2023年廣西桂林市中考數學試卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分1．下列實數中小于0的數是（）A．2023B．﹣2023C．D．2．如圖，直線a∥b，c是截線，∠1的度數是（）A．55°B．75°C．110°D．125°3．一組數據7，8，10，12，13的平均數是（）A．7B．9C．10D．124．下列幾何體的三視圖相同的是（）A．圓柱B．球C．圓錐D．長方體5．下列圖形一定是軸對稱圖形的是（）A．直角三角形B．平行四邊形C．直角梯形D．正方形6．計算3﹣2的結果是（）A．B．2C．3D．67．下列計算正確的是（）A．（xy）3=xy3B．x5÷x5=xC．3x2?5x3=15x5D．5x2y3+2x2y3=10x4y98．如圖，直線y=ax+b過點A（0，2）和點B（﹣3，0），則方程ax+b=0的解是（）A．x=2B．x=0C．x=﹣1D．x=﹣39．當x=6，y=3時，代數式（）?的值是（）A．2B．3C．6D．910．若關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞511．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉90°后得線段ED，分別以O，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π12．已知直線y=﹣x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（）A．3個B．4個C．5個D．6個二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分13．分解因式：x2﹣36=．14．若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．15．把一副普通撲克牌中的數字2，3，4，5，6，7，8，9，10的9張牌洗均勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取一張，抽出的牌上的數恰為3的倍數的概率是．16．正六邊形的每個外角是度．17．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，點O是AB中點，連接OH，則OH=．18．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是．三、解答題：本大題共8小題，共66分19．計算：﹣（﹣4）+|﹣5|+﹣4tan45°．20．解不等式組：．21．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E，F分別是OA，OC的中點，連接BE，DF（1）根據題意，補全原形；（2）求證：BE=DF．22．某校為了解本校九年級男生“引體向上”項目的訓練情況，隨機抽取該年級部分男生進行了一次測試（滿分15分，成績均記為整數分），并按測試成績（單位：分）分成四類：A類（12≤m≤15），B類（9≤m≤11），C類（6≤m≤8），D類（m≤5）繪制出以下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息解答下列問題：（1）本次抽取樣本容量為，扇形統計圖中A類所對的圓心角是度；（2）請補全統計圖；（3）若該校九年級男生有300名，請估計該校九年級男生“引體向上”項目成績為C類的有多少名？23．已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式﹣﹣海倫公式S=（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=，S為三角形的面積），并給出了證明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：∵a=3，b=4，c=5∴p==6∴S===6事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數學家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海倫公式求△ABC的面積；（2）求△ABC的內切圓半徑r．24．五月初，我市多地遭遇了持續強降雨的惡劣天氣，造成部分地區出現嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物品共2000件送往災區，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用350元購買甲種物品的件數恰好與用300元購買乙種物品的件數相同（1）求甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元？