第五章線性系統的頻域分析法5-1引言控制系統中的信號可以表示為不同頻率正弦信號的合成。控制系統的頻率特性反映正弦信號作用下系統響應的性能。應用頻率特性研究線性系統的經典方法稱為頻域分析法。頻域分析法具有以下特點：

1）控制系統及其元部件的頻率特性可以運用分析法和實驗方法獲得，并可用多種形式的曲線表示，因而系統分析和控制器設計可以應用圖解法進行。2）頻率特性物理意義明確。對于一階系統和二階系統，頻域性能指標和時域性能指標有確定的對應關系；對于高階系統，可建立近似的對應關系。3）控制系統的頻域設計可以兼顧動態響應和噪聲抑制兩方面的要求。4）頻域分析法不僅適用于線性定常系統，還可以推廣應用于某些非線性控制系統。本章介紹：1）頻率特性的基本概念；

2）頻率特性曲線的繪制方法；3）研究頻率域穩定判據；4）頻域性能指標的估算?？刂葡到y的頻域綜合問題，將在第六章介紹。5-2頻率特性1．頻率特性的基本概念首先以圖5-1所示的RC濾波網絡為例，建立頻率特性的基本概念。設電容C的初始電壓為圖5-1RC濾波網絡

（5-1）

取輸入信號為正弦信號：

記錄網絡的輸入、輸出信號。當輸出響應

u0呈穩態時，記錄曲線如圖5-2所示。圖5-2RC網絡的輸入和穩態輸出信號由圖5-2可見，RC網絡的穩態輸出信號仍然為正弦信號，頻率與輸入信號的頻率相同，幅值較輸入信號有一定衰減，其相位存在一定延遲。RC網絡的輸入和輸出的關系可由以下微分方程描述：

（5-2）

式中，T=RC，為時間常數。取拉氏變換并代入初始條件uo(0)=uo0，得：（5-3）

再由拉氏反變換求得：

（5-4）

式中第一項，由于T

>0，將隨時間增大而趨于零，為輸出的瞬態分量；而第二項正弦信號為輸出的的穩態分量：（5-5）

在式(5-5)中，分別反映RC網絡在正弦信號作用下，輸出穩態分量的幅值和相位的變化，稱為幅值比和相位差，

且皆為輸入正弦信號頻率的函數。注意到RC網絡的傳遞函數為：

（5-6）

取s

=j，則有：（5-7）

比較式（5-5）和式（5-7）可知，A()

和

()

分別為

G(

j)

的幅值G(

j)和相角

G(j)。這一結論非常重要，反映了A()

和

()與系統數學模型的本質關系，具有普遍性。

[上述結論證明]：設有穩定的線性定常系統，其傳遞函數為：（5-8）

系統輸入為諧波信號：（5-9）

（5-10）

由于系統穩定，利用留數定理，輸出響應穩態分量的拉氏變換為：（5-12）

（5-11）

設：因為

G(s)的分子和分母多項式為實系數，故式（5-12）中的a()

和

c()

為關于

的偶次冪實系數多項式，b()

和

d()

為關于

的奇次冪實系數多項式，即

a()

和

c()

為

的偶函數，b()和

d()

為

的奇函數。（注：需先將R(s)用(5-10)式代入，并將分子、分母相同項約去）因而，（5-15）

再由式（5-11）及歐拉公式得：（5-16）

鑒于：（5-13）

（5-14）

上式與式（5-5）相比較，得：（5-17）

式(5-6)表明，對于穩定的線性定常系統，由諧波輸入產生的輸出穩態分量仍然是與輸入同頻率的諧波函數，而幅值和相位的變化是頻率

的函數，且與系統數學模型相關。為此，定義諧波輸入下，輸出響應中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比

A()

為幅頻特性，相位之差

()為相頻特性，并稱其指數表達形式：（5-18）

為系統的頻率特性。上述頻率特性的定義既可以適用于穩定系統，也可適用于不穩定系統。穩定系統的頻率特性可以用實驗方法確定，即在系統的輸入端施加不同頻率的正弦信號，然后測量系統輸出的穩態響應，再根據幅值比和相位差作出系統的頻率特性曲線。頻率特性也是系統數學模型的一種表達形式。RC濾波網絡的頻率特性曲線如圖5-3所示。圖5-3RC網絡的幅頻特性和相頻特性曲線對于不穩定系統，輸出響應穩態分量中含有由系統傳遞函數的不穩定極點產生的呈發散或振蕩的分量，所以不穩定系統的頻率特性不能通過實驗方法確定。線性定常系統的傳遞函數為零初始條件下，輸出和輸入的拉氏變換之比：

上式的反變換式為：

式中位于G(s)的收斂域。若系統穩定，則可以取為零。如果r(t)的傅氏變換存在，可令

s=j

因而（5-19）

由此可知，穩定系統的頻率特性等于輸出和輸入的傅氏變換之比，而這正是頻率特性的物理意義。頻率特性與微分方程和傳遞函數一樣，也表征了系統的運動規律，成為系統頻域分析的理論依據。系統三種描述方法的關系可用圖5-4說明。圖5-4頻率特性、傳遞函數和微分方程三種系統描述之間的關系2．頻率特性的幾何表示法在工程分析和設計中，通常把線性系統的頻率特性畫成曲線，再運用圖解法進行研究。常用的頻率特性曲線有以下三種：它又簡稱為幅相曲線或極坐標圖。以橫軸為實軸、縱軸為虛軸，構成復數平面。對于任一給定的頻率，頻率特性值為復數。若將頻率特性表示為實數和虛數的形式，則實部為實軸坐標值，虛部為虛軸坐標值。（1）幅相頻率特性曲線若將頻率特性表示為復指數形式，則為復平面上的向量，而向量的長度為頻率特性的幅值，向量與實軸正方向的夾角等于頻率特性的相位。由于幅頻特性為的偶數，相頻特性為

的奇函數，則從零變化至和從零變化至的幅相曲線關于實軸對稱，因此一般只繪制從零變化至的幅相曲線。在系統幅相曲線中，頻率為參變量，一般用小箭頭表示增大時幅相曲線的變化方向。對于RC網絡，故有：表明

