第2章邏輯代數(shù)及其應(yīng)用第2章邏輯代數(shù)及其應(yīng)用2.1邏輯代數(shù)的基本公式和導(dǎo)出公式2.2代入定理及其應(yīng)用2.3邏輯函數(shù)及其描述方法2.4邏輯函數(shù)的化簡方法2.5具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.6邏輯函數(shù)式形式的變換2.1邏輯代數(shù)的基本公式和導(dǎo)出公式數(shù)字電路研究的內(nèi)容：研究輸入信號與輸出信號之間的對應(yīng)邏輯關(guān)系故此，數(shù)字電路又稱數(shù)字邏輯電路用1位二進(jìn)制數(shù)1和0表示事物的兩面表因果關(guān)系邏輯關(guān)系邏輯代數(shù)1849年英國數(shù)學(xué)家布爾邏輯運算：當(dāng)兩個二進(jìn)制數(shù)碼不表示數(shù)量大小，僅表示兩種不同的狀態(tài)時，它們之間可以進(jìn)行邏輯運算。基本的邏輯運算有：與（AND）、或（OR）、非（NOT）復(fù)雜的邏輯運算有：與非（NAND）、或非（NOR）、與或非（AND－NOR）、異或（EXCLUSIVEOR）、同或（EXCLUSIVENOR）2.1.1邏輯代數(shù)的三種基本運算與、或、非的電路例子與或非·+1、函數(shù)式：ABY0000101001112、真值表(TruthTable)一、與（AND）3、邏輯功能：全1出1，有0出04、邏輯符號：Y=A·B可略去輸入端個數(shù)可擴(kuò)展與、或、非的電路例子與或非·+1、函數(shù)式：ABY0000111011112、真值表(TruthTable)二、或（OR）3、邏輯功能：有1出1，全0出04、邏輯符號：Y=A＋B與、或、非的電路例子與或非·+1、函數(shù)式：2、真值表(TruthTable)三、非（NOT）3、邏輯符號：Y=A’AY01101、函數(shù)式：2、真值表(TruthTable)四、與非（NAND）Y=（AB）’ABY0010111011103、邏輯功能：全1出0，有0出14、邏輯符號：1、函數(shù)式：ABY0010101001102、真值表(TruthTable)五、或非（NOR）3、邏輯功能：有1出0，全0出14、邏輯符號：Y=（A＋B）’1、函數(shù)式：2、真值表(TruthTable)六、與或非Y=（AB＋CD）’3、邏輯符號：ABCDY000010001100101001100100101011011010111010001100111010110110110001101011100111101、函數(shù)式：ABY0000111011102、真值表(TruthTable)七、異或（EXCLUSIVEOR）3、邏輯功能：相同出0，相異出14、邏輯符號：Y=A＋B=A’B+AB’1、函數(shù)式：ABY0010101001112、真值表(TruthTable)八、同或（EXCLUSIVENOR）3、邏輯功能：相同出1，相異出04、邏輯符號：Y=A⊙B=A’B’+AB輸入端個數(shù)不能擴(kuò)展例：是實現(xiàn)同或功能否？1、列真值表ABCY000100100100011010001010110011112、功能判斷三個數(shù)是否相等。當(dāng)A＝B＝C時，輸出為1，否則為0；但不是同或功能。1、互為反運算2、異或的特殊運算同或與異或的關(guān)系A(chǔ)＋B=(A⊙B)’(A＋B)’=A⊙BA’1的個數(shù)為奇數(shù)時，異或結(jié)果仍為1例：思考題1、1⊕1⊕1⊕1⊕1=？2、3、(A⊕B)⊕C=?A⊕(B⊕C)2.1.2基本公式和若干導(dǎo)出公式一、基本公式0—1律0·A=0，1·A=A0+A=A，1+A=1重疊律A·A=A,A·A’=0A+A=A，A+A’=1交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·(B·C)=(A·B)·CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A·(B+C)=A·B+A·CA+B·C=(A+B)·(A+C)反演律(摩根律)（A·B）’=A’+B’（A+B）’=A’·B’還原律（A’）’=A1’=0，0’=1證明方法：真值表AB001111011011100111110000例2.1.1：（A·B）’=A’+B’的證明二、若干導(dǎo)出公式1、2、3、4、5、6、1、2、3、4、5、6、2.2代入定理及其應(yīng)用定義：將一個邏輯式代入同一變量的位置，等式仍成立。公理無需證明應(yīng)用－摩根律的擴(kuò)展例2.2.2用代入定理證明：A+A（B+C+DE）=A已知A+AB=A2.3邏輯函數(shù)及其描述方法2.3.1用真值表描述邏輯函數(shù)2.3.2用邏輯函數(shù)式描述邏輯函數(shù)2.3.3用邏輯圖描述邏輯函數(shù)2.3.4用波形圖描述邏輯函數(shù)2.3.5用卡諾圖描述邏輯函數(shù)2.3.6用硬件描述語言描述邏輯函數(shù)2.3.7邏輯函數(shù)描述方法間的轉(zhuǎn)換不具有唯一性邏輯函數(shù)（LogicFunction）Y＝F（A、B、C、…）Note：輸入輸出都是二值變量，只有0和1兩種狀態(tài)；若有超過兩個的狀態(tài)，可多設(shè)幾個變量。2.3.1用真值表描述邏輯函數(shù)輸入變量A

