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湖南省永州市林場學(xué)校2022年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.已知為兩條不同的直線,為兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若則
B.若則C.若則
D.若,則參考答案:D2.
函數(shù)y=的定義域為()A.(-4,-1)
B.(-4,1)C.(-1,1)
D.(-1,1參考答案:C3.運(yùn)行如右圖的程序后,輸出的結(jié)果為()A.13,7
B.7,4
C.9,7
D.9,5參考答案:C第一次,時,.第二次,,第三次條件不成立,打印,選C.4.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有8個不等的實數(shù)根,則實數(shù)的取值范圍是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:C5.集合P={x|>0},Q={x|y=},則P∩Q=()A.(1,2] B.[1,2] C.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞) D.[1,2)參考答案:A【考點】其他不等式的解法;交集及其運(yùn)算.【分析】利用不等式的解法求出集合P,函數(shù)的定義域求出集合Q,然后求解交集即可.【解答】解:集合P={x|>0}={x|x>1或x<﹣3},Q={x|y=}={x|﹣2≤x≤2},P∩Q={x|1<x≤2}=(1,2].故選:A.6.設(shè),則“是第一象限角”是“”的(
)A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件參考答案:C充分性:若是第一象限角,則,,可得,必要性:若,不是第三象限角,,,則是第一象限角,“是第一象限角”是“”的充分必要條件,故選C.
7.已知點A(﹣1,1)、B(1,2)、C(﹣2,1)、D(3,4),則向量在方向上的投影為()A. B. C. D.參考答案:D【考點】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)公式以及向量投影的定義進(jìn)行求解即可.【解答】解:∵點A(﹣1,1),B(1,2),C(﹣2,1),D(3,4),∴=(4,3),=(3,1),∴?=4×3+3×1=15,||==10,∴向量在方向上的投影為==,故選:D.8.設(shè)是邊長為的正的邊及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合,點是的中心,若集合,若點,則的最大值為A.
B.
C.
D.參考答案:C9.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的k值是()A.4 B.5 C.6 D.7參考答案:B【考點】循環(huán)結(jié)構(gòu).【分析】分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是計算并輸出k的值.【解答】解:第一次循環(huán):n=3×5+1=16,k=0+1=1,繼續(xù)循環(huán);第二次循環(huán):n==8,k=1+1=2,繼續(xù)循環(huán);第三次循環(huán):n==4,k=2+1=3,繼續(xù)循環(huán);第四次循環(huán):n==2,k=3+1=4,繼續(xù)循環(huán);第五次循環(huán):n==1,k=4+1=5,結(jié)束循環(huán).輸出k=5.故選B.10.在四面體ABCD中,二面角A﹣BC﹣D為60°,點P為直線BC上一動點,記直線PA與平面BCD所成的角為θ,則()A.θ的最大值為60° B.θ的最小值為60°C.θ的最大值為30° D.θ的最小值為30°參考答案:A【考點】MI:直線與平面所成的角;MT:二面角的平面角及求法.【分析】作出二面角和線面角,根據(jù)利用三角函數(shù)的定義表示出AO即可得出θ和60°的大小關(guān)系.【解答】解:過A作AM⊥BC,AO⊥平面BCD,垂足為O,連結(jié)OM,則∠AMO為二面角A﹣BC﹣D的平面角,∴∠AMO=60°,在直線BC上任取一點P,連結(jié)OP,AP,則∠APO為直線AP與平面BCD所成的角,即∠APO=θ,∵AP≥AM,AM?sin60°=AO,AP?sinθ=AO,∴sinθ≤sin60°,即θ的最大值為60°.故選A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若直線與圓相交于A、B兩點,則的值為
.參考答案:012.已知函數(shù),若函數(shù)有三個不同的零點,且的取值范圍為___________.參考答案:【分析】作出的圖象,根據(jù)函數(shù)方程之間的關(guān)系,確定,,的取值范圍,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡求解即可.【詳解】作出的圖象如圖:由得,,,,,則由,得,即,得,即,,則,即的取值范圍是,故答案為:【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,作出函數(shù)的圖象.確定,,的范圍,以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.13.已知函數(shù)有零點,則實數(shù)的取值范圍是
參考答案:14.直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A,B兩點(其中a,b是實數(shù)),若△AOB是直角三角形(O是 坐標(biāo)原點),則點P(a,b)與點Q(0,1)距離的最大值為
▲
.