RC

網絡的幅相曲線是以

(1/2,j0)

為圓心，半徑為1/2的半圓，如圖5-5所示。

圖5-5RC網絡的幅相曲線（2）對數頻率特性曲線它又稱為伯德曲線或伯德圖。對數頻率特性曲線由對數幅頻曲線和對數相頻曲線組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。對數頻率特性曲線的橫坐標按lg分度，單位為弧度/秒(rad/s)，對數幅頻曲線的縱坐標按：（5-20）

線性分度，單位是分貝(dB)。對數相頻曲線的縱坐標按

()線性分度，單位為度

()。由此構成的坐標系稱為半對數坐標系。

對數分度和線性分度如圖5-6所示，在線性分度中，當變量增大或減小1時，坐標間距離變化一個單位長度；而在對數分度中，當變量增大或減小10倍，稱為十倍頻程

(dec)

，坐標間距離變化一個單位長度。設對數分度中的單位長度為

L,

的某個十倍頻程的左端點為0，則坐標點相對于左端點的距離為表5-l所示值乘以L。圖5-6對數分度與線性分度表5–l十倍頻程中的對數分度

對數頻率特性采用的對數分度實現了橫坐標的非線性壓縮，便于在較大頻率范圍反映頻率特性的變化情況。對數幅頻特性采用20lgA()則將幅值的乘除運算化為加減運算，可以簡化曲線的繪制過程。

RC網絡中取T

=0.5，其對數頻率特性曲線如圖5-7所示。圖5-7的對數頻率特性曲線(3)對數幅相曲線

對數幅相曲線又稱尼科爾斯曲線或尼科爾斯圖。其特點是縱坐標為

L()，單位為分貝

(dB)；橫坐標為

()

，單位為度

()

，均為線性分度，頻率為參變量。圖5-8為RC網絡

T=0.5時的尼科爾斯曲線。

圖5-8的對數幅相曲線在尼科爾斯曲線對應的坐標系中，可以根據系統開環和閉環的關系，繪制關于閉環幅頻特性的等M

簇線和閉環相頻特性的等簇線，因而根據頻域指標要求確定校正網絡，簡化系統的設計過程。5-3開環系統的典型環節分解和開環頻率特性曲線的繪制

設線性定常系統結構如圖5-9所示，其開環傳遞函數為G(s)H(s)，為了繪制系統開環頻率特性曲線，本節先研究開環系統的典型環節及相應的頻率特性。1.典型環節由于開環傳遞函數的分子和分母多項式的系數皆為實數，因此系統開環零極點或為實數或為共軛復數。根據開環零極點可將分子和分母多項式分解成因式，再將因式分類，即得典型環節。典型環節可分為兩大類。一類為最小相位環節；另一類為非最小相位環節。5）二階微分環節；1）比例環節K（K>0）；

2）慣性環節1/(Ts+1)（T>0）；3）一階微分環節Ts+1（T>0）；4）振蕩環節；6）積分環節1/s；

7）微分環節s；最小相位環節有下列七種：4）振蕩環節；非最小相位環節共有五種：

1）比例環節K（K<0）；2）慣性環節1/(Ts+1)（T>0）；

3）一階微分環節Ts+1（T>0）；5）二階微分環節；圖5-9典型系統結構圖

除了比例環節外，非最小相位環節和與之相對應的最小相位環節的區別在于開環零極點的位置。非最小相位2)~5)環節對應于s右半平面的開環零點或極點；而最小相位2)~5)環節對應

s

左半平面的開環零點或極點。

開環傳遞函數的典型環節分解可將開環系統表示為若干個典型環節的串聯形式：（5-21）

設典型環節的頻率特性為：（5-22）

（5-23）

則系統開環頻率特性：系統開環幅頻特性和開環相頻特性：（5-24）

系統開環對數頻率特性：（5-25）

式（5-24）和式（5-25）表明，系統開環頻率特性表現為系統的諸典型環節頻率特性的合成；而系統開環對數頻率特性，則表現為諸典型環節對數頻率特性疊加這一更為簡單的形式。因此本節研究典型環節頻率特性的特點。在此基礎上，介紹開環頻率特性曲線的繪制方法。2.典型環節的頻率特性由典型環節的傳遞函數和頻率特性的定義，取(0,)可以繪制典型環節的幅相曲線和對數頻率特性曲線，分別如圖5-10和圖5-11所示。圖5-10典型環節幅相曲線圖5-11典型環節對數頻率特性曲線為了加深對典型環節頻率特性的理解，以下介紹典型環節頻率特性曲線的若干重要特點：（1）非最小相位環節和對應的最小相位環節

對于每一種非最小相位的典型環節，都有一種最小相位環節與之對應，其特點是典型環節中的某個參數的符號相反。最小相位的比例環節G(s)=K

(K

>0)，簡稱為比例環節，其幅頻和相頻特性為：

（5-26）

而非最小相位的比例環節G(s)=

K

(K

>0)，其幅頻和相頻特性為：（5-27）

最小相位的慣性環節后，其幅頻和相頻特性為：

（5-28）

而非最小相位的慣性環節，又稱為不穩定慣性環節，，其幅頻和相頻特性為：（5-29）

由式

(5-28)

和式

(5-29)

可知，最小相位慣性環節和非最小相位的慣性環節，其幅頻特性相同，相頻特性符號相反，幅相曲線關于實軸對稱；對數幅頻曲線相同，對數相頻曲線關于0

線對稱。上述特點對于振蕩環節和非最小相位（或不穩定）振蕩環節、一階微分環節和非最小相位一階微分環節、二階微分環節和非最小相位二階微分環節均適用。（5-30）

設，則，（5-31）

（2）傳遞函數互為倒數的典型環節

最小相位典型環節中，積分環節和微分環節、慣性環節和一階微分環節、振蕩環節和二階微分環節的傳遞函數互為倒數，即有下述關系成立：

由此可知，傳遞函數互為倒數的典型環節，對數幅頻曲線關于

0dB

線對稱，對數相頻曲線關于0線對稱。

在非最小相位環節中，同樣存在傳遞函數互為倒數的典型環節，其對數頻率特性曲線的對稱性亦成立。（3）振蕩環節和二階微分環節振蕩環節的傳遞函數為：

（5-32）

或：

振蕩環節的頻率特性：（5-33）

（5-34）

顯然，(0)=0,()=180，故相頻特性曲線從

0單調減至180。當

=n時，(n)=

90，由式（5-33）得A(n)=1/2，表明振蕩環節與虛軸的交點為j1/2。由式（5-33）可得A(0)=1，A()=0。為分析

A()

