2022年度遼寧省沈陽(yáng)市第三十六中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，則|BF|=(

)A.2 B. C.1 D.參考答案：B【分析】設(shè)，及，利用拋物線的定義直接求出得值，進(jìn)而得到的值，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)，及，則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得到，即，又由，整理得，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練利用拋物線的定義，合理轉(zhuǎn)化是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.若，則的值為(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：C3.（5分）（2015?青島一模）如圖是某體育比賽現(xiàn)場(chǎng)上七位評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（）A．5和1.6B．85和1.6C．85和0.4D．5和0.4參考答案：B【考點(diǎn)】：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】：圖表型．【分析】：根據(jù)均值與方差的計(jì)算公式，分布計(jì)算出所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分即可．解：根據(jù)題意可得：評(píng)委為某選手打出的分?jǐn)?shù)還剩84，84，84，86，87，所以所剩數(shù)據(jù)的平均數(shù)為=85，所剩數(shù)據(jù)的方差為[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（84﹣85）2+（87﹣85）2]=1.6．故選B．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查莖葉圖、平均數(shù)和方差，對(duì)于一組數(shù)據(jù)通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，方差，它們分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問(wèn)題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題．4.已知函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸是，則函數(shù)

的最大值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知復(fù)數(shù)z滿足，則z=（

）A． B． C． D．參考答案：A因?yàn)椋裕?.已知，則sin2x=（

）A.

B.C.D.參考答案：C略7.已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C．

D．參考答案：A由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)可得，，所以可得，故選A.

8.有下列關(guān)于三角函數(shù)的命題P1：?x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，則sin2x＞0；P2：函數(shù)y=sin（x﹣）與函數(shù)y=cosx的圖象相同；P3：?x0∈R，2cosx0=3；P4：函數(shù)y=|cosx|（x∈R）的最小正周期為2π，其中真命題是（）A．P1，P4 B．P2，P4 C．P2，P3 D．P1，P2參考答案：D【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】閱讀型；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；簡(jiǎn)易邏輯．【分析】運(yùn)用二倍角的正弦公式和同角的平方關(guān)系以及商數(shù)關(guān)系，即可化簡(jiǎn)判斷P1；運(yùn)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，即可判斷P2；由余弦函數(shù)的值域，即可判斷P3；運(yùn)用周期函數(shù)的定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可判斷P4．【解答】解：對(duì)于P1，?x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，則sin2x=2sinxcosx==＞0，則P1為真命題；對(duì)于P2，函數(shù)y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，則P2為真命題；對(duì)于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，?[﹣1，1]，則P3為假命題；對(duì)于P4，函數(shù)y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），則f（x）的最小正周期為π，則P4為假命題．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全稱性命題和存在性命題的真假，以及三角函數(shù)的圖象和周期，運(yùn)用二倍角公式和誘導(dǎo)公式以及周期函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題和易錯(cuò)題．9.設(shè)函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間（▲）A.

B.，

C.

D.參考答案：A略10.設(shè)定義在R上的函數(shù)，滿足，為奇函數(shù)，且，則不等式的解集為（

）A．(1,+∞)

B．(－∞,0)∪(1,+∞)

C．(－∞,0)∪(0,+∞)

D．(0,+∞)參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐O-ABC的體積為10，OA＝3，OB＝4，，則三棱錐O-ABC的外接球的表面積為_(kāi)_______。參考答案：50π

12.設(shè)x、y滿足約束條件，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，當(dāng)+的最小值為m時(shí)，則y=sin（mx+）的圖象向右平移后的表達(dá)式為．參考答案：y=sin2x【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；簡(jiǎn)單線性規(guī)劃． 【分析】首先根據(jù)線性規(guī)劃問(wèn)題和基本不等式求出函數(shù)的最值，再利用正弦型函數(shù)的圖象變換問(wèn)題，求出結(jié)果． 【解答】解：設(shè)x、y的線性約束條件 解得A（1，1）目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2 即：a+b=2 所以： 則：則y=sin（2x+）的圖象向右平移后的表達(dá)式為：y=sin2x 故答案為：y=sin2x 【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題，基本不等式的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的圖象變換問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題型． 13.在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組（為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于1，則a的值為

．參考答案：1題意得直線過(guò)定點(diǎn)．①當(dāng)a<0時(shí)，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)樯蠄D中的M，一個(gè)無(wú)限的角形區(qū)域，面積不可能為2，故a<0不合題意；②當(dāng)a≥0時(shí)，不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)樯蠄D中的N，為三角形區(qū)域．若這個(gè)三角形的面積為1，則有AB=2，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2)，代入，得a=1．

