第2章電路中的暫態分析2.2

RC電路的響應2.3RL電路的響應2.4

三要素法2.1

換路定律與暫態過程初始值的確定2.5

序列脈沖作用下RC電路

穩定狀態指電路中的電壓和電流在給定的條件下，已到達某一穩定值的穩定狀態簡稱穩態。

暫態電路從一個穩定狀態變化到另一個穩定狀態的物理過程稱為過渡過程。又稱為暫態過程。

概述

本章主要分析RC和RL一階線性電路的暫態過程并介紹工程上使用的分析方法即三要素法。

暫態過程的產生是由于物質所具有的能量不能躍變而造成的。

換路

指電路的接通、切斷、短路、電路結構改變或元件參數的改變等。2.1

換路定律與暫態過程初始值的確定2.1.1電路產生暫態過程的原因

電路產生暫態過程的原因是：電路中含有儲能元件及電路發生換路。SCRt=0–

+US–

+uCiR–

+USLSt=0–

+uL–

+uRi例：圖中L、C均有初始儲能，在開關閉合后，i由0逐漸增長到穩態值US/RuL由US逐漸衰減到穩態值0uC由0逐漸增長到穩態值US2.1

換路定律與暫態過程初始值的確定2.1.1電路產生暫態過程的原因

電路產生暫態過程的原因是：電路中含有儲能元件及電路發生換路。R1–

+USSR2R3R1–

+USSR2L–

+USSR2CR1儲能元件在電路發生換路前后能量發生變化。2.1.2換路定律iL(0+)=iL(0–)uC(0+)=uC(0–)

電路中含有儲能元件(電感或電容)，在換路瞬間儲能元件的能量不能躍變，即

設

t=0為換路瞬間，而以t=0–表示換路前的終了瞬間，t=0+表示換路后的初始瞬間。換路定則用公式表示為：否則將使功率達到無窮大電感元件的儲能不能躍變電容元件的儲能不能躍變

換路定律僅適用于換路瞬間，可根據它來確定t=0+時電路中電壓和電流之值，即暫態過程的初始值。2.1.3暫態過程初始值的確定暫態過程初始值的確定的步驟:(1)作出t=0-的等效電路,在t=0-的等效電路中,求出iL(0-)和uC(0-)。(2)作出t=0+的等效電路0短路U00斷路I0U0+–I0uct=0–

t=0+iL+–（3）在t=0+的等效電路中，求出待求電壓和電流的初始值。暫態過程在直流激勵下穩態值的確定t=時電容相當于斷路,電感相當于短路。[例1]已知iL(0)=0，uC(0)=0。試求S閉合瞬間電路中各電壓、電流的初始值。t=0+時的等效電路為uC(0+)=uC(0–)=0i1(0+)=iC(0+)=iL(0+)=iL(0–)=0UR1R1u1(0+)=i1(0+)=Uu2(0+)=0uL(0+)=U[解]根據換路定律及已知條件可知，

iL(0+)=iL(0–)=0電路中各電壓電流的初始值為SCR2R1t=0–

+ULuC(0+)u2(0+)R2R1iL(0+)uL(0+)iC(0+)u1(0+)i1(0+)+–+–U+–+–+–[例2]下圖所示電路中，已知：R1=R2=R4=R5=2，R3=1，IS=4A，S閉合前電路已處于穩態。若t=0時將S打開，求電容和電感的電壓、電流初始值。R1ISSR2R5LCR3R4–

+uCiLt=0[解](1)求uC(0)和iL(0)uC(0)iL(0)t=0的等效電路S[例2]下圖所示電路中，已知：R1=R2=R4=R5=2，R3=2，IS=4A，S閉合前電路已處于穩態。若t=0時將S打開，求電容和電感的電壓、電流初始值。R1ISSR2R5LCR3R4–

+uCiLt=0[解]