的變化，我們求A()的極值。令：（5-35）

得諧振頻率：（5-36）

將r代入式（5-33），求得諧振峰值：

（5-37）

{因為時，Mr=1，當時，

（5-38）

可見r，Mr均為阻尼比的減函數。當，且(0,r)

時，A()單調增；(r,)時，A()

單調減。而當時，A()單調減。不同阻尼比

情況下，振蕩環節的幅相曲線和對數頻率特性曲線分別如圖

5-12

和圖

5-13

所示，其中u=/n。}

圖5-12振蕩環節的幅相曲線圖5-13振蕩環節的對數頻率曲線

二階微分環節的傳遞函數為振蕩環節傳遞函數的倒數，按對稱性可得二階微分環節的對數頻率曲線，并有（5-39）當阻尼比時，A()從1單調增至；當阻尼比，且(0,r)時，A()從1單調減至：(r,)時，A()單調增。二階微分環節的幅相曲線如圖5-14所示。圖5-14二階微分環節的幅相曲線非最小相位的二階微分環節和不穩定振蕩環節的頻率特性曲線可按前述(1)中結論以及二階微分環節和振蕩環節的頻率特性曲線加以確定。（4）對數幅頻漸近特性曲線在控制工程中，為簡化慣性環節、一階微分環節、振蕩環節和二階微分環節的對數幅頻曲線的作圖，常用低頻和高頻漸近線近似表示對數幅頻曲線，稱之為對數幅頻漸近特性曲線。（5-40）（5-41）當

>>1/T時，2T2>>1，有：當

1/T

時，2T2

0，有：（5-42）（a)對于慣性環節，對數幅頻特性為：因此，慣性環節的對數幅頻漸近特性為：（5-43）慣性環節的對數幅頻漸近特性曲線如圖

5-15

所示，低頻部分是零分貝線，高頻部分是斜率為

20dB/dec的直線，兩條直線交于

=1/T

處，稱頻率1/T為慣性環節的交接頻率。用漸近特性近似表示對數幅頻特性存在如下誤差：（5-44）圖5-15慣性環節的對數幅頻漸近特性曲線誤差曲線如圖5-16所示。在交接頻率處誤差最大，約為3dB。根據誤差曲線，可修正漸近特性曲線獲得準確曲線。圖5-16慣性環節的誤差曲線（1）由于非最小相位慣性環節的對數幅頻特性與慣性環節相同，故其對數幅頻漸近特性亦相同。（2）根據一階微分環節和非最小相位一階微分環節的對數幅頻特性相等，且與慣性環節對數幅頻特性互為倒數的特點，可知一階微分環節和非最小相位一階微分環節與慣性環節的對數幅頻漸近特性曲線以

0dB

線互為鏡象。

（5-46）

當n時，L()0，低頻漸近線為

0dB。而當n時，L()=

40lg/n，高頻漸近線為過(n，0)點，斜率為40dB/dec的直線。振蕩環節的交接頻率為n，對數幅頻漸近特性為：（b）振蕩環節的對數幅頻特性為：（5-45）由于La()

與阻尼比

無關，用漸近線近似表示對數幅頻曲線存在誤差，誤差的大小不僅和

有關，而且也和

有關，誤差曲線

L(,)為一曲線簇，如圖5-17所示。根據誤差曲線可以修正漸近特性曲線而獲得準確曲線。根據對數幅頻特性定義還可知：（1）非最小相位振蕩環節與振蕩環節的對數幅頻漸近特性曲線相同；（2）二階微分環節和非最小相位二階微分環節與振蕩環節的對數幅頻漸近特性曲線關于0dB線對稱。圖5-17振蕩環節的誤差曲線這里還應指出，半對數坐標系中的直線方程為：（5-47）其中[1，La(1)]和[2，La(2)]為直線上的兩點，k(dB/dec)為直線斜率。3．開環幅相曲線繪制

根據系統開環頻率特性的表達式可以通過取點、計算和作圖繪制系統開環幅相曲線。這里著重介紹結合工程需要，繪制概略開環幅相曲線的方法。概略開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素：1）開環幅相曲線的起點(=

0+)和終點(=)2）開環幅相曲線與實軸的交點設=

x時，G(jx)H(jx)的虛部為零：

（5-48）或：（5-49）稱

x

為穿越頻率，而開環頻率特性曲線與實軸交點的坐標值為：

（5-50）3）開環幅相曲線的變化范圍（象限、單調性）。

開環系統典型環節分解和典型環節幅相曲線的特點是繪制概略開環幅相曲線的基礎，下面結合具體的系統加以介紹。[例5-1]某0型單位反饋系統：試概略繪制系統開環幅相曲線。[解]由于慣性環節的角度變化為0~

90，故該系統開環幅相曲線起點：A(0)=K，(0)=0終點：A()=0，()=2(90)=180系統開環頻率特性：令

ImG(jx)=0，得x=0，即系統開環幅相曲線除在=0處外與實軸無交點。由于慣性環節單調地從0變化至90，故該系統幅相曲線的變化范圍為第Ⅳ和第III

象限，系統概略開環幅相曲線如圖5-18實線所示。若取K<0，由于非最小相位比例環節的相角恒為180，其相角變化為：180

~0，故此時系統概略開環幅相曲線由原曲線繞原點順時針旋轉180而得，如圖5-18中虛線所示。（此題最好還能求出開環幅相曲線與虛軸的交點，可令ReG(j)=0得到。這樣，可將曲線畫得更準確一些）圖5-18例5-1系統概略開環幅相曲線[例5-2]設系統開環傳遞函數為：繪制系統概略開環幅相曲線。[解]系統開環頻率特性：幅值變化：A(0+)=，A()=0