參考答案:
略15.
設(shè)為銳角,若,則的值為
▲
.參考答案:16.已知函數(shù),則______________.參考答案:1
17.以拋物線的頂點為中心,焦點為右焦點,且以為漸近線的雙曲線方程是___________________參考答案:拋物線的焦點為,即雙曲線的的焦點在軸,且,所以雙曲線的方程可設(shè)為,雙曲線的漸近線為,得,所以,,即,所以,所以雙曲線的方程為。三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(本題滿分12分)如圖,橢圓的中心為原點O,長軸在x軸上,離心率,過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A,兩點.(Ⅰ)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)取垂直于x軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P,,過P、作圓心為Q的圓,使橢圓上的其余點均在圓Q外.若,求圓Q的標(biāo)準(zhǔn)方程.參考答案:解:(Ⅰ)由題意知,在橢圓上,則,從而………1分由,得,從而.故該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………4分(Ⅱ)由橢圓的對稱性,可設(shè).又設(shè)是橢圓上任意一點,則…………6分設(shè),由題意知,點P是橢圓上到點Q的距離最小的點,因此,上式當(dāng)時取最小值.又因為,∴上式當(dāng)時取最小值,從而,且.因為,且,∴,即…………8分由橢圓方程及,得,解得,從而.………10分故這樣的圓有兩個,其標(biāo)準(zhǔn)方程分別為…………12分
19.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,側(cè)棱SD⊥底面ABCD,E、F分別為AB、SC的中點.(1)證明:EF∥平面SAD;(2)設(shè)SD=2CD,求二面角A-EF-D的余弦值.參考答案:(1)證明:作FG∥DC交SD于點G,則G為SD的中點.連接AG,F(xiàn)G綊CD,又CD綊AB,E為AB的中點,故GF綊AE,四邊形AEFG為平行四邊形.所以EF∥AG.又AG?平面SAD,EF?平面SAD.所以EF∥平面SAD.(2)不妨設(shè)DC=2,則SD=4,DG=2,△ADG為等腰直角三角形,取AG中點H,連接DH,則DH⊥AG,DH⊥EF,DH=.取EF中點M,連接MH,則HM綊AE,∴HM⊥EF.連接DM,則DM⊥EF.故∠DMH為二面角A-EF-D的平面角.tan∠DMH===,cos∠DMH=,∴二面角A-EF-D的余弦值為.20.已知動圓過定點A(0,2),且在x軸上截得的弦長為4.(1)求動圓圓心的軌跡C的方程;(2)點P為軌跡C上任意一點,直線l為軌跡C上在點P處的切線,直線l交直線:y=-1于點R,過點P作PQ⊥l交軌跡C于點Q,求△PQR的面積的最小值.參考答案:略21.如圖,已知與圓相切于點,經(jīng)過點的割線交圓于點,的平分線分別交于點。(1)證明:;(2)若,求的值。
參考答案:(1)∵PA是切線,AB是弦,∴∠BAP=∠C,又∵∠APD=∠CPE,∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE,∵∠ADE=∠BAP+∠APD,∠AED=∠C+∠CPE,∴∠ADE=∠AED。
(2)由(1)知∠BAP=∠C,又∵∠APC=∠BPA,∴△APC∽△BPA,∴,
∵AC=AP,∴∠APC=∠C=∠BAP,由三角形內(nèi)角和定理可知,∠APC+∠C+∠CAP=180°,∵BC是圓O的直徑,∴∠BAC=90°,∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°,∴∠C=∠APC=∠BAP=×90°=30°。
在Rt△ABC中,=,∴=。22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),它與曲線C:(y﹣2)2﹣x2=1交于A、B兩點.(1)求|AB|的長;(2)以O(shè)為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)點P的極坐標(biāo)為(2,),求點P到線段AB中點M的距離.參考答案:考點:簡單曲線的極坐標(biāo)方程;參數(shù)方程化成普通方程.專題:坐標(biāo)系和參數(shù)方程.分析:(1)設(shè)點A,B的參數(shù)分別為t1,t2.把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的方程可得t2﹣4t﹣10=0.利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出.(2)利用把點P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo),線段AB中點M所對的參數(shù)t=,即可得出點M的坐標(biāo),再利用兩點之間的距離公式即可得出.解答: 解:(1)設(shè)點A,B的參數(shù)分別為t1,t2.把直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入曲線C:(y﹣2)
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