2023-2023學年度第二學期期末考試注意注意事項考生在答題前請認真閱讀本注意事項及各題答題要求1．本試卷共4頁，包含填空題（第1題～第14題）、解答題（第15題～第20題）．本卷滿分160分，考試時間為120分鐘．考試結束后，請將答題卡交回．2．答題前，請您務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米3．請在答題卡上按照順序在對應的答題區域內作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0．5毫米4．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．5．請保持答題卡卡面清潔，不要折疊、破損．一律不準使用膠帶紙、修正液、可擦洗的圓珠筆．隨機變量的數學期望，方差，其中.一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分。1.設復數z滿足（z-2）i=1+i(i為虛數單位)，則z的實部是▲.2.用1,2,3,4這4個數字能組成沒有重復數字的三位數▲個.（用數字表示）3.已知隨機變量的概率分布表如下：123450.10.30.30.10.2則▲.4.的展開式的中間項為▲.5.已知矩陣,，則的逆矩陣為▲.6.復數（i是虛數單位）表示純虛數的充要條件是▲.7.觀察下列一組等式：,…,若,則▲.8.已知，則的最大值為▲.9.從4名男生和3名女生中選3人組隊參加某集體項目的比賽，其中至少有一名男生與一名女生入選的組隊方案數為▲.（用數字表示）10.的展開式中含項的系數為，則實數▲.11.復數與向量之間、向量與矩陣之間的關系都比較密切.下面給出了關于復數、向量、矩陣的四種類比推理：①向量滿足，類比得到：矩陣A，B滿足；②向量滿足，類比得到：復數滿足；③若向量，但或不一定成立，類比得到：矩陣A，B滿足0，但或不一定成立；④若向量滿足，但不一定成立，類比得到：矩陣A，B，C(A≠0)滿足，但不一定成立.其中所得結果是正確的類比推理的序號是▲.12.若多項式，則▲.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………（第13題圖）14.已知，如果對于函數和，存在，使得，則的取值范圍是▲.二、解答題：本大題共6小題，共計90分。15、（本小題滿分14分）有3名男生和甲、乙2名女生排成一排，根據下列要求，求出他們各有多少種不同的排法？（所有結果均用數字表示）女生甲排在正中間；2名女生排在一起；女生甲排在女生乙的左邊（不一定相鄰）.16、（本小題滿分14分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，以極點為原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系，直線的參數方程為（為參數），求直線被曲線所截得的弦長.17、（本小題滿分14分）已知數列滿足：，.求的值；猜想數列的一個通項公式，并用數學歸納法證明你的結論.18、（本小題滿分16分）已知矩陣，其中,若點在矩陣的變換下得到點.求的值；求矩陣的特征值和特征向量.19、（本小題滿分16分）設一輛汽車在前進途中要經過3個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率都是，遇到紅燈（禁止通行）的概率都是，假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停車.高考資源網（1）求汽車第二次停車時最多已通過2個路口的概率；（2）設表示汽車第一次停車時已經通過的路口數，求隨機變量的分布列及期望.20、（本小題滿分16分）已知函數.求函數的單調區間及最大值；設.（ⅰ）求證：（為自然對數的底數）；（ⅱ）若，求證：.答案1.3；2.24；；4.6；5.；6.；7.71；8.5；9.30；10.2；11.③④；12.-19；13.34；14.15.（1）24；（2）48；（3）60.16.，，2.17.（1）；（2）.18.（1）；（2）矩陣的特征值分別為，，所對應的特征向量分別為，.19.（1）法一：汽車第二次停車時最多已通過2個路口，情況有2種，一種是已通過1個路口，就是開始2個紅燈；另一種就是已通過2個路口，就是前面兩個其中一個紅燈一個綠燈，最后一個是紅燈.；法二：用對立事件是對的,但是錯在對立事件.題目中問的是第二次停車時最多通過2個路口,故對立事件應有兩個:一是只停一次車(最后一次停車,即三個綠燈)，二是第二次停車停在目的地(三個路口一個紅燈兩個綠燈)，所以所求概率應該是.0123P（2）E()=類題（2004·重慶理18）設一汽車在前進途中要經過4個路口，汽車在每個路口遇到綠燈的概率為，遇到紅燈（禁止通行）的概率為假定汽車只在遇到紅燈或到達目的地才停止前進，表示停車時已經通過的路口數，求：（1）的概率的分布列及期望E;(2)停車時最多已通過3個路口的概率解：（I）的所有可能值為0，1，2，3，4 用AK表示“汽車通過第k個路口時不停（遇綠燈）”，則P（AK）=獨立.故01234P從而