相角變化：起點處位置：與實軸的交點：令，得，于是：由此作系統開環幅相曲線如圖5-19中曲線①所示。圖中虛線為開環幅相曲線的低頻漸近線。由于開環幅相曲線用于系統分析時不需要準確知道漸近線的位置，故一般根據

(0+)取漸近線為坐標軸，圖中曲線②為相應的開環概略幅相曲線。本例中系統型次即開環傳遞函數中積分環節個數

=1，若分別取

=2，3和4，則根據積分環節的相角，可將圖5-19曲線分別繞原點旋轉

90，180

和

270

即可得相應的開環概略幅相曲線，如圖5-20所示。圖5-19例5-2系統概略開環幅相曲線圖5-20

=1,2,3,4時系統開環概略幅相曲線

[例5-3]

已知單位反饋系統開環傳遞函數為：試繪制系統概略開環幅相曲線。[解]系統開環頻率特性為：開環幅相曲線的起點：G(j0+)=90

終點：G(j)=0180變化范圍：時，開環幅相曲線位于第III象限或第Ⅳ與第III象限。當時，開環幅相曲線位于第III象限與第Ⅱ象限。開環概略幅相曲線如圖5-21所示。與實軸的交點：當時得：圖5-21例5-3系統開環概略幅相曲線應該指出，由于開環傳遞函數具有一階微分環節，系統開環幅相曲線有凹凸現象，因為繪制的是概略幅相曲線，故這一現象無須準確反映。[例5-4]

已知系統開環傳遞函數為：試概略繪制系統開環幅相曲線。[解]

系統開環頻率特性為：開環幅相曲線的起點：A(0+)

=，(0+)=

90

終點：A()

=0，()=

270與實軸的交點：令虛部為零，解得：因為()從90單調減至270，故幅相曲線在第III與Ⅱ象限之間變化。開環概略幅相曲線如圖5-22所示。

圖5-22例5-4系統概略幅相曲線在例5-4中，系統含有非最小相位一階微分環節，稱開環傳遞函數含有非最小相位環節的系統為非最小相位系統，而開環傳遞函數全部由最小相位環節構成的系統稱為最小相位系統。比較例5-2、例5-3和例5-4可知，非最小相位環節的存在將對系統的頻率特性產生一定的影響，

故在控制系統分析中必須加以重視。[例5-5]設系統開環傳遞函數為：試繪制系統開環概略幅相曲線。[解]

系統開環頻率特性為：開環幅相曲線的起點：G(j0+)H(j0+)=90

終點：G(j)H(j)=0360由于開環頻率特性表達式知，G(j)H(j)的虛部不為零，故與實軸無交點。注意到開環系統含有等幅震蕩環節(=0)，當

趨于n

時，A(n)趨于無窮大。即()

在

=n

的附近相角突變

180，幅相曲線在

n

處呈現不連續現象。作系統開環概略幅相曲線如圖5-23所示。圖5-23例5-5系統開環概略幅相曲線而相頻特性：根據以上例子，可以總結繪制開環概略幅相曲線的規律如下：

1）開環幅相曲線的起點，取決于比例環節K

和系統積分或微分環節的個數(系統型別)。

<0，起點為原點；=0，起點為實軸上的點K處(K為系統開環增益，注意K有正負之分)；>0，設=4k+i(k=0,1,2,;i=1,2,3,4)，則

K>0時為i(90)的無窮遠處；K<0時為i(90)180的無窮遠處。

2）開環幅相曲線的終點，取決于開環傳遞函數分子、分母多項式中最小相位環節和非最小相位環節的階次和。設系統開環傳遞函數的分子、分母多項式的階次分別為

m

和

n，記除

K

外，分子多項式中最小相位環節的階次和為

m1，

非最小相位環節的階次和為

m2，

分母多項式中最小相位環節的階次和為

n1，非最小相位環節的階次和為n2，則有：

特殊地，當開環系統為最小相位系統時，若：（5-52）（5-53）其中K*為系統開環根軌跡增益。（5-51）G1(s)H1(s)

不含

jn

的極點，則當

趨于n

時，A()

趨于無窮，而即()

在

=n

附近，相角突變

l180。3）如開環系統存在等幅震蕩環節（=

0），重數

l

為正整數，即開環傳遞函數具有下述形式：4.開環對數頻率特性曲線（1）將系統開環傳遞函數分解為典型環節；

（2）畫出各典型環節的對數頻率特性曲線；（3）采用疊加法繪制系統開環對數頻率特性曲線。

鑒于系統開環對數幅頻漸近特性在控制系統的分析和設計中具有十分重要的作用，以下著重介紹開環對數幅頻漸近特性曲線的繪制方法。注意到典型環節中，K

及K

(K>0)、微分環節和積分環節的對數幅頻特性曲線均為直線，可直接取其為漸近特性。由式(5-25)得系統開環對數幅頻漸近特性：

（5-54）

對于任意的開環傳遞函數，可按典型環節分解，將組成系統的各典型環節分為三部分：1）或；2）一階環節，包括慣性環節、一階微分環節以及對應的非最小相位環節。它們的交接頻率都為1/T。3）二階環節，包括振蕩環節、二階微分環節以及對應的非最小相位環節。它們的交接頻率為n

。

記min為最小交接頻率，稱<min的頻率范圍為低頻段。

開環對數幅頻漸近特性曲線的繪制按以下步驟進行：1）開環傳遞函數典型環節分解；2）確定一階環節、二階環節的交接頻率，將各交接頻率標注在半對數坐標圖的

軸上；3）繪制低頻段漸近特性線：由于一階環節或二階環節的對數幅頻漸近特性曲線在交接頻率前斜率為0dB/dec，在交接頻率處斜率發生變化，故在<min頻段內，開環系統幅頻漸近特性的斜率取決于K/，因而直線斜率為20dB/dec。為獲得低頻漸近線，還需確定該直線上的一點，可以采用以下三種方法：方法一：在<min范圍內，任選一點0，計算：（5-55）方法二：取頻率為特定值0=1，則：（5-56）方法三：取La(0)為特殊值0，則有K/0

