數量關系—第七章第一部分向量代數第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式—點,線,面基本方法—坐標法;向量法坐標,方程〔組）空間解析幾何與向量代數.四、利用坐標作向量的線性運算第一節一、向量的概念二、向量的線性運算三、空間直角坐標系五、向量的模、方向角、投影機動目錄上頁下頁返回完畢向量及其線性運算第七章.表示法:向量的模:向量的大小,一、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1M2,或a,機動目錄上頁下頁返回完畢.規定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,a∥b;與a的模相同,但方向相反的向量稱為a的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線.假設k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面.記作－a;機動目錄上頁下頁返回完畢.二、向量的線性運算1.向量的加法三角形法則:平行四邊形法則:運算規律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.機動目錄上頁下頁返回完畢.機動目錄上頁下頁返回完畢.2.向量的減法三角不等式機動目錄上頁下頁返回完畢.3.向量與數的乘法是一個數,規定:可見與a的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結合律分配律因而機動目錄上頁下頁返回完畢.定理1.設a為非零向量,那么(為唯一實數)證:“”.,取＝±且再證數的唯一性.那么a∥b設a∥b取正號,反向時取負號,,a,b同向時那么b與a同向,設又有b＝a,機動目錄上頁下頁返回完畢.“”那么例1.設M為解:ABCD對角線的交點,知b＝a,b＝0a,b同向a,b反向a∥b機動目錄上頁下頁返回完畢.ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ三、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規則組成一個空間直角坐標系.坐標原點坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z軸(豎軸)過空間一定點o,坐標面卦限(八個)zox面1.空間直角坐標系的基本概念機動目錄上頁下頁返回完畢Ⅰ.向徑在直角坐標系下坐標軸上的點P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點M特殊點的坐標:有序數組(稱為點M的坐標)原點O(0,0,0);機動目錄上頁下頁返回完畢.坐標軸:坐標面:機動目錄上頁下頁返回完畢.2.向量的坐標表示在空間直角坐標系下,設點M那么沿三個坐標軸方向的分向量.的坐標為此式稱為向量r的坐標分解式,任意向量r可用向徑OM表示.機動目錄上頁下頁返回完畢.四、利用坐標作向量的線性運算設那么平行向量對應坐標成比例:機動目錄上頁下頁返回完畢.例2.求解以向量為未知元的線性方程組解:①②2×①－3×②,得代入②得機動目錄上頁下頁返回完畢.例3.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:設M的坐標為如下圖及實數得即機動目錄上頁下頁返回完畢.說明:由得定比分點公式:點M為AB的中點,于是得中點公式:機動目錄上頁下頁返回完畢.五、向量的模、方向角、投影1.向量的模與兩點間的距離公式則有由勾股定理得因得兩點間的距離公式:對兩點與機動目錄上頁下頁返回完畢.例4.求證以證:即為等腰三角形.的三角形是等腰三角形.為頂點機動目錄上頁下頁返回完畢.例5.在z軸上求與兩點等距解:設該點為解得故所求點為及考慮:(1)如何求在xoy面上與A,B等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B等距離之點的軌跡方程?離的點.機動目錄上頁下頁返回完畢.提示:(1)設動點為利用得(2)設動點為利用得且例6.已知兩點和解:求機動目錄上頁下頁返回完畢.2.方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)為向量的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.記作機動目錄上頁下頁返回完畢.方向余弦的性質:機動目錄上頁下頁返回完畢.例7.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量機動目錄上頁下頁返回完畢.例8.設點A位于第一卦限,解:知作業P3003,5,13,14,15,18,19角依次為求點A的坐標.那么因點A在第一卦限,故于是故點A的坐標為向徑OA與x軸y軸的夾第二節目錄上頁下頁返回完畢.備用題解:因1.設求向量在x軸上的投影及在y軸上的