2021-2022學年福建省泉州市羅山華僑中學高三數學文模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知向量⊥，|﹣|=2，定義：=λ+（1﹣λ），其中0≤λ≤1．若?=，則||的最大值為(

) A． B． C．1 D．參考答案：C考點：平面向量數量積的運算；函數的最值及其幾何意義．專題：平面向量及應用．分析：畫出草圖，通過⊥、|﹣|=2可得||=1，利用=λ+（1﹣λ）可得B、P、D、C四點共線，結合=||cosα，可得當B、P兩點重合時||最大，計算即可．解答： 解：如圖，記=，=，=，=，＜，＞=α．∵⊥，|﹣|=2，∴||=1，∵=λ+（1﹣λ），∴B、P、D、C四點共線，∵=?=||?||cosα=1?||cosα，∴在上的投影為，∴當B、P兩點重合時，||最大，此時α=，||=||=1，故選：C．點評：本題考查平面向量的幾何意義，涉及到向量的加、減法運算法則，三點共線的向量表示，向量的投影等知識，注意解題方法的積累，屬于難題．2.若拋物線x2=y在x=1處的切線的傾斜角為θ，則sin2θ=（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A3.已知函數是R上的偶函數，且在區間上是增函數.令，則A．

B.

C.

D.參考答案：A4.命題p：若sinx＞siny，則x＞y；命題q：x2+y2≥2xy，下列命題為假命題的是（）A．p或q B．p且q C．q D．￢p參考答案：B【考點】復合命題的真假．【分析】根據正弦函數的圖象即可判斷出sinx＞siny時，不一定得到x＞y，所以說命題p是假命題，而根據基本不等式即可判斷出命題q為真命題，然后根據￢p，p或q，p且q的真假和p，q真假的關系即可找出正確選項．【解答】解：x=，y=π，滿足sinx＞siny，但x＜y；∴命題p是假命題；x2+y2≥2xy，這是基本不等式；∴命題q是真命題；∴p或q為真命題，p且q為假命題，q是真命題，￢p是真命題；∴是假命題的是B．故選B．5.程序框圖如圖：如果上述程序運行的結果S的值比2016小，若使輸出的S最大，那么判斷框中應填入（）A．k≤10？ B．k≥10？ C．k≤9？ D．k≥9？參考答案：C【考點】EF：程序框圖．【分析】按照程序框圖的流程寫出前幾次循環的結果判斷出當k為何值時輸出，得到判斷框中的條件．【解答】解：由題意，模擬執行程序，可得K=12，S=1不滿足條件，執行循環體，S=12，K=11不滿足條件，執行循環體，S=132，K=10不滿足條件，執行循環體，S=1320，K=9不滿足條件，執行循環體，S=11880，K=8…觀察可得：如果上述程序運行的結果S的值比2016小，若使輸出的S最大，那么判斷框中應填入K≤9？．故選：C．6.若復數z滿足：，則

A．1

B．2

C．

D．5參考答案：D略7.已知集合，，，則實數的不同取值個數為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B8.集合，集合為函數的定義域，則（

）A．

B.

C.

D.參考答案：D9.在實數集中定義一種運算“”，，為唯一確定的實數，且具有性質：（1）對任意，；

（2）對任意，．關于函數的性質，有如下說法：①函數的最小值為；②函數為偶函數；③函數的單調遞增區間為．其中正確說法的序號為（

）A．① B．①② C．①②③

D．②③參考答案：B知識點：命題的真假判斷與應用解析：∵=（ex）?+（ex）*0+*0=1+ex+，對于①，∵1+ex+≥1+=3（當且僅當x=0時取“=”），∴f（x）min=3，故①正確；對于②，∵f（x）=1+ex+=1+ex+e﹣x，∴f（﹣x）=1+ex+e﹣x=1+ex+e﹣x=f（x），∴函數f（x）為偶函數，故②正確；對于③，∵f′（x）=ex﹣e﹣x=，∴當x≥0時，f′（x）≥0，即函數f（x）的單調遞增區間為[0，﹣∞），故③錯誤；∴正確說法的序號為①②，故選：B．【思路點撥】依題意，可得f（x）=1+ex+e﹣x，對于①，可由基本不等式1+ex+≥1+=3判斷其正誤；對于②，利用偶函數的定義可判斷其正誤；對于③，由f′（x）≥0，求得其單調遞增區間，可判斷其正誤．

10.在平面直角坐標系xOy中，已知圓上有且僅有四個點到直線12x―5y+c=0的距離為1，則實數c的取值范圍是

（

）

Ａ．（―，）

Ｂ．[―13，13]

Ｃ．[―，]

Ｄ．（―13，13）參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若非零向量，滿足：2=（5﹣4）?，則cos＜，＞的最小值為．參考答案：由題意可得?=（2+42），由向量數量積的性質：向量的平方即為模的平方，運用基本不等式和向量的夾角公式，即可得到所求最小值．解：非零向量，滿足：2=（5﹣4）?，可得?=（2+42）=（||2+4||2）≥?2=||?||，即有cos＜，＞=≥?=，當且僅當||=2||，取得最小值．故答案為：．12.如圖，正方形的邊長為，點，分別在邊，上，且，．如果對于常數，在正方形的四條邊上，有且只有個不同的點使得成立．那么的取值范圍是__________．參考答案：以為軸，以為軸建立平面直角坐標系，如圖，則，，①若在上，設，，則，．∴，∵，∴．∴當時有一解，當時有兩解．②若在上，設，，則，．∴．∵，∴．當或，有一解，當時有兩解．③若在上，設，，則，，∴．∵，∴．∴當時有一解，當時有兩解．④若在上，設，，則，．∴．∵，∴．∴當或，有一解，當時有兩解．綜上所述，∴．13.若函數有三個不同的零點，則實數的取值范圍是

