課題:1．1．2余弦定理授課類型：新授課【教學目標】1．知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題，3．情態(tài)與價值：培養(yǎng)學生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一?！窘虒W重、難點】重點：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；難點：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用?！窘虒W過程】[創(chuàng)設(shè)情景]C如圖1．1-4，在ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b和C，求邊cbaAcB(圖1．1-4)[探索研究]聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A如圖1．1-5，設(shè)，，，那么，則CB從而(圖1．1-5)同理可證于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？（由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：[理解定理]從而知余弦定理及其推論的基本作用為：①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？（由學生總結(jié)）若ABC中，C=，則，這時由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。【典例分析】例1．在ABC中，已知，，，求b及A⑴解：∵=cos==∴求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：⑵解法一：∵cos ∴解法二：∵sin又∵＞＜∴＜，即＜＜∴評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍?！咀兪接柧?】．在△ABC中，若，則解：例2．在ABC中，已知，，，解三角形（見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解）例3.例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的兩根，。求角C的度數(shù)；求的長；（3）求△ABC的面積。解：(1)（2）因為，是方程的兩根，所以（3）評析：在余弦定理的應(yīng)用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應(yīng)用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點?！咀兪接柧?】在△ABC中，，求。解：，而所以【課堂演練】1．邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（）A．B．C．D．解：設(shè)中間角為，則為所求答案：B2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角或鈍角三角形解：長為6的邊所對角最大，設(shè)它為，則答案：A3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）A. B. C. D.解：設(shè)頂角為C，因為，由余弦定理得：答案：D4.在中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，則角B的值為（）A. B. C.或 D.或解：由得即,又B為△ABC的內(nèi)角，所以B為或答案：D5．在△ABC中，若，則最大角的余弦是（）A．B．C．D．解：，為最大角，答案：C6.在中，，則三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解：由余弦定理可將原等式化為答案：C[課堂小結(jié)]（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。作業(yè)：第11頁[習題]A組第3（1），4（1）題。

§1．1．2余弦定理【課前學案】【預(yù)習達標】在ΔABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c，1.在ΔABC中過A做AD垂直BC于D，則AD=b,DC=b,BD=a.由勾股定理得c2===；同理得a2=；b2=。2．cosA=；cosB=；cosC=?！镜淅馕觥吭谌切蜛BC中，已知a=3,b=2,c=,求此三角形的其他邊、角的大小及其面積（精確到）例2三角形ABC的頂點為A（6，5），B（-2，8）和C（4，1），求∠A（精確到）例3已知的周長為，且．（=1\*ROMANI）求邊的長；（=2\*ROMANII）若的面積為，求角的度數(shù)．【雙基達標】1.已知a,b,c是三邊之長，若滿足等式(a＋b－c)(a＋b+c)=ab,則角C大小為（）A.60oB.90oC.120o2．已知的三邊分別為2，3，4，則此三角形是（）A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形3．已知，求證：（1）如果=，則∠C為直角；（2）如果>，則∠C為銳角；（3）如果<，則∠C為鈍角.4．已知a:b:c=3:4:5,試判斷三角形的形狀。5．在△ABC中，已知，求△ABC的面積6．在,求（1）（2）若點【典例解析】例1（見教材）例2（見教材）例3解：（=1\*ROMANI）由題意及正弦定理，得，，兩式相減，得．（=2\*ROMANII）由的面積，得由余弦定理，得 ，所以．【課堂演練】1．邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（）A．B．C．D．2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角或鈍角三角形3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）A. B. C. D.4.在中，角A、B、C的對邊分別為、、，若，則角B的值為（）A. B. C.或 D.或5．在△ABC中，若，則最大角的余弦是（）A．B．C．D．6.在中，，則三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形

【課后訓練題】1．在△ABC中，若，則其面積等于（）A．B．C．D．2.已知銳角三角形的三邊長分別為2、3、，則的取值范圍是．3．在△ABC中，若，則4．若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段能組成（）三角形。A.銳角 B.鈍角C.直角D.等腰5.△ABC中，若a4+b4+c4=2(a2+b2)c2則∠C的度數(shù)（）A、600B、450或1350C、1200D、3006.設(shè)a,a+1,a+2是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是()A.B.C.<a<67.△ABC中，a,b,c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，若<0,則△ABC（）8.在△ABC中，a=1,B=450,,則△ABC的外接圓的直徑是.9.在△ABC中,,則角A=.三．解答題10.在四邊形ABCD中，四個角A、B、C、D的度數(shù)的比為3:7:4:10，求AB的長。11.在△ABC中，bcosA＝acosB，試判斷三角形的形狀.12.在中，角所對的邊分別為，且滿足，．（I）求的面積；（II）若，求的值．