BC····輸出Y1Y2

····輸入變量所有可能的取值輸出對應(yīng)的取值2.3.2用邏輯函數(shù)式描述邏輯函數(shù)將邏輯函數(shù)的輸出寫成輸入邏輯變量的代數(shù)運算式。例如：

邏輯函數(shù)式的標(biāo)準(zhǔn)形式：最小項之和一、最小項及其性質(zhì)1、最小項（1）定義：在n變量邏輯函數(shù)中，全體輸入變量的與項（乘積項），稱為最小項。可以是原變量或反變量，但只能出現(xiàn)一次。例：

A、B、C三變量的函數(shù)有哪些最小項？共有多少個？AA’BC是最小項嗎？答：共有個AA’BC中出現(xiàn)兩次A，故不是最小項。（2）編號：使最小項等于1的輸入取值111110101100011010001000m7m6m5m4m3m2m1m0類似：當(dāng)n＝4，有m0到m15共16個最小項（3）性質(zhì)①在輸入變量的任何取值下，必有一個最小項，而且僅有一個最小項的值為1②全體最小項之和為1。③任意兩個最小項的乘積為0。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。兩個最小項只有一個因子不同，例：+AB合并二、邏輯函數(shù)式的最小項之和形式1、又稱標(biāo)準(zhǔn)與－或式例：判斷是否為最小項之和，若不是請轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)與－或式。2、應(yīng)用：為著邏輯化簡，進(jìn)而簡化設(shè)計步驟：①判斷輸入變量個數(shù)②判斷每個與項是否為最小項是不是③給非最小項配項，展開，即得。按從小到大的順序例2.3.3：與-或式2.3.3用邏輯圖描述邏輯函數(shù)用邏輯圖形符號連接起來表示邏輯函數(shù)，得到的連接圖,稱為邏輯圖。2.3.4用波形圖描述邏輯函數(shù)將輸入變量所有可能的取值與對應(yīng)的輸出按時間順序依次排列起來畫成的時間波形，稱為函數(shù)的波形圖。ABY0001101100001111110100001111.最小項的卡諾圖表示法用2n個小方塊陣列圖表示2n個最小項用幾何相鄰表示邏輯相鄰ABC0001111001m0

m1

m3

m2

m4

m5

m7

m6

三變量卡諾圖ABCD000111100001m0m1m3m2m4m5m7m6m12m13m15m14m8m9m11m101110四變量卡諾圖上下左右對稱相鄰＋格雷碼排序m0

m1

m2

m3

A0101兩變量卡諾圖B2.3.5用卡諾圖描述邏輯函數(shù)五變量的卡諾圖例：步驟：②根據(jù)輸入變量畫卡諾圖①將函數(shù)式寫成最小項之和形式1ABCD0001111000011110③對應(yīng)最小項中填入1，沒出現(xiàn)的填011111112.用卡諾圖表示邏輯函數(shù)00000000簡化表示例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)步驟：②根據(jù)表達(dá)式填入1和0①根據(jù)輸入變量畫卡諾圖ABCD000111100001111011111111000101X01X1110XX00000000例2.3.6：步驟：②根據(jù)表達(dá)式填入1和0①根據(jù)輸入變量畫卡諾圖ABCD0001111000011110111111000X10101111XX0010000000002.3.6用硬件描述語言描述邏輯函數(shù)EDA中的描述方式HDL(HardwareDescriptionLanguage