=1（5-57）過(0，La(0))在<min范圍內作斜率為20dB/dec的直線。顯然，若有0

>min，則點(0，La(0))位于低頻漸近特性曲線的延長線上。4）作min頻段漸近特性線：在min頻段，系統開環對數幅頻漸近特性曲線表現為分段折線：（1）每兩個相鄰交接頻率之間為直線；（2）在每個交接頻率點處，斜率發生變化，變化規律取決于該交接頻率對應的典型環節的種類，如表5-2所示。表5-2交接頻率點處斜率的變化表應該注意的是，當系統的多個環節具有相同交接頻率時，該交接頻率點處斜率的變化應為各個環節對應的斜率變化值的代數和。以k

=

20dB/dec的低頻漸近線為起始直線，按交接頻率由小到大順序和由表

5-2確定斜率變化，再逐一繪制直線。[例5-6]

已知系統開環傳遞函數為：試繪制系統開環對數幅相頻率漸近特性曲線。[解]

開環傳遞函數的典型環節分解為：開環系統由六個典型環節串聯而成：非最小相位比例環節、兩個積分環節、非最小相位一階微分環節、慣性環節和震蕩環節。1）確定各交接頻率i，i=1,2,3及斜率變化值非最小相位一階微分環節：2=2，斜率：+20dB/dec慣性環節：1=1，斜率：20dB/dec振蕩環節：3=20，斜率：40dB/dec最小交接頻率min=1

=1。

2）繪制低頻段

(<min)

漸近特性曲線。因為

=2，則低頻漸近線斜率

k

=

40dB/dec，按方法二得直線上一點：(0，La(0))=(1,20dB)。3）繪制頻段min漸近特性曲線：系統開環對數幅頻漸近特性曲線如圖5-24所示。

（增加了一個慣性環節）

（增加了一階微分環節）

（增加了一個振蕩環節）圖5-24例5-6系統對數幅頻漸近特性曲線

開環對數相頻曲線的繪制，一般由典型環節分解下的相頻特性表達式，取若干個頻率點，列表計算各點的相角并標注在對數坐標圖中，最后將各點光滑連接。具體計算相角時應注意判別象限。例如在例5-6中5.延遲環節和延遲系統

輸出量經恒定延時后不失真地復現輸入量變化的環節稱為延遲環節。含有延遲環節的系統稱為延遲系統?；?、電力系統多為延遲系統。延遲環節的輸入輸出的時域表達式為：（5-58）式中為延遲時間，應用拉氏變換的實數位移定理，可得延遲環節的傳遞函數：（5-59）延遲環節的頻率特性為：（5-60）由式(5-60)可知，延遲環節幅相曲線為單位圓。當系統存在延遲現象，即開環系統表現為延遲環節和線性環節的串聯形式時，延遲環節對系統開環頻率特性的影響造成了相頻特性的明顯變化。如圖5-25所示，當線性環節G(s)=10/(1+s)與延遲環節e0.5s串聯后，系統開環幅相曲線為螺旋線。圖中以

(5,j0)

為圓心，半徑為5的半圓為慣性環節的幅相曲線。任取頻率點，設慣性環節的頻率特性點為

A，則延遲系統的幅相曲線的B點位于以|OA|為半徑，距A點圓心角=57.30.5的圓弧處。圖5-25延遲系統及其開環幅相曲線6．傳遞函數的頻域實驗確定由前可知，穩定系統的頻率響應為與輸入同頻率的正弦信號，而幅值衰減和相角滯后為系統的幅頻特性和相頻特性，因此可以運用頻率響應實驗確定穩定系統的數學模型。（1）頻率響應實驗頻率響應實驗原理如圖5-26所示。首先選擇信號源輸出的正弦信號的幅值，以使系統處于非飽和狀態。在一定頻率范圍內，改變輸入正弦信號的頻率，記錄各頻率點處系統輸出信號的波形。由穩態段的輸入輸出信號的幅值比和相位差繪制對數頻率特性曲線。圖5-26頻率響應實驗原理（2）傳遞函數確定從低頻段起，將實驗所得的對數幅頻曲線用斜率為0dB/dec，士20dB/dec，士40dB/dec，…等直線分段近似，獲得對數幅頻漸近特性曲線。由對數幅頻漸近特性曲線可以確定最小相位條件下系統的傳遞函數，這是對數幅頻漸近特性曲線繪制的逆問題，下面舉例說明其方法和步驟。[例5-7]圖5-27為由頻率響應實驗獲得的某最小相位系統的對數幅頻曲線和對數幅頻漸近特性曲線，試確定系統傳遞函數。圖5-27系統對數幅頻特性曲線[解]

1）確定系統積分或微分環節的個數。因為對數幅頻漸近特性曲線的低頻漸近線的斜率為20

dB/dec，而由圖5-27知低頻漸近線斜率為+20dB/dec，故有

=1，系統含有一個微分環節。2）確定系統傳遞函數結構形式。由于對數幅頻漸近特性曲線為分段折線，其各轉折點對應的頻率為所含一階環節或二階環節的交接頻率，每個交接頻率處斜率的變化取決于環節的種類。本例中共有兩個交接頻率：

=1處，斜率變化

20dB/dec，對應慣性環節。

=2處，斜率變化

40dB/dec，可以對應振蕩環節也可以為重慣性環節，本例中對數幅頻特性在2附近存在諧振現象，故應為振蕩環節。因此，所測系統應具有下述傳遞函數：其中參數1、2、及

K

待定。3）由給定條件確定傳遞函數參數。低頻率漸近線的方程為：由給定點(，La())=(1,0)及=1得K=1。根據直線方程式(5-47)及給定點：得：再由給定點：得：由前知，在諧振頻率r處，振蕩環節的諧振峰值為：因為圖中振蕩環節的諧振峰值被其它環節抬高了12dB。故有：解得：因為0<

