第八章非線性控制系統分析1研究非線性控制理論的意義8-1非線性控制系統概述

對于線性系統，描述其運動狀態的數學模型量線性微分方程，它的根本標志就在于能使用疊加原理。而非線性系統，其數學模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。由于兩種系統特性上的這種差別，所以它的運動規律是很不相同的。目前，還沒有像求解線性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法。而對非線性系統，一般并不需要求解其輸出響應過程。通常是把討論問題的重點放在系統是否穩定，系統是否產生自持振蕩等有關穩定性的分析上。2非線性系統的特征（1）在線性系統中，系統的穩定性只與其結構和參數有關，而與初始條件無關。但非線性系統的穩定性除和系統的結構形式及參數有關外，還和初始條件有關。在不同的初始條件下，運動的最終狀態可能完全不同。另外，線性系統只有一個平衡狀態，而非線性系統可能存在多個平衡狀態例存在兩個平衡狀態X=1X=0X=1不穩定的平衡狀態X=0穩定的平衡狀態（2）在非線性系統中，除了從平衡狀態發散或收斂于平衡狀態兩種運動形式外，往往即使無外作用存在，系統也可能產生具有一定振幅和頻率的穩定的等幅振蕩。自激振蕩：無外作用時非線性系統內部產生的穩定的等幅振蕩。

對線性系統，圍繞其平衡狀態只有發散和收斂兩種運動形式，其中不可能產生穩定的自激振蕩。-110.52（3）在線性系統中，輸入為正弦函數時，其輸出的穩態分量也是同頻率的正弦函數，輸入和穩態輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應來描述系統的固有特性。而非線性系統輸出的穩態分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數形式。3非線性系統的分析與設計方法（1）相平面法（2）描述函數法（3）逆系統法8-2常見非線性及其對系統運動的影響1非線性特性的等效增益對于非線性系統，定義非線性環節輸出和輸入的比值為等效增益變增益因而可將非線性特性視為變增益比例環節。2常見非線性因素對系統運動的影響下面介紹的這些特性中，一些是組成控制系統的元件所固有的，如飽和特性，死區特性和滯環特性等，這些特性一般來說對控制系統的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統的性能而人為加入的，如繼電器特性，變增益特性，在控制系統中加入這類特性，一般來說能使系統具有比線性系統更為優良的動態特性。功能：改善系統性能的切換元件（1）繼電器特性（3）飽和特性（2）死區特性危害：使系統輸出信號在相位上產生滯后，從而降低系統的相對穩定性，使系統產生自持振蕩。危害：使系統輸出信號在相位上產生滯后，從而降低系統的相對穩定性，使系統產生自持振蕩。（4）間隙特性8-3相平面法相平面法是一種通過圖解法求解一、二階非線性系統的準確方法。1．基本概念設一個二階系統可以用下列常微分方程描述和稱為系統運動的相變量，以為橫坐標，以為縱坐標的平面稱為相平面。在相平面上繪制的軌跡稱為相軌跡，在相軌跡上用箭頭符號表示時間的增加方向。2相軌跡的繪制方法（1）解析法相軌跡在某些特定情況下，可以通過積分法，直接由微分方程獲得和的解析關系式，因為：由非線性方程得：

例8-1：給定二階系統，初始條件為，確定系統自由運動的相軌跡。

解：利用可得積分得：即整理得：例2給定系統解：由方程可得：由初始條件可知：M=1M=-1（２）圖解法——等傾線法前面得到相軌跡的微分方程：該方程為相軌跡在相平面任一點的切線的斜率，令該斜率為一常數，則有，即：上式稱為等傾線方程，由該方程可在相平面上做一條曲線稱為等傾線。當相軌跡經過該等傾線上任一點時，其切線的斜率都相等，均為。取為若干不同的常數，既可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點作斜率為的短直線，并以箭頭表示切線方向，構成相軌跡的切線方向場。由初始點出發，沿等傾線繪制出系統的相軌跡。步驟：a.根據等傾線方程式，做出不同a值的等傾線b.根軌初始條件確定相軌跡的起始點c.從起始點處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再從該直線與第二條等傾線的交點向相鄰的第三條等傾線畫直線。這段直線的斜率等于第二.第三等傾線斜率的平均值，如此繼續下去，即可作出相軌跡。例

