人教版八年級下冊《第16章二次根式》單元測試（福建省廈門一中）一、精心選一選，慧眼識金！1．若Rt△ABC中，∠C=90°且c=13，a=12，則b=（）A．11 B．8 C．5 D．32．下列各組數中以a，b，c為邊的三角形不是Rt△的是（）A．a=2，b=3，c=4 B．a=5，b=12，c=13C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=53．如圖：a，b，c表示以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積，則下列結論正確的是（）A．a2+b2=c2 B．ab=c C．a+b=c D．a+b=c24．等邊三角形的邊長為2，則該三角形的面積為（）A． B． C． D．35．若等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則底邊上的高為（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知直角三角形的兩邊長分別是5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．不能確定7．下列命題：①如果a，b，c為一組勾股數，那么4a，4b，4c仍是勾股數；②如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④8．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形9．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，則BC的長為（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不對10．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里二、耐心填一填，一錘定音！11．若一個三角形的三邊滿足c2﹣a2=b2，則這個三角形是．12．木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，則這個桌面（填“合格”或“不合格”）．13．命題“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是，逆命題是命題（填“真”或“假”）．14．如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為．15．如圖將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F處，已知CE=3，AB=8，則BF=．16．一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是cm．17．如圖所示，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露出在杯子外面的部分長為hcm，則h的取值范圍是．三、用心做一做，馬到成功！（共49分）18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，（1）求AB的長；（2）求CD的長．19．如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°．求四邊形ABCD的面積．20．如圖，在數軸上畫出表示的點（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）．21．三個半圓的面積分別為S1=π，S2=8π，S3=π，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則△ABC一定是直角三角形嗎？說明理由．22．觀察下列各式，你有什么發現？32=4+5，52=12+13，72=24+2592=40+41…這到底是巧合，還是有什么規律蘊涵其中呢？（1）填空：132=+；（2）請寫出你發現的規律；（3）結合勾股定理有關知識，說明你的結論的正確性．23．印度數學家什迦邏（1141年﹣1225年）曾提出過“荷花問題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊，漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠；能算諸君請解題，湖水如何知深淺”請用學過的數學知識回答這個問題．24．為了豐富少年兒童的業余生活，某社區要在如圖所示AB所在的直線建一圖書室，本社區有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，試問：圖書室E應該建在距點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等？