（2）經調查，災區對乙種物品件數的需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金多少元？25．如圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，過點D作DE∥AB交圓O于點E（1）證明點C在圓O上；（2）求tan∠CDE的值；（3）求圓心O到弦ED的距離．26．如圖1，已知開口向下的拋物線y1=ax2﹣2ax+1過點A（m，1），與y軸交于點C，頂點為B，將拋物線y1繞點C旋轉180°后得到拋物線y2，點A，B的對應點分別為點D，E．（1）直接寫出點A，C，D的坐標；（2）當四邊形ABCD是矩形時，求a的值及拋物線y2的解析式；（3）在（2）的條件下，連接DC，線段DC上的動點P從點D出發，以每秒1個單位長度的速度運動到點C停止，在點P運動的過程中，過點P作直線l⊥x軸，將矩形ABDE沿直線l折疊，設矩形折疊后相互重合部分面積為S平方單位，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數關系．2023年廣西桂林市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題3分，共36分1．下列實數中小于0的數是（）A．2023B．﹣2023C．D．【考點】實數大小比較．【分析】根據正數大于負數0，0大于負數進行選擇即可．【解答】解：∵﹣2023是負數，∴﹣2023＜0，故選B．2．如圖，直線a∥b，c是截線，∠1的度數是（）A．55°B．75°C．110°D．125°【考點】平行線的性質．【分析】根據平行線的性質即可得到結論．【解答】解：∵直線a∥b，∴∠1=55°，故選A．3．一組數據7，8，10，12，13的平均數是（）A．7B．9C．10D．12【考點】算術平均數．【分析】根據平均數的定義：平均數是指在一組數據中所有數據之和再除以數據的個數進行計算即可．【解答】解：（7+8+10+12+13）÷5=50÷5=10答：一組數據7，8，10，12，13的平均數是10．故選：C．4．下列幾何體的三視圖相同的是（）A．圓柱B．球C．圓錐D．長方體【考點】簡單幾何體的三視圖．【分析】找出圓柱，球，圓錐，以及長方體的三視圖，即可做出判斷．【解答】解：A、圓柱的三視圖，如圖所示，不合題意；B、球的三視圖，如圖所示，符合題意；C、圓錐的三視圖，如圖所示，不合題意；D、長方體的三視圖，如圖所示，不合題意；．故選B5．下列圖形一定是軸對稱圖形的是（）A．直角三角形B．平行四邊形C．直角梯形D．正方形【考點】軸對稱圖形．【分析】根據軸對稱圖形的概念，結合選項求解即可．【解答】解：A、直角三角形中只有等腰直角三角形為軸對稱圖形，本選項錯誤；B、平行四邊形不是軸對稱圖形，本選項錯誤；C、直角梯形不是軸對稱圖形，本選項錯誤；D、正方形是軸對稱圖形，本選項正確．故選D．6．計算3﹣2的結果是（）A．B．2C．3D．6【考點】二次根式的加減法．【分析】直接利用二次根式的加減運算法則求出答案．【解答】解：原式=（3﹣2）=．故選：A．7．下列計算正確的是（）A．（xy）3=xy3B．x5÷x5=xC．3x2?5x3=15x5D．5x2y3+2x2y3=10x4y9【考點】單項式乘單項式；合并同類項；冪的乘方與積的乘方；同底數冪的除法．【分析】A、原式利用積的乘方運算法則計算得到結果，即可作出判斷；B、原式利用同底數冪的乘法法則計算得到結果，即可作出判斷；C、原式利用單項式乘單項式法則計算得到結果，即可作出判斷；D、原式合并同類項得到結果，即可作出判斷．【解答】解：A、原式=x3y3，錯誤；B、原式=1，錯誤；C、原式=15x5，正確；D、原式=7x2y3，錯誤，故選C8．如圖，直線y=ax+b過點A（0，2）和點B（﹣3，0），則方程ax+b=0的解是（）A．x=2B．x=0C．x=﹣1D．x=﹣3【考點】一次函數與一元一次方程．【分析】所求方程的解，即為函數y=ax+b圖象與x軸交點橫坐標，確定出解即可．【解答】解：方程ax+b=0的解，即為函數y=ax+b圖象與x軸交點的橫坐標，∵直線y=ax+b過B（﹣3，0），∴方程ax+b=0的解是x=﹣3，故選D9．當x=6，y=3時，代數式（）?的值是（）A．2B．3C．6D．9【考點】分式的化簡求值．【分析】先對所求的式子化簡，然后將x=6，y=3代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：（）?==，當x=6，y=3時，原式=，故選C．10．若關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A．k＜5B．k＜5，且k≠1C．k≤5，且k≠1D．k＞5【考點】根的判別式；一元二次方程的定義．【分析】根據方程為一元二次方程且有兩個不相等的實數根，結合一元二次方程的定義以及根的判別式即可得出關于k的一元一次不等式組，解不等式組即可得出結論．【解答】解：∵關于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有兩個不相等的實數根，∴，即，解得：k＜5且k≠1．