求uC(0和iL(0)uC(0)iL(0)t=0的等效電路S作t=0+的等效電路uC(0+)iL(0+)–

+uL(0+)iC(0+)i2(0+)uC(0+)=uC(0–)=2V根據換路定律,有

iL(0+)=iL(0–)=1A在t=0+的等效電路上求其它各電壓電流的初始值uL(0+)=iL(0+)(R4+R5)=4V把i2(0+)=ISiC(0+)代入SiC(0+)R3+uC(0+)i2R2=0解得iC(0+)=2Ai2(0+)=2A此例說明在換路瞬間只有電容的電壓和電感中的電流不能躍變，而電路中其它各電量均可能發生躍變，包括通過電容的電流和電感元件兩端的電壓。求初始值的步驟1、求t=0-時的電容電壓和電感電流；2、畫出換路后的0+等效電路，根據換路定律，確定電容電壓和電感電流；3、在0+等效電路中，求待求量。穩態值

電路換路后，經過暫態過程又達到新的穩定狀態，這時電路中的電壓、電流值稱為穩態值(穩態分量)。用u()、i()表示。求直流激勵下的穩態值,可畫出t=的電路，即在換路后的電路中將電容元件開路,電感元件短路。例：下圖所示電路中，已知：R1=3，R2=6，R3=3，C1=5

μF，C2=10

μF

，E=20V,S閉合時電路已處于穩態。試求：C1、C2

和R1上電壓的初始值和穩態值。C2R2R1+-EC1R320VSt=0C2R2R1+-EC1R320VSt=0解：（1）求初始值，畫出t=0–的電路uC1(0-)=————R1+R2+R3R3?EuC2(0-)=————R1+R2+R3R2?E

=———=5V3+6+33×20=———=10V3+6+36×20i

(0-)=E/(R1+R2+R3)

=1.67AuR1(0-)=i

(0-)R1=5VuC1(0+)=uC1(0-)=5VuC2(0+)=uC2(0-)=10VR2+-R3Et=0–的電路uC1(0-)+-uC2(0-)+-i

(0-)uR1(0+)R1+-20V畫出t=0+的電路,用結點電壓法求結點電壓uab

(0+)uab

(0+)=__________________________E/R1+uC1(0+)/R2+uC2(0+)/R31/R1+1/R2+

1/R3=13VuR1(0+)=E–uab

(0+)=7V可見uR1(0+)uR1(0–)因此，求初始值時,只需計算t=0–時的iL(0–)和uC(0–)，因為它們不能躍變，即為初始值，而t=0–時的其余電壓和電流都與初始值無關，不必去求。R2+–R3EuR1(0+)+–+–uC1(0+)t=0+的電路C2C1abR1+–20VuC2(0+)(2)求穩態值,畫出t=

的電路uC1()=uC2()=E=20VR2+-R3Et=的電路uC1()+-+-R1+–20VuC2()uR1()uR1()=0例：下圖所示電路中，S合于a時電路已處于穩態。試求：初始值iL(0+),uL(0+)。SLR2t=03A201530R3R1IS+–iLuLba解：(1)畫出t=0–的電路,L視為短路iL(0-)uL(0-)S3A2030R3R1ISat=0–的電路uL(0-)=0=1.2AiL(0-)=IS——R1+R3R1(2)畫出t=0+的電路uL(0+)iL(0+)+–30R3R215Lt=0+的電路iL(0+)=iL(0-)=1.2AuL(0+)=

–

iL(0+)(R2+R3)=

–54V可見uL(0+)uL(0–)換路瞬間僅iL不能躍變,電感兩端的電壓uL是可以躍變的，所以不必求uL(0-)。

本節討論在直流電源激勵下只含有一個電容元件的一階RC電路的響應。2.2RC電路的響應2.2.1RC電路的零輸入響應SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi根據KVL即∵故有

圖中，開關S合于a，當電容上電壓充電到U0時，將S由a合向b即uC(0–)=U0

輸入信號為零，由電容元件的初始狀態uC(0+)

