1.經典粒子是某種實在物理量隨時間和空間作周期性變化，滿足疊加原理，可產生干涉、衍射等現象。具有確定的質量,其運動規律遵循牛頓定律。2.經典波

經典意義下的粒子和波給定初始條件，其位置、動量及運動軌跡等就具有確定的數值。對波粒二象性的理解25量子力學初步25.1波函數及其統計解釋1怎樣理解微觀粒子既是粒子又是波?──粒子看作是波包而粒子是穩定的。波是基本的波包要擴散、消失，──波是大量粒子相互作用形成的粒子是基本的單電子的雙縫衍射實驗：（1949前蘇聯費格爾曼）7個電子100個電子2單個電子具有的波動性，而不是電子間相互作用的結果。3000個20000個70000個31.粒子性指它與物質相互作用的“顆粒性”或“整體性”。但不是經典的粒子！在空間以概率出現。

沒有確定的軌道應摒棄“軌道”的概念！正確理解微觀粒子的波粒二象性2.波動性指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、等現象。但不是經典的波！因為它不代表實在物理量的波動。4單色平面波一個沿x方向作勻速直線運動的自由粒子(能量為E,動量為px)由德布羅依關系式復數形式（三維）自由粒子波函數

25.1.1波函數的引入5由于進行了量子力學的基本研究特別是對波函數作出的統計解釋玻恩（M.Born)英籍德國人(1882—1970）1954年獲諾貝爾物理學獎25.1.2波函數的統計解釋6德布羅意波是概率波玻恩1926年提出：物質波函數描述了粒子在各處出現的概率7波函數本身沒有直接的物理意義。它并不像經典波那樣代表什么實在的物理量的波動，而其模方表示t時刻微觀粒子，在空間點出現的相對概率密度。式中：是空間坐標和時間坐標t的函數，是其復共軛。一個微觀客體在時刻t狀態,用波函數(一般是復函數)完全描述.波函數也稱為概率幅8歸一化條件根據波函數統計解釋，在全空間各點的概率總和必須為1。注意波函數可以允許包含一個任意的常數因子對于概率分布來講，重要的是相對概率分布和描寫同一個概率波因為對于空間任意兩點來說概率比值相同：25.1.3

波函數的標準化條件92.波函數的有限性粒子在空間某處出現的概率不能無限大1.波函數的單值性任意時刻粒子在空間出現的概率只可能是一個值波函數的標準化條件概率不能在某處發生突變3.波函數的連續性以上要求稱為波函數的標準化條件10只打開a只打開b兩縫同時打開波函數遵從疊加原理:實驗證實如果都是體系的可能狀態，那么它的線性疊加，也是這個體系的一個可能態。25.1.4.態疊加原理11波函數統計詮釋涉及對世界本質的認識觀念哥本哈根學派--愛因斯坦著名論戰量子力學背后隱藏著還沒有被揭示的更基本的規律，這個規律對量子力學有新的解釋。上帝不會擲骰子波函數的概率解釋是自然界的終極實質玻爾、波恩、海森伯、費曼等還有狄拉克、德布羅意等12上帝并不是跟宇宙玩擲骰子游戲。不確定性是物理實質，這樣的主張并不是完全站的住的。將來對物理實在的認識達到一個更深的層次時，我們可能對概率定律和量子力學做出新的解釋，即它們是目前我們尚未發現的那些變量的完全確定的數值演化的結果。我們現在開始用來擊碎原子核并產生新粒子的強有力的方法可能有一天向我們揭示關于這一更深層次的目前我們還不知道的知識。阻止對量子力學目前的觀點作進一步探索的嘗試對科學發展來說是非常危險的，科學史告訴我們，已獲得的知識常常是暫時的，在這些知識之外，肯定有更廣闊的新領域有待探索。在我看來，我們還沒有量子力學的基本定律，目前還在使用的定律需要作重要的修改……。當我們作出這樣劇烈的修改后，當然，我們用統計計算對理論作出物理解釋的觀念可能會被徹底地改變。13海森伯（W.K.Heisenberg，1901-1976）

德國理論物理學家。他于1925年為量子力學的創立作出了最早的貢獻，而于25歲時提出的不確定關系則與物質波的概率解釋一起奠定了量子力學的基礎。為此，他于1932年獲得諾貝爾物理學獎金。25.2不確定關系14以電子束單縫衍射為例.........只計中央明紋區,角寬度一、位置和動量的不確定關系d1位置不確定量：ppypx15ppypxd1能量與時間不確定關系式16解子彈的動量動量的不確定范圍位置的不確定量范圍

例1一顆質量為10g的子彈，具有的速率.若其動量的不確定范圍為動量的

(這在宏觀范圍是十分精確的),則該子彈位置的不確定量范圍為多大?17譜線的自然寬度例：若原子處于激發態能級的壽命，求光譜線的自然寬度。則解：18問題的提出：物理討論會（1926）薛定諤：你能不能給我們講一講DeBroglie的那篇學位論文呢？瑞士聯邦工業大學

