《第4章圖形的相似》一、選擇題1．已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（）A．= B．= C．= D．=2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．63．下列兩個圖形一定相似的是（）A．兩個矩形 B．兩個等腰三角形C．兩個五邊形 D．兩個正方形4．如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應邊的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：45．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長線上一點，AE與CD相交于F，與△CEF相似的三角形有（）個．A．1 B．2 C．3 D．46．如圖，D為△ABC邊BC上一點，要使△ABD∽△CBA，應該具備下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=7．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，則BC的長為（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm8．如圖，在矩形COED中，點D的坐標是（1，3），則CE的長是（）A．3 B． C． D．49．如圖，線段CD兩個端點的坐標分別為C（3，3），D（4，1），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，則端點B的坐標為（）A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）10．關于對位似圖形的表述，下列命題正確的有（）①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′．A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點E，F，則的值是（）A． B． C． D．12．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函數在第四象限經過點B，若OA2﹣AB2=8，則k的值為______．二、填空題13．已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，且AC＜CB，則AC的長度為______．14．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=______．15．一塊矩形綢布的長AB=am，寬AD=1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是______．16．如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當他走到點C時，發現身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當他向前再步行12m到達點D時，發現身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小亮的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m．當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是______m．三、解答題17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．（1）證明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的長．18．如圖，AD是△ABC的高，點E，F在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積．（2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設EF=x，則y=______．（含x的代數式），當x=______時，y最大，最大面積是______．19．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點P是AB上一個動點．（1）當AP=3時，△DAP與△CBP相似嗎？請說明理由．（2）求PD+PC的最小值．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F．（1）證明：BE2=AE?DE；（2）若=1，=______；并說明理由．

《第4章圖形的相似》參考答案一、選擇題1．已知xy=mn，則把它改寫成比例式后，錯誤的是（）A．= B．= C．= D．=【解答】解：A、兩邊同時乘以最簡公分母ny得xy=mn，與原式相等；B、兩邊同時乘以最簡公分母mx得xy=mn，與原式相等；C、兩邊同時乘以最簡公分母mn得xn=my，與原式不相等；D、兩邊同時乘以最簡公分母my得xy=mn，與原式相等；故選C．2．已知，那么的值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由=2，得==3．故選：A．3．下列兩個圖形一定相似的是（）A．兩個矩形 B．兩個等腰三角形C．兩個五邊形 D．兩個正方形【解答】解：A、兩個矩形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意；B、兩個等腰三角形頂角不一定相等，故不符合題意；C、兩個五邊形，對應角相等，對應邊不一定成比例，故不符合題意；D、兩個正方形，形狀相同，大小不一定相同，符合相似性定義，故符合題意．故選D．4．如果兩個相似多邊形面積的比是4：9，那么這兩個相似多邊形對應邊的比是（）A．4：9 B．2：3 C．16：81 D．9：4【解答】解：∵兩個相似多邊形面積的比是4：9，∴這兩個相似多邊形對應邊的比是2：3．故選B．5．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，E是BC的延長線上一點，AE與CD相交于F，與△CEF相似的三角形有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠FAE=∠ABE，∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，∴△BEA∽△CEF，△DAF∽△CEF．故選B．6．如圖，D為△ABC邊BC上一點，要使△ABD∽△CBA，應該具備下列條件中的（）A．= B．= C．= D．=【解答】解：當=時，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBA．故選：C．7．如圖，在△ABC中，若DE∥BC，，DE=3cm，則BC的長為（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵，∴，∵DE=3cm，∴=，解得：DE=9cm．故選C．8．如圖，在矩形COED中，點D的坐標是（1，3），則CE的長是（）A．3 B． C． D．4【解答】解：∵四邊形COED是矩形，∴CE=OD，∵點D的坐標是（1，3），∴OD==，∴CE=，故選C．9．如圖，線段CD兩個端點的坐標分別為C（3，3），D（4，1），以原點O為位似中心，在第一象限內將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，則端點B的坐標為（）A．