14.設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為

；參考答案：略15.設(shè)正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則該球的表面積為_(kāi)_______．參考答案：8π略16.已知菱形ABCD的一條對(duì)角線BD長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)且滿足，點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，若，則________.參考答案：-7由題意可知，故.17.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則2y﹣x的最大值為

．參考答案：5【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形畫(huà)出相應(yīng)的直線，將直線平移至A時(shí)縱截距最大，z最大．【解答】解：畫(huà)出，的可行域如圖：將z=2y﹣x變形為y=x+z作直線y=x將其平移至A時(shí)，直線的縱截距最大，z最大，由可得A（﹣1，2），z的最大值為：5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值時(shí)，關(guān)鍵是將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2=，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=．（Ⅰ）寫(xiě)出曲線C1與直線l的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)Q為曲線C1上一動(dòng)點(diǎn)，求Q點(diǎn)到直線l距離的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．【專題】坐標(biāo)系和參數(shù)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)互化公式ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程．（Ⅱ）設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo)，Q，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出最小值．【解答】（Ⅰ）以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ2=，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=，根據(jù)ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，則C1的直角坐標(biāo)方程為x2+2y2=2，直線l的直角坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）設(shè)Q，則點(diǎn)Q到直線l的距離為=，當(dāng)且僅當(dāng)，即（k∈Z）時(shí)取等號(hào)．∴Q點(diǎn)到直線l距離的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)系中一般方程的轉(zhuǎn)化，考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，題目難度不大；另外第二問(wèn)中對(duì)橢圓的參數(shù)方程也有考查，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)問(wèn)題，即化成同一個(gè)角的三角函數(shù)并求出其最小值．19.2016年射陽(yáng)縣洋馬鎮(zhèn)政府決定投資8千萬(wàn)元啟動(dòng)“鶴鄉(xiāng)菊海”觀光旅游及菊花產(chǎn)業(yè)項(xiàng)目．規(guī)劃從2017年起，在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年繼續(xù)投資2千萬(wàn)元用于此項(xiàng)目.2016年該項(xiàng)目的凈收入為5百萬(wàn)元（含旅游凈收入與菊花產(chǎn)業(yè)凈收入），并預(yù)測(cè)在相當(dāng)長(zhǎng)的年份里，每年的凈收入均為上一年的1.5倍．記2016年為第1年，f（n）為第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)利潤(rùn)（注：含第n年，累計(jì)利潤(rùn)=累計(jì)凈收入﹣累計(jì)投入，單位：千萬(wàn)元），且當(dāng)f（n）為正值時(shí)，認(rèn)為該項(xiàng)目贏利．（1）試求f（n）的表達(dá)式；（2）根據(jù)預(yù)測(cè)，該項(xiàng)目將從哪一年開(kāi)始并持續(xù)贏利？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：()4≈5，ln2≈0.7，ln3≈1.1）參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用．【分析】（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)投入為8+2（n﹣1）（千萬(wàn)元），第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)凈收入為，利用等比數(shù)列的求和公式可得f（n）．（2）方法一：由f（n+1）﹣f（n）=，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．方法二：設(shè)，求導(dǎo)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值即可得出．【解答】解：（1）由題意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)投入為8+2（n﹣1）=2n+6（千萬(wàn)元），…第1年至此后第n（n∈N*）年的累計(jì)凈收入為=（千萬(wàn)元）．…所以（千萬(wàn)元）．…（2）方法一：因?yàn)?，所以當(dāng)n≤3時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＜0，故當(dāng)n≤4時(shí)，f（n）遞減；當(dāng)n≥4時(shí)，f（n+1）﹣f（n）＞0，故當(dāng)n≥4時(shí)，f（n）遞增．…又，，．所以，該項(xiàng)目將從第8年開(kāi)始并持續(xù)贏利．…答：該項(xiàng)目將從2023年開(kāi)始并持續(xù)贏利．…方法二：設(shè)，則，令f'（x）=0，得，所以x≈4．從而當(dāng)x∈[1，4）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）遞減；當(dāng)x∈（4，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）遞增．…又，，．所以，該項(xiàng)目將從第8年開(kāi)始并持續(xù)贏利．…答：該項(xiàng)目將從2023年開(kāi)始并持續(xù)贏利．…20.（本小題滿分12分）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對(duì)任意，都有，其中為數(shù)列的前項(xiàng)和。(1)求證數(shù)列是等差數(shù)列；(2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為Tn,求Tn。參考答案：（1）∵，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又，∴.

………………4分當(dāng)時(shí),,∴,又,∴.所以,數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列.

……………6分（2）由（1）,,∴.設(shè),；∵，

∴