理論力學(xué)(I)Saturday,February4,2023第二部分運動學(xué)第八章剛體的平面運動1行星齒輪機(jī)構(gòu)行星輪作什么運動？2§8-1剛體平面運動的概述和運動分解§8-2求平面圖形內(nèi)各點速度的方法§8-3求平面圖形內(nèi)各點加速度的方法第八章剛體的平面運動3

一、平面運動的特征§8-1剛體平面運動的概述和運動分解

在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變，或者說剛體上任一點始終在平行于某一固定平面的平面內(nèi)運動。4沿直線軌道滾動的車輪56二、平面運動的簡化剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S

在其自身平面內(nèi)的運動。三、平面運動方程線段AB的位置如何確定？可見，平面圖形S的位置完全由這三個獨立的參數(shù)決定。7若平面圖形S上A點不動，若平面圖形S上

角不變，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動。則剛體作平面平移。8

四、平面運動的分解9車輪對于定系Oxy的平面運動（絕對運動）

動系O'x'

y'（車廂）相對定系的平移（牽連運動）車輪相對動系O'x'

y'（車廂）的轉(zhuǎn)動（相對運動）+=平移坐標(biāo)系O'x'y'

基點三種運動？？10車輪的平面運動隨基點的平移繞基點的轉(zhuǎn)動+=11一般的平面運動：結(jié)論：剛體的平面運動可分解為隨基點的平移和繞基點

的轉(zhuǎn)動。基點可任選基點平移坐標(biāo)系O'x'y'

12平面圖形繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點的選取無關(guān)，即同一瞬時平面圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的、都相同。

平面圖形隨基點平移的運動規(guī)律與基點的選取有關(guān)。13

§8-2求平面圖形內(nèi)各點速度的方法一、速度合成法（基點法）動點：B點動系：Ax'y'

定系：地面應(yīng)用點的速度合成定理

取A點為基點,并固結(jié)動系。三種運動？大小?方向?14即：平面圖形上任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。試一試：畫出AB上各點的速度分量。——基點法15二、速度投影法沿AB投影：即：平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影（大小和正負(fù)號）相等。——速度投影定理16

OA作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊B作平移，AB作平面運動。[例8-1]曲柄—滑塊機(jī)構(gòu)解：已知:曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動。，。求:當(dāng)=60o時，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。（1）基點法研究AB，以A為基點，則大小方向r?

OA

AB水平AB

AB?17

研究連桿AB：能否求出AB?（2）速度投影法由速度投影定理，有轉(zhuǎn)向？?=v滑塊B18如何解釋這種現(xiàn)象？

離車輪與地面的接觸處近的鋼絲看得較清楚，而離得遠(yuǎn)的鋼絲則模糊不清，甚至看不見。19

若選取速度為零的點作為基點，則求解速度問題的計算會大大簡化，同時也能求出圖形的角速度。

基點法

速度投影法優(yōu)點：既能求速度，也能求

。

缺點:

計算比較繁瑣。優(yōu)點：計算簡便，快捷。缺點:

無法直接求角速度

。A為基點20

1.速度瞬心的概念

只要

，任一瞬時平面圖形上都唯一存在一個速度等于零的點。證明:（1）過點A作直線。選A為基點，則上任一點M的速度因此，在AL上必唯一存在一點P

，其速度為零。

定理

三、速度瞬心法21

某一瞬時平面圖形上速度等于零的點，稱為圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心。唯一性：

瞬時性：

在某一瞬時，圖形只有一個速度瞬心。在不同瞬時，圖形具有不同的速度瞬心。證畢！（2）過點A的其它直線上的點

，因和不共線，故速度均不為零。

定義

22

2.平面圖形上各點的速度方向：選取速度瞬心P為基點，則平面圖形上任一點B的速度

由此可見，只要已知平面圖形在某一瞬時的速度瞬心位置和角速度，就可求出該瞬時圖形上各點的速度。大小：BP，指向與轉(zhuǎn)向相一致。形繞速度瞬心轉(zhuǎn)動的速度。等于該點隨圖——速度瞬心法23過速度瞬心P的任一直線上各點的速度分布有何特點？就速度分布而言，平面圖形的運動可視為繞該瞬時速度瞬心的轉(zhuǎn)動。與定軸轉(zhuǎn)動有何區(qū)別？[思考]24[例8-2]用速度瞬心法解例8-1已知:曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動。，。求:當(dāng)=60o時，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。?連桿AB的速度瞬心?25