所產生的響應稱為零輸入響應，它是電容的放電過程。uC

=Ae

st上式的通解為指數函數，即由特征方程RCS+1=0得S=–1/RC

通解uC

=Ae

–t/RC

確定積分常數，由換路定律uC(0+)=uC(0–)=U0

得A=U0=uC(0+)所以uC

=U0e–t/RC=uC(0+)

e

–t/RC

uR

=–uC

=–U0e

–t/RC

2.2.1RC電路的零輸入響應SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCiotU0–U0uCuRi變化曲線

在零輸入響應電路中，各部分電壓和電流都是由初始值按同一指數規律衰減到零。時間常數=RC

稱為RC電路的時間常數S單位

時間常數等于電壓uC衰減到初始值U0的36.8%所需的時間。uC()=0.368U02.2.1RC電路的零輸入響應

uC

=U0e–t/

Ft

e

-t/

23456

e

–1

e

–2

e

–3

e–4

e

–5

e–60.3680.1350.050.0180.0070.002

從理論上講,電路只有經過t=的時間才能達到穩定。由上表可以看出t=5時，uC已衰減到0.7%U0，所以,工程上通常認為在t≥(4~5)以后，暫態過程已經結束。uCotU00.368U01233>2>1

電壓uC衰減的快慢決定于電路的時間常數,時間常數越大，uC衰減(電容器放電)越慢。uC

=

U0e

–t/RC

2.2.1RC電路的零輸入響應

換路前電容的初始儲能為零,即uC(0–)=0，電路中的響應由外加激勵產生，稱這種響應為RC電路的零狀態響應。它是電容的充電過程。2.2.2RC電路的零狀態響應把得

開關S合于b，當電容放電完畢t=0時，將S由b合向a，uC(0–)=0SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi代入上式SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi

根據KVL，列出t≥0時電路的微分方程(1)特解通解2.2.2RC電路的零狀態響應SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi(1)特解通解應滿足應滿足式(1)的完全解為根據uC(0+)=uC(0–)=0，可確定積分常數A=–US

uC=US–USe–t/RC

=US(1–e–t/)時間常數=RC當t=時，uC=63.2%Us2.2.2RC電路的零狀態響應SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi(1)uC=US–USe

–t/RC

=US(1–e–t/)時間常數=RC充電電流電阻電壓uCUSt0uuRuC、uR的變化曲線i的變化曲線it0US

由上表可以看出，同樣可認為t≥(4~5)以后暫態過程已經結束。2.2.2RC電路的零狀態響應uC=US(1–e–t/)2345t

1–

e–t/

1–e–1

1–e–2

1–e–3

1–e–4

1–e–5

0.6320.8650.950.9820.993

[例]下圖所示電路中，R=5，C=2F，IS=10A，uC(0)=0，開關S在t=0時打開。試求(1)電路的時間常數；(2)電容上的電壓uC和iC；(3)最大充電電流；(4)畫出uC和iC隨時間變化曲線；(5)經過多少時間uC=43.25V?[解]

由于uC(0+)=uC(0)=0，故本例為直流激勵下RC電路的零狀態響應。ISSRC–

+uCt=0iCiR換路后再經電源等效變換后的電路為USR0C–

+uCiC–

+

(1)電路的時間常數=R0C=52=10S(2)電容上的電壓uC和iCUS=ISR=105=50VR0=R=5uC=US(1–e–t/)=50(1–e–0.1t)V

解法1[例]下圖所示電路中，R=5，C=2F，IS=10A，uC(0)=0，開關S在t=0時打開。試求(1)電路的時間常數；(2)電容上的電壓uC和iC；(3)最大充電電流；(4)畫出uC和iC隨時間變化曲線；(5)經過多少時間uC=43.25V?[解]ISSRC–

