷即可；（2）問題轉化為a=在x∈（1，3）上有實數根，設F（x）=，根據函數的單調性求出F（x）的最大值和最小值，從而求出a的范圍即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，∵f（1）=﹣a，∴L的方程是：y+a=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x﹣1，設p（x）=f（x）﹣（1﹣a）x+1=lnx﹣x+1，則p′（x）=，若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0，故p（x）max=p（1）=0，p（x）≤0，∴f（x）≤（1﹣a）x﹣1，當且僅當x=1時“=”成立，故除點A外，切線y=f（x）都在直線L的下方；（2）h（x）=ex+f（x）在區間（1，3）上有零點，即a=在x∈（1，3）上有實數根，設F（x）=，則F′（x）=，設g（x）=ex（x﹣1）+1﹣lnx，則g′（x）=x（ex﹣），而y=ex﹣（x＞0）的零點在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立，∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在，∴g（x）＞g（1）=1，則F′（x）＞0在（1，3）上恒成立，∴F（x）在（1，3）上遞增，故F（x）min=F（1）=e，F（x）max=F（3）=，∴F（x）∈（e，），故a∈（e，）．19.（12分）如圖所示，ABC—A1B1C1是各條棱長均為a的正三棱柱，D是側棱CC1的中點.

（1）求證：平面AB1D⊥平面ABB1A1；

（2）求點C到平面AB1D的距離；

（3）求平面AB1D與平面ABC所成二面角（銳角）的大小

參考答案：解析：（1）證明：取AB1的中點E，AB的中點F，連結DE、CF，由題意知B1D=AD，故DE⊥AB1，又CF⊥AB，CF//DE，故DE⊥AB

∴DE⊥平面ABB1A1，又DE平面AB1D，所以平面AB1D⊥ABB1A1.……（4分）

（2）建立如下圖所示坐標系，則各點的坐標依次為：

，C（0，a，0）

D（0，a，），B1（0，0，a）設為平面AB1D一個法向量，所以即為所求的點到平面的距離.………………（8分）

（3）顯然平面ABC的一個法向量為（0，0，1），

則

即所求二面角的大小為.………………（12分）另解：（2）由（1）知CF//DE，DE平面AB1D，

∴CF//平面AB1D∴點C到平面AB1D的距離與點F到平面AB1D的距離相等過F作FG⊥AB1，垂足為G，則FG⊥平面AB1D.連結BE，則FG//BE，且FG=∴FG=a

即點C到平面AB1D的距離為a

（3）由S△ACF=S△ADE·cosα

20.已知函數f（x）=|x+1|﹣|x﹣a|（Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值為6，求a的值．參考答案：【考點】函數的最值及其幾何意義；絕對值不等式的解法．【專題】計算題；函數思想；方程思想；轉化思想；函數的性質及應用；不等式的解法及應用．【分析】（Ⅰ）當a=1時，化簡函數的解析式，去掉絕對值符號，即可求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）利用絕對值三角不等式推出f（x）的最大值為6的方程，即可求a的值．【解答】解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|當x＜﹣1時，f（x）=﹣x﹣1+x﹣1=﹣2＜1恒成立當﹣1≤x≤1，f（x）=x+1+x﹣1=2x＜1，當x＞1，f（x）=x+1﹣x+1=2＜1，無解不等式f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|＜1的解集是…（Ⅱ）f（x）=|x+1|﹣|x﹣a|≤|（x+1）﹣（x﹣a）|=|1+a|則|1+a|=6，所以a=5或a=﹣7…【點評】本題考查函數的最值的求法，絕對值不等式的解法，考查轉化思想以及計算能力．21.已知橢圓:的左右焦點分別為，，左頂點為，點在橢圓上，且△的面積為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過原點且與軸不重合的直線交橢圓于，兩點，直線分別與軸交于點．求證：以為直徑的圓恒過焦點，，并求出△面積的取值范圍．參考答案：（Ⅰ），，………………2分

又點在橢圓上，，，解得，或（舍去），又，，所以橢圓的方程為；………5分

（Ⅱ），，，方法一：當直線的斜率不存在時，，為短軸的兩個端點，則，，，，則以為直徑的圓恒過焦點，，……7分

當的斜率存在且不為零時，設直線的方程為，設點（不妨設），則點，由，消去得，所以，，所以直線的方程為，因為直線與軸交于點，令得，即點，同理可得點，，，，同理，則以為直徑的圓恒過焦點，，………12分當的斜率存在且不為零時，，△面積為，又當直線的斜率不存在時，，△面積為，△面積的取值范圍是．………15分方法二：當，不為短軸的兩個端點時，設，則，由點在橢圓上，，所以直線的方程為，令得，即點，同理可得點，以為直徑的圓可化為，代入，化簡得，令解得以為直徑的圓恒過焦點，，………12分，又，,△面積為，當，為短軸的兩個端點時，，△面積為，△面積的取值范圍是．………15分22.(本小題滿分13分)已知拋物線的頂點是橢圓的中心，焦點與該橢圓的右焦點重合.（Ⅰ）求拋物線的方程;（Ⅱ）已知動直線過點,交拋物線于、兩點.若直線的斜率為1,求的長;是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.參考答案：解:（Ⅰ）由題意,可設拋物線方程為.

…………1分由,得.拋物線的焦點為錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。,錯誤！不能通過編輯域代碼創建對象。.拋物線D的方程為.

…………3分（Ⅱ）設,.直線的方程為：,

…………4分聯立,整理