<0.707時存在諧振峰值，故應選1=0.196。而根據疊加性質，本例中，于是，所測系統的傳遞函數為：值得注意的是，實際系統并不都是最小相位系統，而最小相位系統可以和某些非最小相位系統具有相同的對數幅頻特性曲線，因此具有非最小相位環節和延遲環節的系統，還需依據上述環節對相頻特性的影響并結合實測相頻特性予以確定。控制系統的閉環穩定性是系統分析和設計所需解決的首要問題。奈奎斯特穩定判據（簡稱奈氏判據）和對數頻率穩定判據是常用的兩種頻域穩定判據。

頻域穩定判據的特點是根據開環系統頻率特性曲線判定閉環系統的穩定性。頻域判據使用方便，易于推廣。5-4頻率域穩定判據1．奈氏判據的數學基礎復變函數中的幅角原理是奈氏判據的數學基礎，幅角原理用于控制系統的穩定性的判定還需選擇輔助函數和閉合曲線。（1）幅角原理

設

s

為復數變量，F(s)

為

s

的有理分式函數。對于s

平面上任意一點

s，通過復變函數

F(s)

的映射關系，在

F(s)平面上可以確定關于

s

的象。在

s

平面上任選一條閉合曲線

，且不通過

F(s)

的任一零點和極點，s

從閉合曲線

上任一點

A

起，順時針沿

運動一周，再回到

A

點，則相應地，F(s)

平面上亦從點

F(A)

起，到

F(A)

點止亦形成一條閉合曲線

F

。為討論方便，取

F(s)

為下述簡單形式：（5-61）其中z1、z2為F(s)的零點；p1、p2為F(s)的極點。不失一般性，取s平面上F(s)的零點和極點以及閉合曲線

的位置如圖5-28(a)所示，圖中，

包圍F(s)的零點z1和極點p1。設復變量

s

沿閉合曲線

順時針運動一周，研究F(s)相角的變化情況：（5-62）因為：（5-63）圖5-28s和F(s)平面的映射關系

[F(s)

平面][s

平面]因而，（5-64）由于z1和p1被

所包圍，故按復平面向量的相角定義，逆時針旋轉為正，順時針旋轉為負，所以：而對于零點z2，由于z2未被

所包圍，過z2作兩條直線與閉合曲線

相切，設s1、

s2為切點，則在

的

s1s2段，s

z2的角度減小，在

的

s2s1

段，角度增大，且有：即(sz2)

=

0。p2未被

包圍，同理可得(sp2)=

0。上述討論表明，當

s

沿

s

平面任意閉合曲線

運動一周時，F(s)

繞

F(s)

平面原點的圈數只和

F(s)

被閉合曲線

所包圍的極點和零點的代數和有關。上例中：

F(s)

=

2

+0

(2)+0=

0幅角原理：設

s

平面閉合曲線

包圍

F(s)

的Z個零點和

P

個極點，則

s

沿

順時針運動一周時，在F(s)平面上，F(s)

閉合曲線

F

包圍原點的圈數：R=PZ

（5-65）

(1)

R

<0和

R

>

0分別表示F

順時針包圍和逆時針包圍F(s)平面的原點；

(2)R

=

0表示不包圍

F(s)平面的原點。

（2）復變函數F(s)的選擇

控制系統的穩定性判定是在已知開環傳遞函數的條件下進行的。為應用幅角原理，選擇F(s)

為系統閉環特征方程：（5-66）由式(5-66)可知，F(s)具有以下特點：1）F(s)的零點為閉環傳遞函數的極點，F(s)的極點為開環傳遞函數的極點；2）因為開環傳遞函數分母多項式的階次一般大于或等于分子多項式的階次，故

F(s)

的零點和極點數相同；3）s沿閉合曲線

運動一周所產生的兩條閉合曲線F和GH，在位置上只相差常數1，即閉合曲線

F

可由GH

沿實軸正方向平移一個單位長度獲得。閉合曲線F

包圍F(s)平面原點的圈數等于閉合曲線GH

包圍F(s)平面點

(1,j0)的圈數。其幾何關系如圖5-29所示。圖5-29F和GH的幾何關系

由F(s)的特點可以看出F(s)取上述特定形式具有兩個優點，其一是建立了系統的開環極點和閉環極點與

F(s)的零極點之間的直接聯系；其二是建立了閉合曲線F

和閉合曲線GH之間的轉換關系。在已知開環傳遞函數G(s)H(s)的條件下，上述優點為幅角原理的應用創造了條件。（3）s

平面閉合曲線

的選擇

系統的閉環穩定性取決于系統閉環傳遞函數極點，即F(s)的零點的位置，因此當選擇

s

平面閉合曲線

包圍

s

平面的右半平面時，若Z

=0

(即F(s)在右半s平面無零點)，則閉環系統穩定。

考慮到前述閉合曲線

應不通過

F(s)

的零、極點的要求，

可取圖5-30所示的兩種形式（只考慮右半

s

平面）。圖5-30s平面的閉合曲線

[s

平面][s

平面]（1）當開環傳遞函數G(s)H(s)在虛軸上沒有極點時，見圖5-30(a)，s平面閉合曲線

由兩部分組成：1）s

=

ej,

[0,90]，即圓心為原點、第Ⅳ象限中半徑為無窮大的1/4圓；s=j，(,0]

，即負虛軸。2）s=j，[0,+)，即正虛軸；s

=

ej,

[0,90]，即圓心為原點、第

I

象限中半徑為無窮大的1/4圓。

（2）當

G(s)H(s)

在虛軸上有極點時，為避開開環虛極點,在圖5-30(a)所選閉合曲線

的基礎上加以擴展，構成圖5-30(b)所示的閉合曲線

。1）開環系統含有積分環節時，在原點附近，取s

=

ej（

為正無窮小量，

[90,+90]），即圓心為原點、半徑為無窮小的半圓。2）開環系統含有等幅振蕩環節時，在jn

附近，取s

=

jn+

ej（

為正無窮小量，

[90,+90]），

即圓心為jn、半徑為無窮小的半圓。按上述曲線，函數

F(s)

位于

s

右半平面的極點數即開環傳遞函數G(s)H(s)位于s右半平面的極點數

P

應不包括G(s)H(s)位于

s

平面虛軸上的極點數。

（4）G(s)H(s)閉合曲線的繪制

由圖5-30知，s平面閉合曲線關于實軸對稱，鑒于G(s)H(s)為實系數有理分式函數，故閉合曲線GH亦關于實軸對稱，因此只需繪制GH

在

Ims≥0，s

對應的曲線段,得G(s)H(s)

