第八章非線性控制系統(tǒng)分析1研究非線性控制理論的意義8-1非線性控制系統(tǒng)概述

對于線性系統(tǒng)，描述其運動狀態(tài)的數(shù)學模型量線性微分方程，它的根本標志就在于能使用疊加原理。而非線性系統(tǒng)，其數(shù)學模型為非線性微分方程，不能使用疊加原理。由于兩種系統(tǒng)特性上的這種差別，所以它的運動規(guī)律是很不相同的。目前，還沒有像求解線性微分方程那樣求解非線性微分方程的通用方法。而對非線性系統(tǒng)，一般并不需要求解其輸出響應過程。通常是把討論問題的重點放在系統(tǒng)是否穩(wěn)定，系統(tǒng)是否產(chǎn)生自持振蕩等有關(guān)穩(wěn)定性的分析上。2非線性系統(tǒng)的特征（1）在線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)的穩(wěn)定性只與其結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與初始條件無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性除和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)有關(guān)外，還和初始條件有關(guān)。在不同的初始條件下，運動的最終狀態(tài)可能完全不同。另外，線性系統(tǒng)只有一個平衡狀態(tài)，而非線性系統(tǒng)可能存在多個平衡狀態(tài)例存在兩個平衡狀態(tài)X=1X=0X=1不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)X=0穩(wěn)定的平衡狀態(tài)（2）在非線性系統(tǒng)中，除了從平衡狀態(tài)發(fā)散或收斂于平衡狀態(tài)兩種運動形式外，往往即使無外作用存在，系統(tǒng)也可能產(chǎn)生具有一定振幅和頻率的穩(wěn)定的等幅振蕩。自激振蕩：無外作用時非線性系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的穩(wěn)定的等幅振蕩。

對線性系統(tǒng)，圍繞其平衡狀態(tài)只有發(fā)散和收斂兩種運動形式，其中不可能產(chǎn)生穩(wěn)定的自激振蕩。-110.52（3）在線性系統(tǒng)中，輸入為正弦函數(shù)時，其輸出的穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，輸入和穩(wěn)態(tài)輸出之間僅在振幅和相位上有所不同，因此可以用頻率響應來描述系統(tǒng)的固有特性。而非線性系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)分量在一般情況下并不具有與輸入相同的函數(shù)形式。3非線性系統(tǒng)的分析與設計方法（1）相平面法（2）描述函數(shù)法（3）逆系統(tǒng)法8-2常見非線性及其對系統(tǒng)運動的影響1非線性特性的等效增益對于非線性系統(tǒng)，定義非線性環(huán)節(jié)輸出和輸入的比值為等效增益變增益因而可將非線性特性視為變增益比例環(huán)節(jié)。2常見非線性因素對系統(tǒng)運動的影響下面介紹的這些特性中，一些是組成控制系統(tǒng)的元件所固有的，如飽和特性，死區(qū)特性和滯環(huán)特性等，這些特性一般來說對控制系統(tǒng)的性能是不利的；另一些特性則是為了改善系統(tǒng)的性能而人為加入的，如繼電器特性，變增益特性，在控制系統(tǒng)中加入這類特性，一般來說能使系統(tǒng)具有比線性系統(tǒng)更為優(yōu)良的動態(tài)特性。功能：改善系統(tǒng)性能的切換元件（1）繼電器特性（3）飽和特性（2）死區(qū)特性危害：使系統(tǒng)輸出信號在相位上產(chǎn)生滯后，從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。危害：使系統(tǒng)輸出信號在相位上產(chǎn)生滯后，從而降低系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性，使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩。（4）間隙特性8-3相平面法相平面法是一種通過圖解法求解一、二階非線性系統(tǒng)的準確方法。1．基本概念設一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述和稱為系統(tǒng)運動的相變量，以為橫坐標，以為縱坐標的平面稱為相平面。在相平面上繪制的軌跡稱為相軌跡，在相軌跡上用箭頭符號表示時間的增加方向。2相軌跡的繪制方法（1）解析法相軌跡在某些特定情況下，可以通過積分法，直接由微分方程獲得和的解析關(guān)系式，因為：由非線性方程得：

例8-1：給定二階系統(tǒng)，初始條件為，確定系統(tǒng)自由運動的相軌跡。

解：利用可得積分得：即整理得：例2給定系統(tǒng)解：由方程可得：由初始條件可知：M=1M=-1（２）圖解法——等傾線法前面得到相軌跡的微分方程：該方程為相軌跡在相平面任一點的切線的斜率，令該斜率為一常數(shù)，則有，即：上式稱為等傾線方程，由該方程可在相平面上做一條曲線稱為等傾線。當相軌跡經(jīng)過該等傾線上任一點時，其切線的斜率都相等，均為。取為若干不同的常數(shù)，既可在相平面上繪制出若干條等傾線，在等傾線上各點作斜率為的短直線，并以箭頭表示切線方向，構(gòu)成相軌跡的切線方向場。由初始點出發(fā)，沿等傾線繪制出系統(tǒng)的相軌跡。步驟：a.根據(jù)等傾線方程式，做出不同a值的等傾線b.根軌初始條件確定相軌跡的起始點c.從起始點處的等傾線向相鄰的第二條等傾線畫直線，它的斜率近似等于這兩條相鄰等傾線斜率的平均值。再從該直線與第二條等傾線的交點向相鄰的第三條等傾線畫直線。這段直線的斜率等于第二.第三等傾線斜率的平均值，如此繼續(xù)下去，即可作出相軌跡。例

