廣州市荔灣區2023屆高一下學期期末考試數學本試卷共4頁，22小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘。第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題所給的四個選項中，只有一個是正確的．1.與角的終邊相同的角是A.B.C.D.2.不等式表示的區域在直線的A.左上方B.左下方C.右上方D.右下方3.已知角的終邊經過點，則的值是A.B.C.D.4.不等式的解集是A．B．C．D．5.若是第四象限角，則的值是Ａ． B．Ｃ．Ｄ．6.若，下列命題正確的是A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則7.要得到函數圖象，只需把函數圖象A．向左平移個單位B．向右平移個單位C．向左平移個單位D．向右平移個單位8.已知是平行四邊形的對角線的交點，為平面內任意—點，則等于A.B.C.D.9.若，則的值是A.B．Ｃ．D．10.已知直角三角形的兩條直角邊的和等于，則直角三角形的面積的最大值是A.B.C.D.11.已知點在函數的圖象上，則數列的前項和的最小值為A．B．C．D．12.若鈍角的內角成等差數列，且最大邊長與最小邊長的比值為，則的取值范圍是 A． B． C．D．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.把答案填在答題卡上.13.若向量，則的值為．14.若關于的方程沒有實數根，則實數的取值范圍是．15.設實數滿足則的最大值是．16.設，則的單調遞減區間是．三、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知等比數列的前項和為，公比為，證明：．18．（本小題滿分12分）已知平面向量，滿足，．（1）若與的夾角，求的值；（2）若，求實數的值.19.（本小題滿分12分）在中，內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．20．（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，且，．（1）證明：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和．21.(本小題滿分12分)某電力部門需在、兩地之間架設高壓電線，因地理條件限制，不能直接測量、兩地距離.現測量人員在相距的、兩地（假設、、、在同一平面上）測得∠，，，（如圖），假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實際所須電線長度為、距離的倍，問施工單位應該準備多長的電線？22.(本小題滿分12分)已知為銳角的內角，，，.（1），，能否構成等差數列？并證明你的結論；（2）求的最小值.數學參考答案說明：1．參考答案與評分標準給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與參考答案不同，可根據試題主要考查的知識點和能力對照評分標準給以相應的分數．2．對解答題中的計算題，當考生的解答在某一步出現錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的得分，但所給分數不得超過該部分正確解答應得分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分．3．解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數．4．只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分．一、選擇題題號123456789101112答案ADCDBＡCAACBB二、填空題13.14.15.16.三、解答題：本大題共6小題，滿分70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)已知等比數列的前項和為，公比為，證明：．證法1：（錯位相減法）因為，…………………2分所以…………………4分…………………6分所以…………………8分當時，有．…………………10分證法2：（疊加法）因為是公比為的等比數列，所以，，…………………2分所以，，…，，…………………6分相加得.…………………8分所以當≠1時，.…………………10分證法3：（拆項法）當≠1時，，…………………2分，……，，…………………8分以上個式子相加得.…………………10分18．（本小題滿分12分）已知平面向量，滿足，．（1）若與的夾角，求的值；（2）若，求實數的值.題根：《數學4》例1、例2、例4．（綜合變式）解：（1），…………………2分…………………3分…………………4分又，，所以，…………………5分所以.…………………6分（2）因為，所以，…………………7分即…………………9分因為，，所以，…………………11分即.…………………12分19.（本小題滿分12分）在中，內角的對邊分別為，已知．（1）求；（2）若，，求的面積．（根據2023課標卷Ⅱ理數17改編，正弦、余弦定理及三角變換的綜合問題）解：（1）解法1：由及正弦定理可得.…………………2分在中，，所以.…………………4分由以上兩式得，即，…………………5分又，所以．…………………6分解法2：由及余弦定理可得，…………………2分即，…………………3分由余弦定理得由以上兩式得，即，…………………5分又，所以．…………………6分（2）的面積，…………………7分由，及余弦定理得，…………………8分因為，所以，即，…………………10分故的面積．………………12分20．（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，且，．（1）證明：數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和．題根：《數學5》2.2習題B組第4題.（變式題）解：（1）因為，，…………………1分又，所以，…………………2分即，所以．…………………4分故數列是首項為，公比為的等比數列．…………………6分（2）由（1）得，即．…………………8分所以，……10分故數列的前項和．…12分21.(本小題滿分12分)某電力部門需在、兩地之間架設高壓電線，因地理條件限制，不能直接測量、兩地距離.現測量人員在相距的、兩地（假設、、、在同一平面上）測得∠，，，（如圖），假如考慮到電線的自然下垂和施工損耗等原因，實際所須電線長度為、距離的倍，問施工單位應該準備多長的電線？題根：《數學5》1.2例2.（改編題）解：在中，由已知得，又,所以．……………………2分在中，由已知可得，由正弦定理得.…………………6分在中，由余弦定理得，………9分所以，．……………………10分故施工單位應該準備電線長為.………………12分22.(本小題滿分12分)已知為銳角的內角，，，.（1），，能否構成等差數列？并證明你的結論；（2）求的最小值.（據2023年江蘇卷第14題改編，三角變換、平面向量、數列及基本不等式的綜合問題）解：（1）依題意有.……………2分在中，，所以，………………3分所以.…………………4分因為為銳角三角形，所以，所以，……………5分所以，，成等差數列.……6分（2）法一：在銳角中，，……7分即，………