①VHDL(VeryHighSpeedIntegratedCircuit…)

②VerilogHDLHDL及其應(yīng)用可參見第8章2.3.7邏輯函數(shù)描述方法間的轉(zhuǎn)換1、真值表邏輯函數(shù)式2、邏輯圖邏輯函數(shù)式4、真值表波形圖3、函數(shù)式卡諾圖例：從真值表得到邏輯函數(shù)式1、真值表邏輯函數(shù)式ABCY00000010010001111000101111011110步驟：①找出輸出為1的項②每個項對應(yīng)一個與項輸入取值：1—原變量

0—反變量A’BCAB’CABC’③全部與項相加，即得YY＝A’BC＋AB’C＋ABC’例：從邏輯函數(shù)式得到真值表1、真值表邏輯函數(shù)式，求對應(yīng)真值表ABCY000001010011100101110111步驟：①根據(jù)輸入輸出變量數(shù)列空表②將各種取值逐一代入Y式計算，結(jié)果填入表。逐項填1最后填0111111002、邏輯圖邏輯函數(shù)式例2.3.8從邏輯函數(shù)式得到邏輯圖步驟：用邏輯圖形符號代替函數(shù)式中的邏輯運算符號，并按運算優(yōu)先順序連接即可。，畫出對應(yīng)的邏輯圖2、邏輯圖邏輯函數(shù)式例2.3.9從邏輯圖得到邏輯函數(shù)式步驟：從邏輯圖的輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號的邏輯式即可。3、函數(shù)式卡諾圖例2.3.10從卡諾圖得到邏輯函數(shù)式步驟：將卡諾圖中填入1的位置上的那些最小項相加即可。

4、真值表波形圖ABCY00000010010001111000101111011110例2.3.11從真值表得到波形圖將ABC的取值按真值表的上下順序排列即可。

步驟：0000001001000111100010111101111000004、真值表波形圖例2.3.12從波形圖得到真值表將ABC的取值按波形圖的上下順序?qū)?yīng)列表即可。

步驟：ABCY111101101010001111000100100100002.4邏輯函數(shù)的化簡方法化簡目的：使邏輯關(guān)系明了設(shè)計中減少成本并提高可靠性化簡標(biāo)準(zhǔn)：乘積項（與項）最少與項的因子最少化簡方法：公式化簡法卡諾圖化簡法(重點)*奎恩-麥克拉斯化簡法（Q-M法）2.4.1公式化簡法一、并項法二、吸收法三、消項法四、消因子法五、配項法·一、并項法例：二、吸收法例：被吸收被吸收三、消項法例：四、消因子法例：被消去五、配項法例：1五、配項法例：能否判斷為最簡式？總結(jié)公式化簡法無具體步驟同時結(jié)果無法確定是否最簡？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?請注意與普通代數(shù)的區(qū)別！1、原理：相鄰最小項可合并，消去不同因子2、規(guī)則：合并2n個相鄰項2個－消去1個因子4個－消去2個因子2n個－消去n個因子卡諾圈盡量大卡諾圈盡量少最小項可重復(fù)使用2.4.2卡諾圖化簡法化簡規(guī)則（1）相鄰單元的1個數(shù)是2N個，并組成矩形時，可以畫出一個卡諾圈，卡諾圈內(nèi)的最小項可以合并。ABCD0001111000011110ADABCD0001111000011110（2）畫的卡諾圈盡量大，盡量少（但要包含全部1）ABCD00011110000111000000000111111100ABCD00011110000110010110011010111100（3）各最小項可以重復(fù)使用，但不可重復(fù)圈BABCD00011110000101101111111010111010ABCD000111100001010001111100101110103、卡諾圖化簡步驟：例2.4.3：用卡諾圖化簡法化簡下式：步驟：②畫卡諾圈①用卡諾圖表示函數(shù)ABC0001111001111111③寫出每個卡諾圈的公共項，并求和。Note：卡諾圖是唯一的，但畫圈不是唯一的。00例：F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A2.5具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)及其化簡2.5.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項2.5.2具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡2.5.1約束項、任意項和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項無關(guān)項約束項任意項輸入變量的某些取值在工作過程中始終不會出現(xiàn)，我們把這些輸入變量取值下等于1的最小項稱為約束項。在輸入變量的某些取值下，輸出是1、是0均可，是任意的。在這些輸入變量下取值為1的最小項叫做這個函數(shù)的任意項。