（6，6） B．（6，8） C．（8，6） D．（8，2）【解答】解：因為以原點O為位似中心，在第一象限內將線段CD放大為原來的2倍后得到線段AB，所以點B的坐標為（4×2，1×2），即（8，2）．故選D．10．關于對位似圖形的表述，下列命題正確的有（）①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；④位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′．A．①②③④ B．②③④ C．②③ D．②④【解答】解：①位似圖形一定是相似圖形，但是相似圖形不一定是位似圖形；故錯誤；②位似圖形一定有位似中心；正確；③如果兩個圖形是相似圖形，且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點，那么這兩個圖形是位似圖形；正確；④位似圖形上任意一組對應點P，P′與位似中心O的距離滿足OP=k?OP′；正確．故選B．11．如圖，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠DAB=90°，AC⊥BC，AC=BC，∠ABC的平分線分別交AD、AC于點E，F，則的值是（）A． B． C． D．【解答】解：作FG⊥AB于點G，∵∠DAB=90°，∴AE∥FG，∴=，∵AC⊥BC，∴∠ACB=90°，又∵BE是∠ABC的平分線，∴FG=FC，在Rt△BGF和Rt△BCF中，∴Rt△BGF≌Rt△BCF（HL），∴CB=GB，∵AC=BC，∴∠CBA=45°，∴AB=BC，∴====+1．故選：C．12．如圖，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，反比例函數在第四象限經過點B，若OA2﹣AB2=8，則k的值為﹣4．【解答】解：設B點坐標為（a，b），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，∵OA2﹣AB2=8，∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4，∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4，∴（OC+BD）?CD=4，∵點B在第四象限，∴a?b=﹣4，∴k=﹣4．故答案為：﹣4．二、填空題13．已知線段AB=1，C是線段AB的黃金分割點，且AC＜CB，則AC的長度為．【解答】解：由于C為線段AB=1的黃金分割點，且AC＜CB，則AC=1﹣=．故本題答案為：．14．如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、BC上的點，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，則S△BDE：S△ACD=1：20．【解答】解；∵S△BDE：S△DEC=1：4，∴BE：EC=1：4，∴BE：BC=1：5，∵DE∥AC，∴△BED∽△BCA，∴==，設S△BED=k，則S△DEC=4k，S△ABC=25k，∴S△ADC=20k，∴S△BDE：S△DCA=1：20．故答案為：1：20．15．一塊矩形綢布的長AB=am，寬AD=1m，按照圖中所示的方式將它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，即，那么a的值應當是．【解答】解：∵使裁出的每面彩旗的寬與長的比與原綢布的寬與長的比相同，∴，∴a2=，∴a=．故答案為：．16．如圖，小亮在晚上由路燈A走向路燈B，當他走到點C時，發現身后他影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當他向前再步行12m到達點D時，發現身前他影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部．已知小亮的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m．當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m．【解答】解：如圖，當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長為BH，CE=DF=BG=1.5m，AM=BN=9m，CD=12m，∵CE∥BN，∴△ACE∽△ABN，∴=，即=，同理可得=，∴AC=BD，∴AC=BD=AB，∵AC+CD+DB=AB，∴AB+12+AB=AB，解得AB=18，∵BG∥AM，∴△HBG∽△HAM，∴=，即=，解得BH=．即當小亮走到路燈B時，他在路燈A下的影長是3.6m．故答案為．三、解答題17．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D．（1）證明：△ACD∽△CBD；（2）已知AD=2，BD=4，求CD的長．【解答】證明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=∠CDB=90°，∵∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CBD；（2）由（1）知△ACD∽△CBD，∴，∴CD2=AD?BD=2×4=8，∴CD=2．18．如圖，AD是△ABC的高，點E，F在邊BC上，點H在邊AB上，點G在邊AC上，AD=80cm，BC=120cm．（1）若四邊形EFGH是正方形，求正方形的面積．（2）若四邊形EFGH是長方形，長方形的面積為y，設EF=x，則y=﹣x2+80x．（含x的代數式），當x=60cm時，y最大，最大面積是240cm2．【解答】解：（1）∵四邊形EFGH是正方形，∴HG∥EF，GH=HE=ID，∴△AHG∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，∵BC=120cm，AD=80cm，∴，解得：HG=48cm，∴正方形EFGH的面積=HG2=482=2304（cm2）；（2）∵四邊形EFGH是長方形，∴HG∥EF，∴△AEF∽△ABC，∴AI：AD=HG：BC，即，解得：HE=﹣x+80，∴長方形EFGH的面積y=x（﹣x+80）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+240，∵﹣＜0，∴當x=60，即EF=60cm時，長方形EFGH有最大面積，最大面積是240cm2；故答案為：﹣x2+80x，60cm，240cm2．19．如圖，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=6，AB=7，BC=8，點P是AB上一個動點．（1）當AP=3時，△DAP與△CBP相似嗎？請說明理由．（2）求PD+PC的最小值．【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，AD∥BC，∴∠BAD=90°．∴∠A=∠B=90°．∵AP=3，AB=7，∴PB=4．∴，．∴．∴△DAP∽△CBP．（2）如圖所示：點D關于AB的對稱點D′，連接D′C交BA于點P，過點D′作D′E⊥BC，垂足為E．∵點D與點D′關于AB對稱，∴PD=D′P．∴PD+PC=D′P+PC=D′C．在Rt△D′EC中，由勾股定理得：D′C===7．∴PD+PC的最小值為7．20．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為BC邊上的點，BE⊥AD于點E，延長BE交AC于點F．（1）證明：BE2=AE?DE；（