+uCt=0iCiRUSR0C–

+uCiC–

+

(3)最大充電電流(4)uC和iC隨時間變化曲線

(5)設經過t秒uC=43.25V

iC(max)=iC(0+)=10AuC(V)t(S)050i(A)010t(S)解43.2=50(1–e–0.1t)V,得

t=20S[例]下圖所示電路中，R=5，C=2F，IS=10A，uC(0)=0，開關S在t=0時打開。試求(1)電路的時間常數；(2)電容上的電壓uC和iC；(3)最大充電電流；(4)畫出uC和iC隨時間變化曲線；(5)經過多少時間uC=43.25V?[解]ISSRC–

+uCt=0iCiR解法2應用KCL列出換路后結點電流方程式把代入上式，得解此微分方程，即可得到解答。

全響應是指外加激勵和電容初始電壓uC(0+)均不為零時電路的響應，也就是零輸入響應和零狀態響應的疊加。

圖中，若開關S合于b時，電路已處于穩態,則uC(0–)=U02.2.3RC電路的全響應SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi–

+U0上式和式(1)完全相同uC(0+)=uC(0–)=U0t=0+時,U0=US+Ae0積分常數A=U0–US

故電路中的電流式中=RCt=0時，將S由b合向a，t≥0時電路的微分方程為2.2.3RC電路的全響應SCRt=0–

+USab–

+uR–

+uCi–

+U0uC(0+)=uC(0–)=U0全響應暫態分量穩態分量或者寫成全響應

=零輸入響應+零狀態響應uCt0U1U2U0當US=U1>U0時，換路后i>0,電容充電;當US=U2<U0時，換路后i<0,電容放電;當US=U3=U0時，換路后i=0,電路中無暫態過程發生。[例]圖中，開關S閉合前電路已處于穩態。已知U=10V，

R1=R2=R3=10，

C=100μF，開關S在t=0時閉合。求t≥時電容電壓uC和電流i

。[解]USR3C–

+uCt=0i–

+R1R2

把已知電路圖中開關S閉合后除電容C以外的有源二端網絡用戴維寧等效電路代替USR0C–

+uCi–

+其中[例]圖中，開關S閉合前電路已處于穩態。已知U=10V，

R1=R2=R3=10，

C=100μF，開關S在t=0時閉合。求t≥時電容電壓uC和電流i

。[解]USR3C–

+uCt=0i–

+R1R2USR0C–

+uCi–

+用疊加法求uC全響應

=零輸入響應+零狀態響應根據換路定律其中=R0C=5100106=5104SiL(0+)=iL(0)=I0S在t=0時打開，由換路定律，有根據KVL，換路后有uR+uL=0設開關S打開前電路已處于穩態2.3RL電路的響應2.3.1RL電路的零輸入響應Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSR把代入上式，得iL

=Ae

st特征方程LS+R=0通解

故特征根積分常數A=I0電流時間常數HSR應理解為從電感兩端看進去所有電源都不作用時的等效電阻2.3RL電路的響應2.3.1RL電路的零輸入響應Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSR電流電阻電壓電感電壓

電路外加激勵為零，響應僅由電感初始儲能引起，稱為RL電路的零輸入響應。

在零輸入響應電路中，各部分電壓和電流都是由初始值按同一指數規律衰減到零。

在換路瞬間只有電感的電流不能突變，而其兩端的電壓則由零跳變到US。0tUSuRUSuLiLI0iL(0+)=iL(0)=0根據換路定律2.3.2RL電路的零狀態響應通解Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSab

換路前電感的初始儲能為零,即iL(0–)=0，電路中的響應由外加激勵產生，稱這種響應為RL電路的零狀態響應。

開關S由b合于a之前，電感中的電流為零。t=0時，將S由b合向a

根據KVL，列出t≥0時電路的微分方程特解在t=0時，有得式中電感電流2.3.2RL電路的零狀態響應Rt=0–

+US–

+uR–

+uLiLLSab電感電流電感兩端電壓電阻兩端電壓uLuRiL、uL、uR的變化曲線iLt0t0US[例2]下圖所示電路中,已知：R1=R2=1k，L1=15mH