的半閉合曲線,稱為奈奎斯特曲線,仍記為GH。G(s)H(s)

具體繪制方法如下：1）若G(s)H(s)無虛軸上極點

GH在s=j，[0,+)時，對應開環幅相曲線；GH在s

=

ej,

[0,+90]時，對應原點(n>m時)或(K*,j0)點（n=m時），K*為系統開環根軌跡增益。

2）若G(s)H(s)有虛軸極點。當開環系統含有積分環節時，設：（5-67）（5-68）在原點附近，閉合曲線為s

=

ej，

[0,+90]且有G1(

ej

)=G1(

j0)，故：（5-69）在原點（0,j0）處：圖5-31F(s)平面的半閉合曲線對應的曲線為從G1(

j0)點起，半徑為∞、圓心角為()的圓弧，即可從G(

j0+)H(

j0+)點起逆時針作半徑無窮大、圓心角為90的圓弧，如圖5-3l(a)中虛線所示。當開環系統含有等幅震蕩環節時，設（5-70）考慮

s

在

jn

附近，沿

運動時GH

的變化：（5-71）因為

為正無窮小量，所以式（5-70）可寫為（5-72）故有：（5-73）因此，s

沿

在

jn

附近運動時，對應的GH

閉合曲線為半徑無窮大，圓心角等于1

180的圓弧，即應從G(

jn

)H(

jn

)

點起以半徑為無窮大順時針作1

180

的圓弧至G(

jn

+)H(

jn

+)點，如圖5-31(b)中虛線所示。[結論]

半閉合曲線GH

由開環幅相曲線和根據開環虛軸極點所補作的無窮大半徑的虛線圓弧兩部分組成。（5）閉合曲線F包圍原點圈數

R

的計算

根據半閉合曲線GH可獲得F

包圍原點的圈數

R。設N

為

GH穿越(1,j0)點左側負實軸的次數，N+

表示正穿越的次數和(從上向下穿越)，N表示負穿越的次數和(從下向上穿越)，則：（5-74）圖5-32系統開環半閉合曲線GH

在圖5-32中，虛線為按系統型次

或等幅振蕩環節數1補作的圓弧，點A，B為奈氏曲線與負實軸的交點，按穿越負實軸上(,1)段的方向，分別有：（圖a）A點位于(1,j0)點左側，GH

從下向上穿越，為一次負穿越。故N=1，N+=0，R

=

2N=

2。（圖b）A點位于(1,j0)點的右側，N+=N=0，R=0。（圖c）A，B點均位于(1,j0)點左側，而在A點處GH從下向上穿越，為一次負穿越；B點處則GH

從上向下穿越，為一次正穿越，故有N+=N=1，R=0。（圖d）A，B點均位于(1,j0)點左側，A點處GH從下向上穿越，為一次負穿越；B點處GH從上向下運動至實軸并停止，為半次正穿越，故

N=1，N+=1/2，R

=

1。

（圖e）A，B點均位于點(1,j0)的左側，A點應=0，隨增大，GH

離開負實軸，為半次負穿越，而B點處為一次負穿越，故有N=3/2，N+=0，R=

3。

F

包圍原點的圈數

R

等于GH包圍(1,j0)點的圈數。

計算R的過程中應注意正確判斷GH穿越(1,j0)點左側負實軸時的方向、半次穿越和虛線圓弧所產生的穿越次數。2．奈奎斯特穩定判據

由于選擇閉合曲線如圖5-30所示，在已知開環系統右半平面的極點數（不包括虛軸上的極點）

和半閉合曲線

GH的情況，根據幅角原理和閉環穩定條件，可得下述奈氏判據。[奈氏判據]

反饋控制系統穩定的充分必要條件是半閉合曲線GH不穿過

(1,j0)

點且逆時針包圍臨界點

(1,j0)點的圈數

R

等于開環傳遞函數的正實部極點數

P。由幅角原理可知，閉合曲線

包圍

F(s)=1+G(s)H(s)

的零點數即反饋控制系統正實部極點數為：

（5-75）當PR

時，Z0，系統閉環不穩定。而當半閉合曲線GH穿過(1,j0)點時，表明存在s=

jn，使得：（5-76）即系統閉環特征方程存在共軛存虛根，則系統可能臨界穩定。計算GH的穿越次數

N

時，應該注意不計GH穿越(1,j0)點的次數。[例5-8]

已知單位反饋系統開環幅相曲線(K=10，P=0，=1)如圖5-33所示，試確定系統閉環穩定時K

值的范圍。[解]如圖所示，開環幅相曲線與負實軸有三個交點，設交點處穿越頻率分別為1,2,3，系統開環傳遞函數形如：由題設條件

=1，，和當取K=10時，若令G(

ji)=

1，可得對應的K值：對應地，分別取

0<

K<K1，K1<

K<K2，K2<

K<K3和K>K3時，開環幅相曲線分別如圖

5-34

(a)，(b)，(c)和(d)所示，圖中按

補作虛圓弧的半閉合曲線G。根據G曲線計算包圍次數，并判斷系統閉環穩定性：0<

K<K1，R=0，Z=0，閉環系統穩定；K1<

K<K2，R=2，Z=2，閉環系統不穩定；K2<

K<K3，N+=N=1，R=0，Z=0，閉環系統穩定；K>K3，N+=1，N=2，R=2，Z=2，閉環系統不穩定；綜上可得，系統閉環穩定時的K值范圍為(0,5)和(20/3,20)。當K

等于5，20/3和20時，G穿過臨界點(1,j0)，且在這三個值的鄰域，系統閉環穩定或不穩定，因此系統閉環臨界穩定。

圖5-34例5-8系統在不同

K

值條件下的開環幅相曲線G曲線[例5-9]

已知延遲系統環節傳遞函數為：試根據奈氏判據確定系統閉環穩定時，延遲時間值的范圍。[解]

