第五節數系的擴大與復數的引入【學問梳理】1.必會學問教材回扣填一填(1)復數的有關概念:內容意義備注復數的概念設a,b都是實數,形如_____的數叫作復數,其中實部為__,記作a=___z;虛部為__,記作b=___z;i叫作虛數單位a+bi為實數?____,a+bi為虛數?_____,a+bi為純虛數?___________復數相等a+bi=c+di?_________(a,b,c,d∈R)共軛復數a+bi與c+di共軛?__________(a,b,c,d∈R)復數a(a為實數)的共軛復數是aa+biaRebImb=0b≠0a=0且b≠0a=c且b=da=c且b=-d內容意義備注復平面當用直角坐標平面內的點來表示復數時,我們稱這個直角坐標平面為復平面,x軸稱為_____,y軸稱為_____實軸上的點都表示實數;除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數復數的模設復數z=a+bi(a,b∈R)在復平面內對應的點是Z(a,b),點Z到原點的距離_____叫作復數z的模或絕對值|z|=|a+bi|=實軸虛軸|OZ|(2)復數的幾何表示:(3)復數代數形式的四則運算:①運算法則:設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則運算名稱符號表示語言敘述加減法z1±z2=(a+bi)±(c+di)=_______________把實部、虛部分別相加減(a±c)+(b±d)i運算名稱符號表示語言敘述乘法z1·z2=(a+bi)(c+di)=_________________按照多項式乘法進行,并把i2換成-1除法把分子、分母分別乘以分母的共軛復數,然后分子、分母分別進行乘法運算(ac-bd)+(ad+bc)i②復數加法的運算律:設z1,z2,z3∈C,則復數加法滿足以下運算律:(ⅰ)交換律:z1+z2=_____;(ⅱ)結合律:(z1+z2)+z3=__________.③乘法的運算律:z1·z2=______(交換律),(z1·z2)·z3=____________(結合律),z1(z2+z3)=________(乘法對加法的安排律).z2+z1z1+(z2+z3)z2·z1z1·(z2·z3)z1z2+z1z3④正整數指數冪的運算律(m,n∈N+):zmzn=zm+n,(zm)n=___,(z1z2)n=____.zmn2.必備結論教材提煉記一記(1)①i乘方的周期性:②z·=|z|2=||2.(2)三個一一對應關系:復數z=a+bi(a,b∈R)、復平面內的點Z(a,b)和平面對量是一一對應的關系.3.必用技法核心總結看一看(1)常用方法:①利用復數的運算法則求復數的和差積商的方法;②以等式或點的坐標的形式給出考察復數的幾何意義的方法.(2)常用思想:方程思想、數形結合思想、分類爭論思想.【小題快練】1.思考辨析靜心思考判一判(1)假設a∈C,則a2≥0.()(2)在實數范圍內的兩個數能比較大小,因而在復數范圍內的兩個數也能比較大小.()(3)一個復數的實部為0,則此復數必為純虛數.()(4)復數的模就是復數在復平面內對應向量的模.()【解析】(1)錯誤.假設a=i,則a2=-1<0,因而(1)錯.(2)錯誤.假設兩個復數為虛數,或一個為實數,一個為虛數,則它們不能比較大小.(3)錯誤.當虛部也為0時,則此復數為實數0.(4)正確.由復數的幾何意義可知該結論正確.答案:(1)×(2)×(3)×(4)√2.教材改編鏈接教材練一練(1)(選修2-2P108B組T1改編)在復平面上,復數對應的點在()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限【解析】選D.由所以對應的點為(1,-2),所以在復平面上對應的點位于第四象限.應選D.(2)(選修2-2P107A組T7改編)i為虛數單位，a∈R，假設復數2i-是實數，則a的值為()A.-4 B.2 C.-2 D.4【解析】選D.是實數，則2-=0，故a=4，選D.3.真題小試感悟考題試一試(1)(2023·新課標全國卷Ⅰ)=()A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i【解析】選D.=-1-i.(2)(2023·山東高考)a,b∈R,i是虛數單位,假設a-i與2+bi互為共軛復數,則(a+bi)2=()A.5-4iB.5+4i C.3-4iD.3+4i【解析】選D.由于a-i與2+bi互為共軛復數,所以a=2,b=1,所以(a+bi)2=(2+i)2=4+4i+i2=3+4i.(3)(2023·江蘇高考)復數z=(5+2i)2(i為虛數單位),則z的實部為.【解析】由題意z=(5+2i)2=21+20i,故實部為21.答案:21考點1復數的有關概念【典例1】(1)(2023·大綱版全國卷)設z=,則z的共軛復數為()A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i(2)(2023·上海高考)設m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是純虛數,其中i是虛數單位,則m=.【解題提示】(1)利用求得復數z后再求z的共軛復數.(2)由純虛數概念求解.【標準解答】(1)選D.z==3i+1,則=1-3i.(2)m2+m-2+(m2-1)i是純虛數??m=-2.答案:-2【易錯警示】解答此題(2)易消失以下錯誤:(1)條件考慮不完整,只考慮m2+m-2=0得m=-2或m=1,無視m2-1≠0的條件.(2)雖然考慮了m2-1≠0,但未去取舍而保存原答案-2或1.【規律方法】求解與復數概念相關問題的技巧復數的分類、復數的相等、復數的模,共軛復數的概念都與復數的實部與虛部有關,所以解答與復數相關概念有關的問題時,需把所給復數化為代數形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再依據題意求解.【變式訓練】(2023·安徽高考)設i是虛數單位,表示復數z的共軛復數.假設z=1+i,則=()A.-2B.