課題:§1．1．2余弦定理應(yīng)用授課類型：習題課【教學目標】掌握余弦定理的推導(dǎo)過程，熟悉余弦定理的變形用法。較熟練應(yīng)用余弦定理及其變式，會解三角形，判斷三角形的形狀?！窘虒W重、難點】重點：熟練應(yīng)用余弦定理。難點：解三角形，判斷三角形的形狀?！窘虒W過程】【知識梳理】1．余弦定理：(1)形式一：，，形式二：，，，（角到邊的轉(zhuǎn)換）2.解決以下兩類問題：1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）3.三角形ABC中4.解決以下兩類問題：1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）2）、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）【典例應(yīng)用】題型一根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求角例1．已知△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝(eq\r(3)＋1)∶(eq\r(3)－1)∶eq\r(10)，求最大角.解：∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝(eq\r(3)+1)∶(eq\r(3)－1)∶eq\r(10)設(shè)a＝(eq\r(3)＋1)k，b＝(eq\r(3)－1)k，c＝eq\r(10)k(k＞0)則最大角為＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f((eq\r(3)＋1)2＋(eq\r(3)－1)2－eq\r(10)2,2×(eq\r(3)＋1)(eq\r(3)－1))＝－eq\f(1,2)∴C＝120°.評析：在將已知條件中角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系時，運用了正弦定理的變形式：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，這一轉(zhuǎn)化技巧，應(yīng)熟練掌握.在三角形中，大邊對大角，所以角C最大。[變式訓練1]在△ABC中，若則()A．B．C．D．解：答案：B題型二：題型二已知三角形的兩邊及夾角解三角形例2.在△ABC中，=，=，且，是方程的兩根，。求角C的度數(shù)；求的長；（3）求△ABC的面積。評析：在余弦定理的應(yīng)用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應(yīng)用。方程的根往往不必直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點。[變式訓練]1在△ABC中，2.鈍角△ABC的三邊長為連續(xù)的自然數(shù)，求三邊的長。題型三：判斷三角形的形狀例3.在中，若，試判斷的形狀.解：方法一：由正弦定理和已知條件得：，∵，∴，即，∵B、C為的內(nèi)角，∴，故為直角三角形.方法二：原等式變形為：，即：，由余弦定理得：故為直角三角形.評述：判斷三角形的形狀，一般是從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)正弦定理、余弦定理進行邊角變換，全化為邊的關(guān)系或全化為角的關(guān)系，導(dǎo)出邊或角的某種特殊關(guān)系，然后利用平面幾何知識即可判定三角形的形狀。[變式訓練2]1.在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，則△ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.答案：C2.在中，，則三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形解：由余弦定理可將原等式化為答案：C[典例訓練]1．在△ABC中，若，則等于（）A．B．C．D．2．若為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）A．B．C．D．3．在△ABC中，角均為銳角，且則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是，這條高與底邊的夾角為，則底邊長為（）A．B．C．D．5．在△中，若，則等于（）A．B．C．D．6．邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（）A．B．C．D．7.在△ABC中，若則△ABC的形狀是什么？8．在△ABC中，求證：9．在△ABC中，設(shè)求的值。10．已知三角形的兩邊和為4，其夾角60°，求三角形的周長最小值。[課堂小節(jié)]：熟練應(yīng)用余弦定理解三角形，判斷三角形的形狀。[課下作業(yè)]：[典例訓練]部分的5、7、10

:§1．1．2余弦定理應(yīng)用[課前學案][課前回顧]1.∠A=60°，∠B=30°，a=3,則b=,c=,∠C=2.∠A=45°，∠B=75°，b=8,則a=,c=,∠C=.3.在ABC中，sin2A+sin2B=sin2C,則ABC是。4．在ABC中，acosA=bcosB,則ABC是。5.在ABC中，s,則ABC是。6.在ABC中，a2+b2=c2,則ABC是三角形。7.在ABC中，a2+b2>c2,a2+c2>b2c2+b2>a2則ABC是三角形。8.在ABC中，a2+b2<c2,則ABC是三角形。9.在ABC中，a∶b∶c=5∶12∶13則ABC是三角形。10.在ABC中，,則∠A=。11．a(chǎn)=4,b=3,∠C=60°,則c=.=2,b=4,c=3,則∠B=。13．在ABC中，b=4,c=3,BC邊上的中線,則∠A=，a=,S＝。[達標演練]1．在中，，，，則此三角形的最大邊的長為__________．2．在中，，，，則_________，________．3．在中，已知，，，則___________．4．在中，，，，則的面積是（）A．B．C．D．5．在中，若，則的值為（）A．B．C．D．6．在中，若，則這個三角形中角的值是（）A．或B．或C．或D．或7．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．在中，角、、所對的邊分別為、、，則的值為（）A．B．C． D．9已知兩線段，，若以、為邊作三角形，則邊所對的角的取值范圍（）A． B．C． D．10．在中，，若此三角形最大邊與最小邊之比為，則最大內(nèi)角（）A．B．C．D．11．在中，角、的對邊分別為、，且，則的取值范圍是（）A． B．C．D．12．（1）在中，已知，，，求及、的值；（2）在中，已知，，，解此三角形．13.(文科做)（07山東文17）在中，角的對邊分別為．（1）求；（2）若，且，求．

:§1．1．2余弦定理應(yīng)用