由圖5-25可知，延遲系統開環幅相曲線即半閉合曲線GH為螺旋線，且為順時針方向，若開環幅相曲線與(1,j0)點左側的負實軸有

l

個交點，則GH包圍

(1,j0)

點的圈數為2l，由于P

=

0，故

Z

=

2l，系統閉環不穩定。若系統閉環穩定，則必須有

l=0。設

x

為開環幅相曲線穿越負實軸時的頻率，有：鑒于：當x

增大時，A(x)減小。而在頻率

為最小的xm時，開環幅相曲線第一次穿過負實軸，因此xm由下式求得：此時A(xm)達到最大。為使

l

=0，必須使A(xm)<1，即：由

(x)=

(2k+1)解得：注意到：

為x

的減函數，因此xm

亦為

的減函數。當：時，，系統臨界穩定；當：時，，系統不穩定。故系統閉環穩定時值的范圍應為：3.對數頻率穩定判據奈氏判據基于復平面的半閉合曲線GH判定系統的閉環穩定性，由于半閉合曲線GH可以轉換為半對數坐標下的曲線，因此可以推廣運用奈氏判據，其關鍵問題是需要根據半對數坐標下的GH曲線確定穿越次數

N或

N+和N。復平面GH曲線一般由兩部分組成：開環幅相曲線和開環系統存在積分環節和等幅振蕩環節時所補作的半徑為無窮大的虛圓弧。而N

的確定取決于A(

)>1時GH

穿越負實軸的次數，因此應建立和明確以下對應關系：（1）穿越點確定

設=c時，（5-77）稱c

為截止頻率。對于復平面的負實軸和開環對數相頻特性，當取頻率為穿越頻率x時：（5-78）設半對數坐標下GH

的對數幅頻曲線和對數相頻曲線分別為L和。由于L等于L()曲線，則GH在A(

)>1時，穿越負實軸的點等于GH在半對數坐標下，對數幅頻特性L()>0時對數相頻特性曲線與(2k+1);k=0,1,,

平行線的交點。（2）確定

1）開環系統無虛軸上極點時，等于()曲線。2）開環系統存在積分環節

1/s(>0)時，復數平面的GH曲線，需從=0+的開環幅相曲線的對應點G(j0+)H(j0+)

起，逆時針補作

90半徑為無窮大的虛圓弧。對應地，需從對數相頻特性曲線

較小且

L()>0

的點處向上補作

90的虛直線，()曲線和補作的虛直線構成。3）開環系統存在等幅振蕩環節：時，復數平面的GH曲線，需從

=

n-的開環幅相曲線的對應點

G(jn-)H(jn-)

起，逆時針補作

1

180半徑為無窮大的虛圓弧至

=

n+

的對應點

G(jn+)H(jn+)

處。對應地，需從對數相頻特性曲線

(n-)點起向上補作1

180的虛直線至(n+)處，()曲線和補作的虛直線構成。（3）穿越次數計算

正穿越一次：GH

由上向下穿越

(1,j0)點左側的負實軸一次，等價于：在L()>0時，由下向上穿越(2k+1)

線一次。

負穿越一次：

GH

由下向上穿越

(1,j0)

點左側的負實軸一次，等價于：在L()>0時，由上向下穿越(2k+1)線一次。

正穿越半次：GH

由上向下止于或由上向下起于(1,j0)點左側的負實軸，等價于：在L()>0時，由下向上止于或由下向上起于

(2k+1)

線一次。

負穿越半次：GH由下向上止于或由下向上起于(1,j0)點左側的負實軸，等價于：在

L()>0

時，由上向下止于或由上向下起于

(2k+1)

線一次。

應該指出的是，補作的虛直線所產生的穿越皆為負穿越。[對數頻率穩定判據]

設P為開環系統正實部的極點數，反饋控制系統穩定的充分必要條件是(c)(2k+1);k

=0,1,2,和

L()>0時，

曲線穿越

(2k+1)

線的次數：（5-79）

對數頻率穩定判據和奈氏判據本質相同，其區別僅在于前者在L()>0的頻率范圍內依曲線

確定穿越次數N。滿足：[例5-10]已知某系統開環穩定，開環幅相曲線如圖5-35所示，試將開環幅相曲線表示為開環對數頻率特性曲線，并運用對數穩定判據判斷系統的閉環穩定性。圖5-35某系統開環幅相曲線[解]開環對數頻率特性曲線如圖5-36所示，然而相角表示具有不惟一性，圖中(a)和(b)為其中的兩種形式。圖5-36某系統開環對數頻率特性曲線

因為開環系統穩定，P=0。由開環幅相曲線知=

0，不需補作虛直線。

圖(a)中，L()>0

頻段內，()曲線與180線有兩個交點，依頻率由小到大，分別為一次負和一次正穿越，故

N=

N+N=0。

圖(b)中，L()>0頻段內，()曲線與180線和180線有四個交點，以頻率由小到大分別為半次負穿越、半次負穿越、半次正穿越和半次正穿越，故N=

N+N=0。按對數穩定判據，圖(a)和圖(b)都有Z=P2N=0且(c)(2k+1);k

=0,1,2,，故系統穩定。[例5-11]

已知開環系統型次=3，P=0，開環對數相頻特性曲線如圖5-37所示，圖中<c時，L()>L(c)。試確定閉環不穩定極點的個數。[解]

因為=3，需在低頻處由()曲線向上補作270的虛直線于180，如圖所示。在L()>L(c)=0dB頻率內，存在兩個與(2k+1)

線的交點，1

處為一次負穿越，=0處為半次穿越，故N=1.5，N+=0，按對數穩定判據故閉環不穩定極點的個數為3。4.條件穩定系統例5-8系統的分析表明，若開環傳遞函數在右半s平面的極點數

P

=

0，當開環傳遞函數的某些系數(如開環增益)改變時，閉環系統的穩定性將發生變化。這種閉環穩定有條件的系統稱為條件穩定系統。相應地，無論開環傳遞函數的系數怎樣變化，例如：

系統總是閉環不穩定的，這樣的系統稱為結構不穩定系統。5-5穩定裕度

根據奈氏判據可知，對于系統開環傳遞函數，

若右半