參考答案：

14.在中，若，則BC邊上的高等于____________.參考答案：15.把5件不同產品擺成一排，若產品A與產品B相鄰，且產品A與產品C不相鄰，則不同的擺法有_______種.參考答案：3616.已知函數是的導函數，則過曲線上一點的切線方程為____________．參考答案：略17.在同一平面直角坐標系中，已知函數y=f（x）的圖象與y=ex的圖象關于直線y=x對稱，則函數y=f（x）對應的曲線在點（e，f（e））處的切線方程為．參考答案：x﹣ey=0略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l：（t為參數），曲線C1：（θ為參數）．（Ⅰ）設l與C1相交于A，B兩點，求|AB|；（Ⅱ）若把曲線C1上各點的橫坐標壓縮為原來的倍，縱坐標壓縮為原來的倍，得到曲線C2，設點P是曲線C2上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值．參考答案：【考點】圓的參數方程；函數的圖象與圖象變化；直線與圓相交的性質；直線的參數方程．【專題】計算題．【分析】（I）將直線l中的x與y代入到直線C1中，即可得到交點坐標，然后利用兩點間的距離公式即可求出|AB|．（II）將直線的參數方程化為普通方程，曲線C2任意點P的坐標，利用點到直線的距離公式P到直線的距離d，分子合并后利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，與分母約分化簡后，根據正弦函數的值域可得正弦函數的最小值，進而得到距離d的最小值即可．【解答】解：（I）l的普通方程為y=（x﹣1），C1的普通方程為x2+y2=1，聯立方程組，解得交點坐標為A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；

（II）曲線C2：（θ為參數）．設所求的點為P（cosθ，sinθ），則P到直線l的距離d==當sin（）=﹣1時，d取得最小值．【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有直線與圓的參數方程與普通方程的互化，點到直線的距離公式，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，根據曲線C2的參數方程設出所求P的坐標，根據點到直線的距離公式表示出d，進而利用三角函數來解決問題是解本題的思路．19.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，cos2B+3cosB﹣1=0，且a2+c2=ac+b+2（Ⅰ）求邊b的邊長；（Ⅱ）求△ABC周長的最大值．參考答案：考點：余弦定理的應用．專題：計算題；三角函數的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由二倍角的余弦公式，可得B，再由余弦定理，可得b=2；（Ⅱ）解法1：運用正弦定理以及兩角和差的正弦公式，結合正弦函數的圖象和性質，即可得到最大值．解法2：運用基本不等式，計算即可得到最大值．解答： 解：（Ⅰ）∵cos2B+3cosB﹣1=0∴2cos2B+3cosB﹣2=0，解得或cosB=﹣2（舍去）

又B∈（0，π）則，由余弦定理得b2=a2+c2﹣ac，又a2+c2=ac+b+2∴b2﹣b﹣2=0解得b=2；（Ⅱ）解法1：由正弦定理得，則=∴當時，周長a+b+c取得最大值6．解法2：由a2+c2=ac+b+2=ac+4得（當且僅當a=c時取“=”），則a+c≤4∴當a=c=2時周長a+b+c取得最大值6．點評：本題考查正弦定理和余弦定理以及三角函數的化簡和求值，考查基本不等式的運用：求最值，考查運算能力，屬于中檔題．20.（本小題滿分14分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，正的中心恰為橢圓的上頂點，且．（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于兩點，點在軸上，是以角為頂角的等腰直角三角形，求直線的方程．參考答案：（1）正的邊長為（為橢圓的半焦距），且點在軸上依題意∴∵∴

………………1分∵∴…3分∴∴∴橢圓的方程為…………4分（2）由（1）知，正的邊長為，∴點的縱坐標為∴點的坐標為若直線的斜率不存在，即橢圓的上下頂點，顯然當點為或時，是以角為頂角的等腰直角三角形，此時直線的方程為……………6分若直線的斜率存在，設為，則直線的方程為，與聯立得，∴……7分設，線段的中點為∴∵∴∴∴…9分…………………10分……11分∵∴∴∴且滿足……………12分∴直線的斜率存在時，直線方程為………………13分綜上，所求直線的方程為和…………………14分21.在三棱錐中，面，，，，、分別是和的中點．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的大小（用反三角函數值表示）．參考答案：解：（1）以為原點，以、、所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系．則，，，……（2分），因為平面，所以平面的一個法向量為，……（3分），設點到平面的距離為，則，即三棱錐的高為，……（4分）因為點是的中點，所以△△，……（5分）所以三棱錐的體積△．……（7分）（2），，設平面一個法向量為，則，，從而，，即，…（9分）取，則，．……（10分）設二面角的大小為，由圖形可知是銳角，所以．……（11分）因此，二面角的大小為．……（12分）略22.（12分）已知動點P到點（，0）的距離比它到直線x=﹣的距離小2．（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；（Ⅱ）記P點的軌跡為E，過點S（2，0）斜率為k1的直線交E于A，B兩點，Q（1，0），延長AQ，BQ與E交于C，D兩點，設CD的斜率為k2，證明：為定值．參考答案：【考點】直線與拋物線的位置關系．【分析】（Ⅰ）由動點P到點（，0）的距離比它到直線x=﹣的距離小2，可得動點P到點（，0）的距離與它到直線x=﹣的距離相等，由此能求出拋物線方程．（Ⅱ）設A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），則k2===﹣=2k1，即可得出結論．【解答】（Ⅰ）解：∵動點P到點（，0）的距離比它到直線x=﹣的距離小2，∴動點P