故選B．11．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉90°后得線段ED，分別以O，E為圓心，OA、ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分面積是（）A．πB．C．3+πD．8﹣π【考點】扇形面積的計算；旋轉的性質．【分析】作DH⊥AE于H，根據勾股定理求出AB，根據陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積、利用扇形面積公式計算即可．【解答】解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=3，OB=2，∴AB==，由旋轉的性質可知，OE=OB=2，DE=EF=AB=，△DHE≌△BOA，∴DH=OB=2，陰影部分面積=△ADE的面積+△EOF的面積+扇形AOF的面積﹣扇形DEF的面積=×5×2+×2×3+﹣=8﹣π，故選：D．12．已知直線y=﹣x+3與坐標軸分別交于點A，B，點P在拋物線y=﹣（x﹣）2+4上，能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有（）A．3個B．4個C．5個D．6個【考點】二次函數圖象上點的坐標特征；一次函數圖象上點的坐標特征；等腰三角形的判定．【分析】以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC，由直線y=﹣x+3可求出點A、B的坐標，結合拋物線的解析式可得出△ABC等邊三角形，再令拋物線解析式中y=0求出拋物線與x軸的兩交點的坐標，發現該兩點與M、N重合，結合圖形分三種情況研究△ABP為等腰三角形，由此即可得出結論．【解答】解：以點B為圓心線段AB長為半徑做圓，交拋物線于點C、M、N點，連接AC、BC，如圖所示．令一次函數y=﹣x+3中x=0，則y=3，∴點A的坐標為（0，3）；令一次函數y=﹣x+3中y=0，則﹣x+3，解得：x=，∴點B的坐標為（，0）．∴AB=2．∵拋物線的對稱軸為x=，∴點C的坐標為（2，3），∴AC=2=AB=BC，∴△ABC為等邊三角形．令y=﹣（x﹣）2+4中y=0，則﹣（x﹣）2+4=0，解得：x=﹣，或x=3．∴點E的坐標為（﹣，0），點F的坐標為（3，0）．△ABP為等腰三角形分三種情況：①當AB=BP時，以B點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M、N三點；②當AB=AP時，以A點為圓心，AB長度為半徑做圓，與拋物線交于C、M兩點，；③當AP=BP時，作線段AB的垂直平分線，交拋物線交于C、M兩點；∴能使△ABP為等腰三角形的點P的個數有3個．故選A．二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分13．分解因式：x2﹣36=（x+6）（x﹣6）．【考點】因式分解-運用公式法．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式=（x+6）（x﹣6），故答案為：（x+6）（x﹣6）14．若式子在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是x≥1．【考點】二次根式有意義的條件．【分析】先根據二次根式有意義的條件列出關于x的不等式，求出x的取值范圍即可．【解答】解：∵式子在實數范圍內有意義，∴x﹣1≥0，解得x≥1．故答案為：x≥1．15．把一副普通撲克牌中的數字2，3，4，5，6，7，8，9，10的9張牌洗均勻后正面向下放在桌面上，從中隨機抽取一張，抽出的牌上的數恰為3的倍數的概率是．【考點】概率公式．【分析】先確定9張撲克牌上的數字為3的倍數的張數，再根據隨機事件A的概率P（A）=，求解即可．【解答】解：∵數字為3的倍數的撲克牌一共有3張，且共有9張撲克牌，∴P==．故答案為：．16．正六邊形的每個外角是60度．【考點】多邊形內角與外角．【分析】正多邊形的外角和是360度，且每個外角都相等，據此即可求解．【解答】解：正六邊形的一個外角度數是：360÷6=60°．故答案為：60．17．如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，點O是AB中點，連接OH，則OH=．【考點】相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等腰直角三角形．