采用等傾線法畫出給定系統(tǒng)的相軌跡：解：系統(tǒng)可以寫作令，則有系統(tǒng)化為當?shù)葍A線方程為等傾線方程顯然為直線，該等傾線的斜率為

1上半平面：，x增加方向從左到右

2下半平面：，x減少方向從右到左總結(jié)：相軌跡的特點3所有的軌跡如果穿過x軸，則方向必定是垂直的。

3線性系統(tǒng)的相軌跡（1）線性一階系統(tǒng)的相軌跡T<0T>0（2）線性二階系統(tǒng)的相軌跡(a)(b)b=0a>0a<0a>0a<0時可寫為cc4．奇點和奇線以微分方程表示的二階系統(tǒng)，其相軌跡上每一點切線的斜率為，若在某點處和同時為零，即有的不定形式，則稱該點位相平面的奇點。

相軌跡在奇點處切線的斜率不定，因此，在該點多條相軌跡相交；而在非奇點，相軌跡的切線斜率是一個確定的值，故經(jīng)過非奇點的相軌跡只有一條。由奇點定義知，起點一定位于相平面的橫軸上。在奇點處，系統(tǒng)的速度與加速度同時為零。對于二階系統(tǒng)來講，系統(tǒng)不再發(fā)生運動，處于平衡狀態(tài)，故相平面的起點亦稱為平衡點（1）奇點根與相軌跡j0j0j0節(jié)點穩(wěn)定焦點中心不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點鞍點λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ2

極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過極限環(huán)而進入它的外部（或內(nèi)部）。

（1）穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近，起始于極限環(huán)外部或內(nèi)部的相軌跡均收斂與該極限環(huán)。這時，系統(tǒng)表現(xiàn)為等幅持續(xù)振蕩。（2）奇線

在非線性系統(tǒng)中，有時會產(chǎn)生特殊的相軌跡，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域。這種特殊的相軌跡出稱為奇線。最常見的奇線是極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)在極限環(huán)附近的相軌跡是從極限環(huán)發(fā)散出去。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無窮遠。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點的相軌跡收斂于圓點。5非線性系統(tǒng)的相平面分析法

一般非線性系統(tǒng)可用分段線性微分方程來描述。在相平面的不同區(qū)域內(nèi)，代表該非線性系統(tǒng)運動規(guī)律的微分方程是線性的，因而每個區(qū)域內(nèi)的相軌跡都是線性系統(tǒng)的相軌跡，僅在不同區(qū)域的邊界上相軌跡要發(fā)生轉(zhuǎn)換。區(qū)域的邊界線稱為開關(guān)線或轉(zhuǎn)換線。因此，一般非線性系統(tǒng)相軌跡實際上就是分段線性系統(tǒng)相軌跡，我們只需做好相軌跡在開關(guān)線上的銜接工作。用相平面法分析非線性系統(tǒng)的一般步驟：（1）將非線性特性用分段的直線特性來表示，寫出相應線段的數(shù)學表達式。（2）首先在相平面上選擇合適的坐標，一般常用誤差及其導數(shù)分別為橫縱坐標。然后將相平面根據(jù)非線性特性分成若干區(qū)域，使非線性特性在每個區(qū)域內(nèi)都呈線性特性。（3）確定每個區(qū)域的奇點類別和在相平面上的位置。（4）在各個區(qū)域內(nèi)分別畫出各自的相軌跡。（5）將相鄰區(qū)域的相軌跡，根據(jù)在相鄰兩區(qū)分界線上的點對于相鄰兩區(qū)具有相同工作狀態(tài)的原則連接起來，便得到整個非線性系統(tǒng)的相軌跡。（6）基于該相軌跡，全面分析二階非線性系統(tǒng)的動態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性2.非線性系統(tǒng)方框圖如圖所示，試取其系統(tǒng)在輸入信號8-4描述函數(shù)法

基本思想：當系統(tǒng)滿足一定的假設條件時，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可以用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。

描述函數(shù)主要用來分析無外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問題1描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)：當輸入信號為：時，非線性環(huán)節(jié)的輸出為非正弦的周期信號，可以展成傅里葉級數(shù)：若且當n>1時，均很小定義正弦輸入信號作用下，非線性環(huán)節(jié)的穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量和輸入信號的復數(shù)比為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)N(X)

G(jω)描述函數(shù)分析的應用條件（1）系統(tǒng)應簡化為一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結(jié)構(gòu)形式（2）y（x）是X的奇函數(shù)，即或,以保證A0=0（3）系統(tǒng)