人教版八年級下冊《第16章二次根式》單元測試（福建省廈門一中）參考答案與試題解析一、精心選一選，慧眼識金！1．若Rt△ABC中，∠C=90°且c=13，a=12，則b=（）A．11 B．8 C．5 D．3【考點】勾股定理．【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理可得b=，代入數據可得出b的長度．【解答】解：∵三角形ABC是直角三角形，∠C=90°，∴AC=，即b===5，故選C．【點評】此題考查了勾股定理的知識，屬于基礎題，解答本題的關鍵是掌握勾股定理在解直角三角形中的運用．2．下列各組數中以a，b，c為邊的三角形不是Rt△的是（）A．a=2，b=3，c=4 B．a=5，b=12，c=13C．a=6，b=8，c=10 D．a=3，b=4，c=5【考點】勾股定理的逆定理．【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關系，這個就是直角三角形．【解答】解：A選項中，∵22+32=42，∴2，3，4不能作為直角三角形的三邊長；B、C、D選項的三個數都滿足這種關系，能作為直角三角形的三邊長．故選A．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷．3．如圖：a，b，c表示以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積，則下列結論正確的是（）A．a2+b2=c2 B．ab=c C．a+b=c D．a+b=c2【考點】勾股定理．【分析】由于三角形是直角三角形，而它們的旁邊是正方形，根據勾股定理即可解答．【解答】解：∵a、b、c表示以直角三角形三邊為邊長的正方形的面積，∴a=AC2，b=BC2，c=AB2．又∵在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2．∴a+b=c．故選C．【點評】此題首先要確定中間三角形為直角三角形，再求出三邊，用勾股定理來求三邊之間的關系．4．等邊三角形的邊長為2，則該三角形的面積為（）A． B． C． D．3【考點】等邊三角形的性質．【專題】計算題．【分析】如圖，作CD⊥AB，則CD是等邊△ABC底邊AB上的高，根據等腰三角形的三線合一，可得AD=1，所以，在直角△ADC中，利用勾股定理，可求出CD的長，代入面積計算公式，解答出即可；【解答】解：作CD⊥AB，∵△ABC是等邊三角形，AB=BC=AC=2，∴AD=1，∴在直角△ADC中，CD===，∴S△ABC=×2×=；故選C．【點評】本題主要考查了等邊三角形的性質及勾股定理的應用，根據題意，畫出圖形可利于解答，體現了數形結合思想．5．若等腰三角形的腰長為10，底邊長為12，則底邊上的高為（）A．6 B．7 C．8 D．9【考點】勾股定理；等腰三角形的性質．【分析】先作底邊上的高，由等腰三角形的性質和勾股定理即可求出此高的長度．【解答】解：作底邊上的高并設此高的長度為x，則根據勾股定理得：62+x2=102；解得：x=8，故選C．【點評】本題考點：等腰三角形底邊上高的性質和勾股定理，等腰三角形底邊上的高所在直線為底邊的中垂線．然后根據勾股定理即可求出底邊上高的長度．6．已知直角三角形的兩邊長分別是5和12，則第三邊為（）A．13 B． C．13或 D．不能確定【考點】勾股定理．【專題】分類討論．【分析】本題已知直角三角形的兩邊長，但未明確這兩條邊是直角邊還是斜邊，所以求第三邊的長必須分類討論，即12是斜邊或直角邊的兩種情況，然后利用勾股定理求解．【解答】解：當12是斜邊時，第三邊長==；當12是直角邊時，第三邊長==13；故第三邊的長為：或13．故選C．【點評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，當已知條件中沒有明確哪是斜邊時，要注意分類討論．7．下列命題：①如果a，b，c為一組勾股數，那么4a，4b，4c仍是勾股數；②如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊必是13；③如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形必是直角三角形；④一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1．其中正確的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④【考點】命題與定理．【分析】根據勾股定理對①進行判斷；利用分類討論的思想和勾股定理對②進行判斷；根據勾股定理的逆定理對③進行判斷；根據等腰直角三角形的性質對④進行判斷．【解答】解：如果a，b，c為一組勾股數，那么4a，4b，4c仍是勾股數，所以①正確；如果直角三角形的兩邊是5、12，那么斜邊是13或，所以②錯誤；如果一個三角形的三邊是12、25、21，那么此三角形不是直角三角形，所以③錯誤；一個等腰直角三角形的三邊是a，b，c（a＞b=c），那么a2：b2：c2=2：1：1，所以④正確．故選C．【點評】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．8．三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（）A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形【考點】勾股定理的逆定理．【分析】對等式進行整理，再判斷其形狀．【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故選：C．【點評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．9．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，則BC的長為（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不對【考點】勾股定理．【專題】分類討論．