【分析】在BD上截取BE=CH，連接CO，OE，根據相似三角形的性質得到，求得CH=，根據等腰直角三角形的性質得到AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，等量代換得到∠OCH=∠ABD，根據全等三角形的性質得到OE=OH，∠BOE=∠HOC推出△HOE是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：在BD上截取BE=CH，連接CO，OE，∵∠ACB=90°CH⊥BD，∵AC=BC=3，CD=1，∴BD=，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH=，∵△ACB是等腰直角三角形，點O是AB中點，∴AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°，∴∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，∵∠DCH=∠CBD，∴∠OCH=∠ABD，在△CHO與△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE=OH，∠BOE=∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH=90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH=BD﹣DH﹣CH=﹣﹣=，∴OH=EH×=，故答案為：．18．如圖，正方形OABC的邊長為2，以O為圓心，EF為直徑的半圓經過點A，連接AE，CF相交于點P，將正方形OABC從OA與OF重合的位置開始，繞著點O逆時針旋轉90°，交點P運動的路徑長是π．【考點】軌跡；正方形的性質；旋轉的性質．【分析】如圖點P運動的路徑是以G為圓心的弧，在⊙G上取一點H，連接EH、FH，只要證明∠EGF=90°，求出GE的長即可解決問題．【解答】解：如圖點P運動的路徑是以G為圓心的弧，在⊙G上取一點H，連接EH、FH．∵四邊形AOCB是正方形，∴∠AOC=90°，∴∠AFP=∠AOC=45°，∵EF是⊙O直徑，∴∠EAF=90°，∴∠APF=∠AFP=45°，∴∠H=∠APF=45°，∴∠EGF=2∠H=90°，∵EF=4，GE=GF，∴EG=GF=2，∴的長==π．故答案為π．三、解答題：本大題共8小題，共66分19．計算：﹣（﹣4）+|﹣5|+﹣4tan45°．【考點】零指數冪；特殊角的三角函數值．【分析】先去括號、計算絕對值、零指數冪、三角函數值，再計算乘法、減法即可．【解答】解：原式=4+5+1﹣4×1=6．20．解不等式組：．【考點】解一元一次不等式組．【分析】首先解每個不等式，兩個不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集．【解答】解：，解①得：x＞2，解②得x≤5．則不等式組的解集是：2＜x≤5．21．如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E，F分別是OA，OC的中點，連接BE，DF（1）根據題意，補全原形；（2）求證：BE=DF．【考點】平行四邊形的性質；全等三角形的判定與性質．【分析】（1）如圖所示；（2）由全等三角形的判定定理SAS證得△BEO≌△DFO，得出全等三角形的對應邊相等即可．【解答】（1）解：如圖所示：（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD交于點O，∴OB=OD，OA=OC．又∵E，F分別是OA、OC的中點，∴OE=OA，OF=OC，∴OE=OF．∵在△BEO與△DFO中，，∴△BEO≌△DFO（SAS），∴BE=DF．22．某校為了解本校九年級男生“引體向上”項目的訓練情況，隨機抽取該年級部分男生進行了一次測試（滿分15分，成績均記為整數分），并按測試成績（單位：分）分成四類：A類（12≤m≤15），B類（9≤m≤11），C類（6≤m≤8），D類（m≤5）繪制出以下兩幅不完整的統計圖，請根據圖中信息解答下列問題：（1）本次抽取樣本容量為50，扇形統計圖中A類所對的圓心角是72度；（2）請補全統計圖；（3）若該校九年級男生有300名，請估計該校九年級男生“引體向上”項目成績為C類的有多少名？【考點】條形統計圖；總體、個體、樣本、樣本容量；用樣本估計總體；扇形統計圖．【分析】（1）根據統計圖可以得到抽查的學生數，從而可以求得樣本容量，由扇形統計圖可以求得扇形圓心角的度數；（2）根據統計圖可以求得C類學生數和C類與D類所占的百分比，從而可以將統計圖補充完整；（3）根據統計圖可以估計該校九年級男生“引體向上”項目成績為C類的有多少名．【解答】解：（1）由題意可得，抽取的學生數為：10÷20%=50，扇形統計圖中A類所對的圓心角是：360°×20%=72°，故答案為：50，72；（2）C類學生數為：50﹣10﹣22﹣3=15，C類占抽取樣本的百分比為：15÷50×100%=30%，D類占抽取樣本的百分比為：3÷50×100%=6%，補全的統計圖如右圖所示，（3）300×30%=90（名）即該校九年級男生“引體向上”項目成績為C類的有90名．23．已知任意三角形的三邊長，如何求三角形面積？