一月以后：薛定諤向大家介紹了德布羅意的論文。你這種談論太幼稚，作為索末菲的門徒，都知道：處理波要有一個波動程方才行啦！德拜薛定諤25.3薛定諤方程19瑞士聯邦工業大學又過了幾個星期原來薛定諤方程是利用經典物理，用類比的辦法得到的，或者說開始只不過是一個假定，爾后為實驗證實。物理討論會（1926）20定態薛定諤方程：如果粒子所處的勢場U(r)與時間無關(即 不顯含時間),可用分離變量法求解.令除以得這是兩個微分方程21(1)的解對比自由粒子波函數,常數E就是能量定態薛定諤方程稱能量算符或哈密頓算符式稱為的本征方程E稱為的本征值稱為的本征函數22勢阱內則其通解勢阱外oaxU25.4.1一維無限深方勢阱23式中A,B為待定系數與本征值En對應本征函數24阱外x0,xa勢阱內x正向波x反向波25一維無限深方勢阱中粒子的波函數和概率密度0a0a/2o26(2)無限深方勢阱粒子能譜為離散能譜，能級分布不均勻n越大,能級間隔越大。其余稱為激發態(3)勢阱中粒子波函數是駐波基態除x=-0,x=a無節點.第一激發態有一個節點,

k激發態有k=n-1個節點.(4)概率密度分布不均勻當n時過渡到經典力學(1)無限深方勢阱中粒子能量量子化

n是量子數，En稱為能級.E1E2E3E4a0Xa0X歸納：在某些極限條件下,量子規律可以轉化為經典規律。2725.4.2.勢壘穿透和隧道效應考慮E＜U0的情況研究穿透問題ⅠⅡⅢU(x)x0aU0ⅠⅡⅢ28上述各方程的解ⅠⅡⅢⅠⅡⅢU(x)x0aU0穿透系數29經典隧道效應量子3031例:設粒子在一維無限深方勢阱中運動,能量的量子數為n,試求:(1)距勢阱內壁四分之一寬度以內發現粒子的概率;(2)n為何值時在上述區域內找到粒子的概率最大;(3)當n時該概率的極值,并說明這一結果的物理意義.解:無限深方勢阱為00<x<a

x0,xa其歸一化波函數為概率密度a/40U(x)ax(x)(x)3a/43132(1)在距內壁四分之一寬度內發現粒子的概率為其中(2)n=3時上述區域找到粒子的概率最大,其值為:(3)與經典結果相同,在勢阱內粒子在各處出現的概率相等,量子力學過渡到經典力學.32例:設粒子處在[0,a]范圍內的一維無限深方勢阱中,波函數為試求粒子能量的可能測量值及相應的概率.解:在一維無限深方勢阱中能量本征值相應的能量本征函數為題中所給波函數為本征函數的線性組合,做變換如下:33測量能量為其概率為其概率為342.一維無限深勢阱中的粒子的定態物質波相當于兩端固定的弦中的駐波，因而勢阱寬度a必須等于德布羅意波的半波長的整數倍。(1)試由此求出粒子能量的本征值為：(2)在核(線度1.0×10-14m)內的質子和中子可以當成是處于無限深的勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動是自由的。按一維無限深方勢阱估算，質子從第一激發態到基態轉變時，放出的能量是多少MeV？解：在勢阱中粒子德布羅意波長為粒子的動量為：35粒子的能量為：(2)由上式，質子的基態能量為(n=1):第一激發態的能量為：n=1,2,3…36從第一激發態轉變到基態所放出的能量為：討論：實驗中觀察到的核的兩定態之間的能量差一般就是幾MeV,上述估算和此事實大致相符。n=1n=2n=337解：首先把給定的波函數歸一化做積分得3.設粒子處于由下面波函數描述的狀態：當當A是正的常數。求粒子在x軸上分布的概率密度;粒子在何處出現的概率最大?38因此，歸一化的波函數為當當歸一化之后，就代表概率密度了，即當當概率最大處:即x=039雙原子分子勢能曲線雙原子分子，晶體中的原子都在平衡位置附近作微小振動

1.線性諧振子定態薛定諤方程25.4.3一維諧振子40討論1.能量量子化能量本征值的零點能2.波函數41線性諧振子的位置概率密度分布線性諧振子的波函數423.量子力學n較小時,位置的概率密度分布與經典完全不同.隨著n,如n=11時量子和經典在平均上比較符合.43一、算符的定義作用在一個函數上得到另一函數的運算(變換)符號算符算符只是一種運算符號，它單獨存在是沒有意義的。它作用于波函數上，實現相應的運算才有意義。25.5力學量的平均值與算符例如44三、算符的本征（特征）值方程對于算符，如果ln

為常數則稱ln為的本征值。為與相應的本征函數。45例.力學量經典定義算符位置動量角動量

動能

總能量46五、對易關系經典力學量交換律，可對易量子力學？不對易記算符和的對易關系若算符和是對易的47基本對易關系不對易，不能同時具有確定值48在球極坐標中分別和對易，因而分別和同時有確定值，注意；當與同時有確定值時，和就不確定了。2，復習：利用49可求出比較；（處理H原子時用）50例粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動。求：（1）粒子處于某一能級上的位置平均值；（2）粒子處于基態時，出現在0.45a—0.55a區域內的概率。解：(1)由勢阱內本征函數以及平均值求法：力學量的平均值