，

L2=L3=10mH

，(設線圈間無互感)電流源I=10mA,開關S閉合前,各電感均未儲有能量,試求:t≥

0時的電流i。t=0SiIR1R2L1L2L3[解]等效電感L=

L1+———L2L3L2+L3=20mH將電流源與R1并聯的電路變換為電壓源E=R1I=10VR0=R1=1kt=0SiR0R2L+–E由等效電路可得出電路的時間常數

=

———LR0+R2=10si

=———(1–

e–—)

tER0+R2=5(1–

e

-10t

)

mA5ti50i/mA等效電路i

(0+)=0i

()=ER0+R2=5mAiL(0+)=iL(0)=I0根據換路定律2.3.3RL電路的全響應

電路換路后的微分方程為式中電感電流USSt=0–

+RR–

+uR+uLiLL–

設t<0時，iL(0-)=I0。在t=0時，將開關S閉合，則t≥0時電路的響應即為全響應。顯然積分常數電感電壓2.3.3RL電路的全響應式中電感電流USSt=0–

+RR–

+uR+uLiLL–

電路的全響應也可用疊加原理分析全響應=零輸入響應+零狀態響應

設t<0時，iL(0-)=I0。在t=0時，將開關S閉合，則t≥0時電路的響應即為全響應。USSt=0–

+R+uViL–

V[例]圖中所示電路為他勵電動機激磁回路的電路模型。設電阻R=80

，L=1.5H，電源電壓US=40V，電壓表量程為50V，內阻RV=50k。開關S在未打開前電路已處于穩態，在

t=0時打開S。求(1)S打開后RL電路的時間常數;(2)電流i

和電壓表兩端的電壓uV；(3)S打開時，電壓表所承受的電壓。[解]（1）時間常數i(0+)=i(0)=0.5A(2)(3)

注意在線圈與電源斷開之前，應將與之并聯的測量儀表從電路中取走。

下圖所示電感線圈電路,如果線圈的電感L很大,開關S在電路達到穩態時斷開時會產生什么后果?應如何解決?在S斷開瞬間電流變化率很大,使eL很大,這個感應電動勢可能使開關兩觸點之間的空氣擊穿造成電弧,開關觸點被燒壞。為了防止這種現象發生，用續流二極管D,使電流(或磁能)通過二極管D逐漸減小。續流二極管USSt=0–

+r+eABiL–

AB討論題:S斷開前斷開S[f(0+)–f

()]是暫態分量=RC

或R為換路后以儲能元件兩端為端口的除源二端網絡的等效電阻(即電壓源短路電流源開路)。2.4三要素法穩態值初始值時間常數待求的電壓或電流一階電路在直流激勵下電壓或電流的完全解可表示為

在一階電路中,只要求出待求量的穩態值、初始值和時間常數這三個要素，就可以寫出暫態過程的解。[例1]在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F

，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t),并畫出變化曲線。[解]先確定uC(0+)uC()和時間常數

R2R1–

U1C–

+1+uCU2–

+t<0時電路已處于穩態，意味著電容相當于開路。2t=0S[例1]在下圖中，已知U1=3V，U2=6V，R1=1k

R2=2k，C=3F

，t<0時電路已處于穩態。用三要素法求t≥0時的uC(t),并畫出變化曲線。[解]先確定uC(0+)

uC()和時間常數

R2–

U1C–

+1+uCU2–

+2t=0SR1t(S)uC(V)402uC(t)變化曲線[例2]圖中t=0時開關S由a投向b。設換路前電路已達穩態。求t≥0電路中電流i(t)和iL(t)，并畫出它們隨時間變化的曲線。[解]用三要素法解此題（1）求iL(0+)及i(0+)