【分析】分兩種情況討論：銳角三角形和鈍角三角形，根據勾股定理求得BD，CD，再由圖形求出BC，在銳角三角形中，BC=BD+CD，在鈍角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，則BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，則CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）鈍角△ABC中，AB=13，AC=15，BC邊上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，則BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，則CD=9，故BC的長為DC﹣BD=9﹣5=4．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理，把三角形邊的問題轉化到直角三角形中用勾股定理解答．10．已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）A．25海里 B．30海里 C．35海里 D．40海里【考點】勾股定理的應用；方向角．【分析】根據方位角可知兩船所走的方向正好構成了直角．然后根據路程=速度×時間，得兩條船分別走了32，24．再根據勾股定理，即可求得兩條船之間的距離．【解答】解：∵兩船行駛的方向是東北方向和東南方向，∴∠BAC=90°，兩小時后，兩艘船分別行駛了16×2=32海里，12×2=24海里，根據勾股定理得：=40（海里）．故選D．【點評】熟練運用勾股定理進行計算，基礎知識，比較簡單．二、耐心填一填，一錘定音！11．若一個三角形的三邊滿足c2﹣a2=b2，則這個三角形是直角三角形．【考點】勾股定理的逆定理．【專題】推理填空題．【分析】對原式變形，利用勾股定理的逆定理，從而確定三角形的形狀．【解答】解：∵c2﹣a2=b2，∴a2+b2=c2，∴此三角形是直角三角形．【點評】本題考查勾股定理的逆定理的應用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．12．木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm，寬為60cm，對角線為100cm，則這個桌面合格（填“合格”或“不合格”）．【考點】矩形的判定；勾股定理的應用．【分析】只要算出桌面的長與寬的平方和是否等于對角線的平方，如果相等可得長、寬、對角線構成的是直角三角形，由此可得到每個角都是直角，根據矩形的判定：有三個角是直角的四邊形是矩形，可得此桌面合格．【解答】解：∵802+602=10000=1002，即：AD2+DC2=AC2，∴∠D=90°，同理：∠B=∠BCD=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴這個桌面合格．故答案為：合格．【點評】本題考查的是勾股定理逆定理在實際中的應用，以及矩形的判定，關鍵是熟練掌握勾股定理逆定理與矩形的判定方法；勾股定理逆定理：在一個三角形中，兩條邊的平方和等于另一條邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形；矩形的判定方法：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．13．命題“等腰三角形兩底角相等”的逆命題是兩個角相等三角形是等腰三角形，逆命題是真命題（填“真”或“假”）．【考點】命題與定理．【專題】常規題型．【分析】先找到原命題的題設和結論，再將題設和結論互換，即可而得到原命題的逆命題，繼而也能判斷出真假．【解答】解：因為原命題的題設是：“一個三角形是等腰三角形”，結論是“這個三角形兩底角相等”，所以命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題是“兩個角相等三角形是等腰三角形”，是真命題．故答案為：兩個角相等三角形是等腰三角形，真．【點評】本題考查逆命題的知識，屬于基礎題，根據逆命題的概念來回答：對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另外一個命題的結論和條件，那么這兩個命題叫做互逆命題，其中一個命題叫做原命題，另外一個命題叫做原命題的逆命題．14．如圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5，則正方形A，B，C，D的面積的和為25．【考點】正方形的性質；勾股定理．【專題】轉化思想．【分析】根據題意仔細觀察可得到正方形A，B，C，D的面積的和等于最大的正方形的面積，已知最大的正方形的邊長則不難求得其面積．【解答】解：由圖可看出，A，B的面積和等于其相鄰的直角三角形的斜邊的平方，即等于最大正方形上方的三角形的一個直角邊的平方；C，D的面積和等于與其相鄰的三角形的斜邊的平方，即等于最大正方形的另一直角邊的平方，則A，B，C，D四個正方形的面積和等于最大的正方形上方的直角三角形的斜邊的平方即等于最大的正方形的面積，因為最大的正方形的邊長為5，則其面積是25，即正方形A，B，C，D的面積的和為25．故答案為25．【點評】此題結合正方形的面積公式以及勾股定理發現各正方形的面積之間的關系．15．如圖將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點D恰好落在BC邊上F處，已知CE=3，AB=8，則BF=6．【考點】勾股定理；翻折變換（折疊問題）．