3.速度瞬心位置的確定

①

已知平面圖形上一點的速度和圖形角速度。速度瞬心P：

過點A作的垂線，并取。速度瞬心P：

過A、B兩點分別作速度、的垂線，兩垂線之交點。

②

已知平面圖形上任意兩點A、B的速度方位。26[思考]若A、B兩點的速度指向異側(cè)，則點P

還是圖形的速度瞬心嗎？為什么？27

③

已知平面圖形沿固定面作無滑動的滾動（純滾動）。速度瞬心P：

平面圖形上與固定面的接觸點。28行星齒輪機(jī)構(gòu)29

過A、B兩點分別作速度、的垂線，兩垂線之交點即為連桿AB的速度瞬心P。

曲柄OA作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊B作平移，連桿AB作平面運動。[例8-2]用速度瞬心法解例8-1解：已知:曲柄OA以勻角速度轉(zhuǎn)動。，。求:當(dāng)=60o時，滑塊B的速度及連桿AB的角速度。研究連桿AB：30（1）速度瞬心可以位于平面圖形之上，也可以位于平面圖形邊界之外（延長部分上）。[討論]（）=v滑塊B31研究連桿AB：（2）當(dāng)=90o時，滑塊B的速度及連桿AB的角速度為多少？P？

該瞬時，連桿AB的速度瞬心P在無窮遠(yuǎn)處，。選A為基點，則連桿AB上任一點M的速度該瞬時AB上各點的速度相等。可見，該瞬時圖形上各點的速度分布如同圖形作平移時的一樣。各點加速度是否相等?故圖形在該瞬時的運動稱為瞬時平移。32確定速度瞬心第2種方法之特例：特例1

兩垂線平行不共線。速度瞬心P

在無窮遠(yuǎn)處，

。特例2

兩垂線平行且共線。P?若兩點的速度大小相等，則速度瞬心又在哪里？33[例8-3]沿直線軌道作純滾動的車輪求:輪緣上點A、B、C、D的速度。已知:車輪半徑為R，輪心O點的速度為。解：車輪作平面運動。車輪與軌道的接觸點A為速度瞬心。車輪的角速度為（）（1）更加體會到速度瞬心法的計算簡便；（2）直觀了解了車輪上各點的速度分布。各點的速度方向如圖所示。通過此例34現(xiàn)在，你能解釋這種現(xiàn)象了嗎？

離車輪與地面的接觸處近的鋼絲看得較清楚，而離得遠(yuǎn)的鋼絲則模糊不清，甚至看不見。35[思考]如果車輪在地面上既滾又滑，則接觸點

P

還是車輪的速度瞬心嗎？為什么?36？37取A點為基點固結(jié)平移坐標(biāo)系，一、基點法

§8-3求平面圖形內(nèi)各點加速度的方法三種運動？選B點為動點，應(yīng)用牽連運動為平移時點的加速度合成定理已知:平面圖形S上點A的加速度和圖形的,（某一瞬時）。求:該瞬時圖形上任一點B的加速度。38其中：方向沿AB，指向A點。方向AB，指向與一致；即:平面圖形上任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。試一試：畫出AB上各點的加速度分量。39二、加速度投影法沿AB投影：若某瞬時

=0（瞬時平移）：40已知：車輪半徑為R，輪心O點的速度為，加速度為。用基點法求解大小方向？？OPPO因此，應(yīng)先求出車輪的角速度

和角加速度

。求：車輪與軌道接觸點P的加速度。分析：？？以輪心O為基點，則[例8-4]沿直線軌道作純滾動的車輪41解：車輪作平面運動，P為速度瞬心。（）因上式在任何瞬時都成立，且輪心O作直線運動，故有（）（1）求車輪、（2）求接觸點P的加速度以輪心O為基點，則42作出加速度矢量圖如圖示。且方向相反其中：大小方向？？OPPO43結(jié)論：當(dāng)車輪沿固定直線軌道純滾動時，速度瞬心P處加速度并不等于零，且加速度指向輪心。44思考：若，分析輪緣上各點的加速度分布。輪心O為加速度瞬心45

思考：加速度瞬心存在

？加速度瞬心法

？加速度瞬心存在，但不如速度瞬心那樣容易確定，故雖然加速度瞬心法也存在，但一般不用。一般情況下，加速度瞬心與速度瞬心不在同一個點。因此，求平面圖形上各點的加速度一般采用基點法。46已知：滾輪半徑R=15cm，OA的