-2iC.2D.2i【解析】選C.由于z=1+i,所以=1-i,故=-i(1+i)+i(1-i)=-2i2=2.【加固訓練】1.(2023·天津高考改編)a,b∈R,i是虛數單位.假設(a+i)(1+i)=bi,則復數z=a+bi的共軛復數是()A.2+i B.2-i C.1+2i D.1-2i【解析】選D.由于(a+i)(1+i)=a-1+(a+1)i=bi,所以a-1=0,a+1=b,即a=1,b=2,所以z=a+bi=1+2i,故復數z的共軛復數是1-2i.2.(2023·江蘇高考)設z=(2-i)2(i為虛數單位),則復數z的模為.【解析】z=(2-i)2=4+i2-4i=3-4i,故|z|=5.答案:5考點2復數的幾何意義【典例2】(1)(2023·新課標全國卷Ⅱ)設復數z1,z2在復平面內的對應點關于虛軸對稱,z1=2+i,則z1z2=()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i(2)(2023·重慶高考)復平面內表示復數i(1-2i)的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解題提示】(1)利用對稱得出兩復數實虛部關系后代入可解.(2)利用復數運算后虛部與實部的正負推斷.【標準解答】(1)選A.由于z1=2+i,z1與z2關于虛軸對稱,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5,應選A.(2)選A.i(1-2i)=2+i,對應復平面內的點為(2,1),位于第一象限.【互動探究】本例(2)中i(1-2i)對應點關于實軸對稱的點對應的復數為

.【解析】由i(1-2i)=2+i可知其對應點坐標為(2,1),其關于實軸對稱點坐標為(2,-1),故其對應的復數為2-i.答案:2-i【規律方法】復數幾何意義及應用(1)復數z、復平面上的點Z及向量相互聯系,即z=a+bi(a,b∈R)?Z(a,b)?.(2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系,因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起,解題時可運用數形結合的方法,使問題的解決更加直觀.提示:|z|的幾何意義:令z=x+yi(x,y∈R),則|z|=,由此可知表示復數z的點到原點的距離就是|z|的幾何意義;|z1-z2|的幾何意義是復平面內表示復數z1,z2的兩點之間的距離.【變式訓練】(2023·宜春模擬)假設(a-4i)i=b-i,(a,b∈R,i為虛數單位),則復數z=a+bi在復平面內的對應點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.(a-4i)i=4+ai=b-i?所以z=-1+4i,對應的點的坐標為(-1,4),所以位于其次象限,應選B.【加固訓練】1.復數z=i·(1+i)(i為虛數單位)在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限【解析】選B.由于z=i·(1+i)=-1+i,而(-1,1)對應的點在其次象限,所以選B.2.(2023·臨沂模擬)復數z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們在復平面上對應的點分別為A,B,C.假設=λ+μ(λ,μ∈R),求λ+μ的值.【解析】由得A(-1,2),B(1,-1),C(3,-4),故=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),假設=λ+μ,即(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1),得解得故λ+μ=-1+2=1.考點3復數的四則運算知·考情復數的四則運算是高考考察的一個重要考向,常利用復數的加減乘運算求復數,利用復數的相等或除法運算求復數,利用復數的有關概念求復數等,以選擇題、填空題的形式消失.明·角度命題角度1:復數的加減乘法運算【典例3】(2023·福建高考)復數z=(3-2i)i的共軛復數等于()A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i【解題提示】利用復數的運算法則進展計算.【標準解答】選C.由于z=2+3i,所以=2-3i.命題角度2:復數的除法運算【典例4】(2023·天津高考)i是虛數單位,復數=()【解題提示】利用復數除法運算,分子分母同乘以分母的共軛復數求解.【標準解答】選A.=1-i.悟·技法利用復數的四則運算求復數的一般思路(1)復數的乘法運算滿足多項式的乘法法則,利用此法則后將實部與虛局部別寫出即可.(2)復數的除法運算主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復數進展運算化簡.(3)利用復數的相關概念解題時,通常是設出復數或利用聯立方程求解即可.通·一類1.(2023·合肥模擬)復數z=-2i,則的虛部為()【解析】選B.由于z=-2i,所以所以z的虛部為.2.(2023·蚌埠模擬)復數z滿足(3-4i)z=35,則z=()A.-3-4i B.-3+4iC.3-4i D.3+4i【解析】選D.由于(3-4i)z=25,則3.(2023·四川高考)復數=.【解析】=(1-i)2=-2i.答案:-2i自我糾錯13復數有關概念的應用【典例】(2023·陜西高考)設z是復數，則以下命題中的假命題是()A.假設z2≥0，則z是實數 B.假設z2<0，則z是虛數C.假設z是虛數，則z2≥0 D.假設z是純虛數，則z2<0【解題過程】【錯解分析】分析上面解題過程,你知道錯在哪里嗎?提示:上述解題過程錯在對純虛數與虛數概念含混不清,搞不明白,純虛數肯定是虛數,而虛數不肯定是純虛數,從而推斷錯誤.【躲避策略】1.弄清虛數與純虛數的區分,對于z=a+bi(a,b∈R),假設b≠0,則z為虛數,假設b≠0且a=0,則z為純虛數.2.利用排解法解題