【分析】設BC=x，AF可用含x的式子表示，CF可以根據勾股定理求出，然后用x表示出BF，在Rt△ABF中，利用勾股定理，可建立關于x的方程，即可得出BF的長．【解答】解：由折疊的性質知：AD=AF，DE=EF=8﹣3=5；在Rt△CEF中，EF=DE=5，CE=3，由勾股定理可得：CF=4，若設AD=AF=x，則BC=x，BF=x﹣4；在Rt△ABF中，由勾股定理可得：82+（x﹣4）2=x2，解得x=10，故BF=x﹣4=6．故答案為：6．【點評】考查了勾股定理的應用，綜合能力要求較高．同時也考查了列方程求解的能力．16．一只螞蟻從長為4cm、寬為3cm，高是5cm的長方體紙箱的A點沿紙箱爬到B點，那么它所行的最短路線的長是cm．【考點】平面展開﹣最短路徑問題．【分析】先將圖形展開，再根據兩點之間線段最短，再由勾股定理求解即可．【解答】解：將長方體展開，如圖1所示，連接A、B，根據兩點之間線段最短，AB==cm；如圖2所示，=4cm，∵＜4，∴螞蟻所行的最短路線為cm．故答案為：【點評】本題是一道趣味題，將長方體展開，根據兩點之間線段最短，運用勾股定理解答即可．17．如圖所示，將一根長24cm的筷子，置于底面直徑為9cm，高為12cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露出在杯子外面的部分長為hcm，則h的取值范圍是9≤h≤12cm．【考點】勾股定理的應用．【分析】當筷子與杯底垂直時h最大，當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，據此可以得到h的取值范圍．【解答】解：當筷子與杯底垂直時h最大，h最大=24﹣12=12cm．當筷子與杯底及杯高構成直角三角形時h最小，此時，在杯子內部分==15cm，故h=24﹣15=9cm．故h的取值范圍是9≤h≤12cm．故答案為：9≤h≤12cm．【點評】此題將勾股定理與實際問題相結合，考查了同學們的觀察力和由具體到抽象的推理能力，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形求出h的最大及最小值，有一定難度．三、用心做一做，馬到成功！（共49分）18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AC=6，BC=8，（1）求AB的長；（2）求CD的長．【考點】勾股定理．【分析】（1）用勾股定理求出斜邊AB的長度；（2）用面積就可以求出斜邊上的高．【解答】解：（1）在Rt△ABC中由勾股定理得：AB==10；（2）由面積公式得：S△ABC=AC?BC=AB?CD∴CD=6×8÷2×2÷10=．【點評】考查了勾股定理，利用勾股定理和直角三角形的面積相結合，求解斜邊上的高是解直角三角形的重要題型之一，也是中考的熱點．19．如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，CD=12cm，DA=13cm，且∠ABC=90°．求四邊形ABCD的面積．【考點】勾股定理；三角形的面積；勾股定理的逆定理．【分析】連接AC，得到直角三角形△ABC，利用勾股定理可以求出AC，根據數據特點，再利用勾股定理逆定理可以得到△ACD也是直角三角形，這樣四邊形的面積就被分解成了兩個直角三角形的面積，代入面積公式就可以求出答案．【解答】解：連接AC，∵∠ABC=90°，AB=4，BC=3，∴根據勾股定理AC==5（cm），又∵CD=12cm，AD=13cm，∴AC2+DC2=52+122=169，AD2=132=169，根據勾股定理的逆定理：∠ACD=90°．∴四邊形ABCD的面積=S△ABC+S△ACD=×3×4+×5×12=36（cm2）．【點評】本題主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理．20．如圖，在數軸上畫出表示的點（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）．【考點】勾股定理；實數與數軸．【專題】作圖題．【分析】根據勾股定理，作出以1和4為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長即是；再以原點為圓心，以為半徑畫弧與數軸的正半軸的交點即為所求．【解答】解：所畫圖形如下所示，其中點A即為所求．【點評】本題考查勾股定理及實數與數軸的知識，要求能夠正確運用數軸上的點來表示一個無理數，解題關鍵是構造直角三角形，并靈活運用勾股定理．21．三個半圓的面積分別為S1=π，S2=8π，S3=π，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則△ABC一定是直角三角形嗎？說明理由．【考點】勾股定理的逆定理．【分析】根據S1、S2、S3，可得出AC2，BC2及AB2，根據勾股定理的逆定理可得出三角形是直角三角形．【解答】解：∵S1=π（）2=π，S2=π（）2=8π，S3=π（）2=π，∴AC2=36，BC2=64，AB2=100，又∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC一定是直角三角形．【點評】本題考查了勾股定理的逆定理的知識，關鍵是根據面積表示出AC2，BC2及AB2，要求熟練掌握勾股定理的逆定理．22．觀察下列各式，你有什么發現？32=4+5，52=12+13，72=24+2592=40+41…這到底是巧合，還是有什么規律蘊涵其中呢？（1）填空：132=84+85；（2）請寫出你發現的規律；（3）結合勾股定理有關知識，