古希臘的幾何學家海倫解決了這個問題，在他的著作《度量論》一書中給出了計算公式﹣﹣海倫公式S=（其中a，b，c是三角形的三邊長，p=，S為三角形的面積），并給出了證明例如：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，那么它的面積可以這樣計算：∵a=3，b=4，c=5∴p==6∴S===6事實上，對于已知三角形的三邊長求三角形面積的問題，還可用我國南宋時期數學家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解決．如圖，在△ABC中，BC=5，AC=6，AB=9（1）用海倫公式求△ABC的面積；（2）求△ABC的內切圓半徑r．【考點】三角形的內切圓與內心；二次根式的應用．【分析】（1）先根據BC、AC、AB的長求出P，再代入到公式S=即可求得S的值；（2）根據公式S=r（AC+BC+AB），代入可得關于r的方程，解方程得r的值．【解答】解：（1）∵BC=5，AC=6，AB=9，∴p===10，∴S===10；故△ABC的面積10；（2）∵S=r（AC+BC+AB），∴10=r（5+6+9），解得：r=，故△ABC的內切圓半徑r=．24．五月初，我市多地遭遇了持續強降雨的惡劣天氣，造成部分地區出現嚴重洪澇災害，某愛心組織緊急籌集了部分資金，計劃購買甲、乙兩種救災物品共2000件送往災區，已知每件甲種物品的價格比每件乙種物品的價格貴10元，用350元購買甲種物品的件數恰好與用300元購買乙種物品的件數相同（1）求甲、乙兩種救災物品每件的價格各是多少元？（2）經調查，災區對乙種物品件數的需求量是甲種物品件數的3倍，若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金多少元？【考點】分式方程的應用；一元一次方程的應用．【分析】（1）設每件乙種物品的價格是x元，則每件甲種物品的價格是（x+10）元，根據用350元購買甲種物品的件數恰好與用300元購買乙種物品的件數相同列出方程，求解即可；（2）設甲種物品件數為m件，則乙種物品件數為3m件，根據該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品列出方程，求解即可．【解答】解：（1）設每件乙種物品的價格是x元，則每件甲種物品的價格是（x+10）元，根據題意得，=，解得：x=60．經檢驗，x=60是原方程的解．答：甲、乙兩種救災物品每件的價格各是70元、60元；（2）設甲種物品件數為m件，則乙種物品件數為3m件，根據題意得，m+3m=2000，解得m=500，即甲種物品件數為500件，則乙種物品件數為1500件，此時需籌集資金：70×500+60×1500=125000（元）．答：若該愛心組織按照此需求的比例購買這2000件物品，需籌集資金125000元．25．如圖，在四邊形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD為直徑作圓O，過點D作DE∥AB交圓O于點E（1）證明點C在圓O上；（2）求tan∠CDE的值；（3）求圓心O到弦ED的距離．【考點】實數的運算．【分析】（1）如圖1，連結CO．先由勾股定理求出AC=10，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，∠C=90°，那么OC為Rt△ACD斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OC=AD=r，即點C在圓O上；（2）如圖2，延長BC、DE交于點F，∠BFD=90°．根據同角的余角相等得出∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，利用正切函數定義求出tan∠ACB==，則tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）如圖3，連結AE，作OG⊥ED于點G，則OG∥AE，且OG=AE．易證△ABC∽△CFD，根據相似三角形對應邊成比例求出CF=，那么BF=BC+CF=．再證明四邊形ABFE是矩形，得出AE=BF=，所以OG=AE=．【解答】（1）證明：如圖1，連結CO．∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴AC=10．又∵CD=24，AD=26，102+242=262，∴△ACD是直角三角形，∠C=90°．∵AD為⊙O的直徑，∴AO=OD，OC為Rt△ACD斜邊上的中線，∴OC=AD=r，∴點C在圓O上；（2）解：如圖2，延長BC、DE交于點F，∠BFD=90°．∵∠BFD=90°，∴∠CDE+∠FCD=90°，又∵∠ACD=90°，∴∠ACB+∠FCD=90°，∴∠CDE=∠ACB．在Rt△ABC中，tan∠ACB==，∴tan∠CDE=tan∠ACB=；（3）解：如圖3，連結AE，作OG⊥ED于點G，則OG∥AE，且OG=AE．易證△ABC∽△CFD，∴=，即=，∴CF=，∴BF=BC+CF=8+=．∵∠B=∠F=∠AED=90°，∴四邊形ABFE是矩形，∴AE=BF=，∴O