轉(zhuǎn)速n=60r/min，OA=R。

求：當(dāng)=60o時（OAAB），滾輪的B、B。要想求出滾輪的B、B，先要求出vB

、aB。解：OA桿作定軸轉(zhuǎn)動，AB桿和輪B作平面運動。P１為其速度瞬心。[例8-5]

曲柄滾輪（純滾動）機(jī)構(gòu)分析：（1）研究AB桿先用速度瞬心法求vBP147P1（）以A為基點，則B點的加速度為再用基點法求aB48大小方向？水平OA2AO？ABw

AB2ABBA并將上式向BA投影，得作出加速度矢量圖如圖所示，其中：49P2為其速度瞬心）（）（（2）研究輪BP250剛體平面運動習(xí)題課3.剛體平面運動的分解剛體的平面運動可以分解為隨基點的平移和繞基點的轉(zhuǎn)動。隨基點平移的規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點的選擇無關(guān)。

1.剛體平面運動的定義剛體運動時其上任一點到某固定平面的距離保持不變。2.剛體平面運動的簡化

剛體平面運動可簡化為平面圖形在自身平面內(nèi)的運動。剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面平移是剛體平面運動的特例。51

4.速度瞬心

（1）任一瞬時，平面圖形或其擴(kuò)展部分上速度為零的點；（2）速度瞬心具有唯一性和瞬時性；（3）當(dāng)=0時，速度瞬心位于無窮遠(yuǎn)處，各點速度相同，剛體作瞬時平移（瞬時平移與平移不同）。5.求平面圖形上任一點速度的方法（1）基點法：（2）速度投影法：（3）速度瞬心法：A為基點P為速度瞬心方向BP，指向與轉(zhuǎn)向相一致。52

6.求平面圖形上任一點加速度的方法（1）基點法：A為基點（2）加速度投影法：只有當(dāng)=0即瞬時平移時才可用

7.平面運動方法與合成運動方法的應(yīng)用條件平面運動方法用于研究同一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關(guān)系以及任意一點的速度、加速度與圖形的角速度、角加速度之間的關(guān)系。點的合成運動方法常用來確定兩個物體相重合點處的速度、加速度之間的關(guān)系。53已知：R、

r、o

，輪A作純滾動。求：。解：輪O不動，桿OA作定軸轉(zhuǎn)動，輪A作平面運動。）（[例1]

行星齒輪機(jī)構(gòu)P為速度瞬心。研究輪A：用速度瞬心法54已知楔塊：

=30o，v=12cm/s；盤：r=4cm，與楔塊間無滑動。求：圓盤、軸O速度及B點速度。解：桿OC、楔塊M均作平移，圓盤作平面運動。）（[例2]

平面機(jī)構(gòu)研究圓盤：由A、O兩點的速度方向可確定其速度瞬心為P

。用速度瞬心法55）（56每個作平面運動的剛體，在每一瞬時都有自己的速度瞬心和角速度。注意：比較例1和例2可以看出，不能認(rèn)為圓輪只滾不滑時，接觸點就是速度瞬心。只有在接觸面是固定面時，則圓輪上接觸點才是速度瞬心。57解：OA、O1D均作定軸轉(zhuǎn)動，AB作平面運動。圖示位置AB作瞬時平移，故有[例4]

導(dǎo)槽滑塊機(jī)構(gòu)（1）研究AB桿求：該瞬時桿O1D的角速度。已知：曲柄OA=r

，勻角速度轉(zhuǎn)動，連桿AB的中點C處連一滑塊C，可沿導(dǎo)槽O1D滑動，AB=l。圖示瞬時O、A、O1三點在同一水平線上，且OAAB，=30o。

58選取動點：AB桿的C動系：O1D桿定系：基座由大小方向??O1D沿O1D作出速度平行四邊形如圖示。r（2）用點的合成運動方法求O1D桿上與滑塊C相重合點的速度59

這是一個需要聯(lián)合應(yīng)用點的合成運動和剛體平面運動理論求解的綜合性問題。

）（若要求該瞬時桿O1D的角加速度，則又如何求？思考：60已知：圖示瞬時，O點在AB中點，=60o，AB=20cm，vA=16cm/s，BCAB，O、C在同一水平線上。求：該瞬時AB、BC兩桿的角速度及滑塊C的速度。解：輪A、桿AB和桿BC均作平面運動，套筒O作定軸轉(zhuǎn)動，滑塊C平移。（1）應(yīng)用點的合成運動方