換路前電路已達穩態，電感相當于短路。根據換路定律iL(0+)=iL(0)=S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vit=(0)的等效電路(0)[例2]圖中t=0時開關S由a投向b。設換路前電路已達穩態。求t≥0電路中電流i(t)和iL(t)，并畫出它們隨時間變化的曲線。[解]用三要素法解此題（1）求iL(0+)及i(0+)根據換路定律

iL(0+)=iL(0)=S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vit=(0+)的等效電路(0+)i2(0+)(0+)i由KCL，有

i2(0+)=i(0+)iL(0+)

左回路的KVL方程式為[例2]圖中t=0時開關S由a投向b。設換路前電路已達穩態。求t≥0電路中電流i(t)和iL(t)，并畫出它們隨時間變化的曲線。[解]（2）求iL(∞)及i(∞)S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vit=(∞)的等效電路(∞)i2(∞)(∞)i由電阻并聯的分流公式可求得（3）求時間常數S1t=0iL3Hab12–

+3ViR0[例2]圖中t=0時開關S由a投向b。設換路前電路已達穩態。求t≥0電路中電流i(t)和iL(t)，并畫出它們隨時間變化的曲線。[解]S1t=0+

3ViL3Hab12–

+3Vi把結果代入三要素法公式9/56/5t/Si

/A01/5-6/5iiLt=0–

+UiLR1R2128220V0.6H[例3]圖中，如在穩定狀態下R1被短路，試問短路后經過多少時間電流才達到15A？（1）確定i(0+)[解]先應用三要素法求電流i（3）確定時間常數（2）確定i()t=0–

+UiLR1R2128220V0.6H[例3]圖中，如在穩定狀態下R1被短路，試問短路后經過多少時間電流才達到15A？[解]根據三要素法公式當電流到達15A時所經過的時間為t=0.039S例4所示電路，當t<0時電路處于穩態，在t=0時開關S打開。求

1.t≥0時電容電壓uC(t)，vA(t)，vB(t)；

2.畫出它們的曲線。BA-6V6V10kΩ5kΩ25kΩ100pF+_SBA-6V6V10kΩ5kΩ25kΩ100pF+_S解：易知BA-6V6V10kΩ5kΩ25kΩ100pF+_S打開后的電路為t≥0時，B點電位如下余下內容請在課后完成[例5]下圖所示電路中，開關S閉合前,電路已處于穩態，C=10F,t=0時，將開關S閉合，經0.4ms再將S打開，試求

t≥0時的uC(t),畫出變化曲線。30Rr_+_+S60RE=90VCuCr[解](2)uC(0.4ms)

=30(1+e1

)=41V

uC()=———=30VR+rRE–

rE=2(Rr)C=0.4msuC(t)=30(1+e2500t

)V(0≤t≤0.4ms)即為第二個暫態過程的初始值uC(t)=uC()+[uC(0+)–uC()]e

-t/

(1)uC(0+)=

uC(0–

)=

=

60VR+rRE'=(r+R//r)C=0.5ms=60–19e

-2000t+0.8VuC()=60V(0.4ms≤

t≤)變化曲線30Rr_+_+S60RE=90VCuCr3060410.4t/ms0uC/V

當電路比較復雜時，可以用戴維南定理將換路后的電路化簡為一個單回路電路，（將電路中除儲能元件以外的部分化簡為戴維南等效電路，再將儲能元件接上），然后利用三要素法求解。[例]下圖所示電路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

μF，C2=C3=20

μF

，U=12V,開關S閉合前,電路已處于穩態。試求:t≥

0時的電壓uC

。–

UC1–

++uCt=0SR1R2C2C3[解]C2和C3并聯后再與C1串聯，其等效電容為[例]下圖所示電路中，已知：R1=3k，R2=6k，

C1=40

μF，C2=C3=20

μF

，U=12V,開關S閉合前,電路已處于穩態，試求:t≥

0時的電壓uC

。–

UC1–

++uCt=0SR1R2C2C3