采用等傾線法畫出給定系統的相軌跡：解：系統可以寫作令，則有系統化為當等傾線方程為等傾線方程顯然為直線，該等傾線的斜率為

1上半平面：，x增加方向從左到右

2下半平面：，x減少方向從右到左總結：相軌跡的特點3所有的軌跡如果穿過x軸，則方向必定是垂直的。

3線性系統的相軌跡（1）線性一階系統的相軌跡T<0T>0（2）線性二階系統的相軌跡(a)(b)b=0a>0a<0a>0a<0時可寫為cc4．奇點和奇線以微分方程表示的二階系統，其相軌跡上每一點切線的斜率為，若在某點處和同時為零，即有的不定形式，則稱該點位相平面的奇點。

相軌跡在奇點處切線的斜率不定，因此，在該點多條相軌跡相交；而在非奇點，相軌跡的切線斜率是一個確定的值，故經過非奇點的相軌跡只有一條。由奇點定義知，起點一定位于相平面的橫軸上。在奇點處，系統的速度與加速度同時為零。對于二階系統來講，系統不再發生運動，處于平衡狀態，故相平面的起點亦稱為平衡點（1）奇點根與相軌跡j0j0j0節點穩定焦點中心不穩定節點不穩定節點鞍點λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ2

極限環：極限環是相平面圖上一個孤立的封閉軌跡，所有極限環附近的相軌跡都將卷向極限環，或從極限環卷出。極限環內部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過極限環而進入它的外部（或內部）。

（1）穩定極限環在極限環附近，起始于極限環外部或內部的相軌跡均收斂與該極限環。這時，系統表現為等幅持續振蕩。（2）奇線

在非線性系統中，有時會產生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區域。這種特殊的相軌跡出稱為奇線。最常見的奇線是極限環（2）不穩定極限環在極限環附近的相軌跡是從極限環發散出去。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環內，則該相軌跡收斂于極限環內的奇點，如果相軌跡起始于極限環外，則該相軌跡發散至無窮遠。（3）半穩定極限環如果起始于極限環外部的相軌跡，從極限環發散出去，而起始于極限環內部各點的相軌跡，收斂于極限環;或者相反，起始于極限環外部各點的相軌跡收斂于極限環，而起始于極限環內部各點的相軌跡收斂于圓點。5非線性系統的相平面分析法

一般非線性系統可用分段線性微分方程來描述。在相平面的不同區域內，代表該非線性系統運動規律的微分方程是線性的，因而每個區域內的相軌跡都是線性系統的相軌跡，僅在不同區域的邊界上相軌跡要發生轉換。區域的邊界線稱為開關線或轉換線。因此，一般非線性系統相軌跡實際上就是分段線性系統相軌跡，我們只需做好相軌跡在開關線上的銜接工作。用相平面法分析非線性系統的一般步驟：（1）將非線性特性用分段的直線特性來表示，寫出相應線段的數學表達式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標，一般常用誤差及其導數分別為橫縱坐標。然后將相平面根據非線性特性分成若干區域，使非線性特性在每個區域內都呈線性特性。（3）確定每個區域的奇點類別和在相平面上的位置。（4）在各個區域內分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區域的相軌跡，根據在相鄰兩區分界線上的點對于相鄰兩區具有相同工作狀態的原則連接起來，便得到整個非線性系統的相軌跡。（6）基于該相軌跡，全面分析二階非線性系統的動態及穩態特性2.非線性系統方框圖如圖所示，試取其系統在輸入信號8-4描述函數法

基本思想：當系統滿足一定的假設條件時，系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可以用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環節的近似等效頻率特性，即描述函數。

描述函數主要用來分析無外作用的情況下，非線性系統的穩定性和自振蕩問題1描述函數的基本概念描述函數的定義非線性環節：當輸入信號為：時，非線性環節的輸出為非正弦的周期信號，可以展成傅里葉級數：若且當n>1時，均很小定義正弦輸入信號作用下，非線性環節的穩態輸出中一次諧波分量和輸入信號的復數比為非線性環節的描述函數N(X)

G(jω)描述函數分析的應用條件（1）系統應簡化為一個非線性環節和一個線性部分閉環連接的典型結構形式（2）y（x）是X的奇函數，即或,以保證A0=0（3）系統