第4章計算機控制系統的常規控制策略內容提要4.1數字PID控制算法4.2數字控制器的直接設計法4.3純滯后對象的控制算法4.4本章小結

4.1數字PID控制算法圖4-1典型計算機控制系統

計算機控制系統設計主要是設計控制器，使得圖示的閉環控制系統既要滿足系統的期望指標，又要滿足實時控制的要求。控制策略是決定一個計算機控制系統工作性能的關鍵，設計一個可靠、實用、結構簡單并易于實現的數字控制器是計算機控制系統的主要設計任務之一。數字控制器的設計方法有經典法和狀態空間設計法，其中經典法又分為間接設計法（或稱連續化設計法）和直接設計法（或稱離散化設計法）。本章主要討論直接設計法。

圖4-2模擬PID控制模擬PID控制器按閉環系統誤差的比例、積分和微分進行控制，其控制結構如圖4-2所示，其微分方程為式中，為控制量（控制器的輸出）；為系統誤差，其大小為給定值與系統輸出的差值，即為比例系數；為積分時間常數；為微分時間常數。將式（4-1）寫成連續時間系統傳遞函數的形式為（4-1）（4-2）式中，稱為積分系數，

稱為微分系數。1．PID控制規律及其調節作用1）比例調節器

比例調節對系統誤差是即時反應的，根據誤差進行調節，使系統輸出沿著減小誤差的方向變化，其控制規律為控制作用的強弱取決于比例系數和誤差的大小，誤差大則控制作用也大。比例調節器一般不能消除穩態誤差。增大可以加快系統的響應速度及減少穩態誤差；但過大的，有可能加大系統超調，引起振蕩，甚至導致系統不穩定。2）比例積分調節器僅采用比例調節的系統存在殘余穩態誤差，即靜差，為消除靜差，可在比例調節器的基礎上加入積分調節作用，構成比例積分調節器，其控制規律為

積分調節的引入，可以不斷減少直到消除系統的穩態誤差。但是積分的引入，有可能使系統的響應變慢，也可能使系統不穩定。增加那么積分作用變弱，有利于增加系統的穩定性并減小超調，但系統靜差的消除也隨之變緩；引入積分調節的代價是降低系統的快速性。必須根據對象特性來選定，對于管道壓力、流量等滯后不大的對象，可選得小一些，對溫度等滯后較大的對象，可選得大一些。

3）比例積分微分調節器

在比例積分調節器的基礎上加入微分調節，就構成了比例積分微分調節器，其控制規律為微分環節的加入，有助于減少超調、克服震蕩，使系統趨于穩定。微分時間常數增加，微分作用就增大，有助于加速系統的動態響應，使系統減少超調趨于穩定；但微分作用有可能放大系統的噪聲，降低系統的抗干擾能力。不過，理想的微分器是不能物理實現的，必須采用適當的方法進行近似。2．標準數字PID控制算法1）模擬PID算式的離散化當采樣周期足夠小時，可采用前述一階后向差分的離散化方法。令寫出上式的差分方程，整理后得到（4-4）

（4-3）

2）位置型與增量型PID控制算法由PID調節器的微分方程（4-1）可得由于經過化簡整理得到，式中（4-5）

（4-6）

與位置式PID算法相比，增量式PID算法的優點：（1）位置式算法每次輸出與整個過去狀態有關，算式中要用到過去偏差的累加值，容易產生較大的累計計算誤差；而增量式算法中由于消去了累加項，在精度不足時，計算誤差對控制量的影響較小，容易取得較好的控制效果。（2）利用增量式算法容易實現從手動到自動的無擾切換。這是因為，若采用位置式算法，在切換瞬間，計算機的輸出值應設置為原始閥門開度；若采用增量式算法，其輸出對應于閥門位置的變化部分，即算式中不出現原始閥門的開度項，能夠較平滑地過渡。（3）采用增量式算法時，所用的執行器本身都具有寄存作用，所以即使計算機發生故障，執行器仍能保持在原位，不會對生產過程造成惡劣影響。此外，增量式算法控制量的計算只需用到當前時刻、前一時刻以及前兩時刻的偏差，大大節約了內存和計算時間。

3．數字PID控制算法的改進1）積分項的改進（1）積分分離PID算法積分分離PID算法的思想是：在被控量開始跟蹤時，偏差較大，取消積分；等到被控量接近給定值時才將積分作用投入。為此要根據系統情況設置分離用的門限值（也稱閾值），當，即偏差值比較小時，采用PID控制，保證系統的控制精度，消除靜差；當，即偏差值比較大時，采用PD控制，可以降低超調量。

圖4-3積分分離曲線

為了實現積分分離，編程時必須從PID差分方程式中分離出積分項。式（4-6）可以寫成，若積分分離，則取

（4-7）（4-8）（4-9）（4-10）

圖4-4積分分離PID控制

1）積分項的改進（2）抗積分飽和當出現積分飽和時，閉環控制系統相當于被斷開，控制量不能根據被控量的誤差按控制量算法進行調節，勢必造成控制品質變壞。抗積分飽和的辦法之一是，對運算出的控制量限幅，同時把積分作用切除掉。（3）消除積分不靈敏區從式（4-8）的增量式積分算式看出，當計算機的運算字長較短時，如果采樣周期也較短，而積分時間較長時，則容易出現小于計算機字長所能表示的精度的情況，此時，該次采樣后的積分控制作用就作為零丟失掉，這種情況稱為積分不靈敏區，它將影響積分消除靜差的作用。

2）微分項的改進（1）不完全微分PID控制算法如遇到被控量突變時，正比于偏差變化率的微分輸出就會很大，但由于持續時間很短，執行部件因慣性或動作范圍和速度的限制，其動作位置達不到控制量的要求值，會限制微分正常的校正作用，這樣就產生了所謂的微分失控（或稱微分飽和），其后果勢必使過渡過程變長。圖4-5不完全微分PID控制結構框圖

圖4-6完全微分和不完全微分數字PID控制效果

2）微分項的改進（2）偏差微分（3）測量值微分圖4-7偏差微分

圖4-8測量值微分3）時間最優PID控制在工業控制應用中，可以把Bang-Bang控制與反饋控制相結合的系統，這種控制方式在給定值升降時特別有效，具體形式為時間最優位置隨動系統，從理論上講應采用Bang-Bang控制。但Bang-Bang控制很難保證足夠高的定位精度。因此對高精度的快速伺服系統，宜采用Bang-Bang控制和線性控制相結合的方式，在定位線性控制段采用數字PID控制就是可選的方案之一。4）帶死區的PID控制算法在計算機控制系統中，某些系統為了避免控制動作過于頻繁，以消除由于頻繁動作引起的振蕩，有時采用帶有地區的PID控制系統，如圖示，相應的算式為

圖4-9帶死區的PID控制系統框圖

4．數字PID參數的整定1）PID控制器參數對控制性能的影響（1）比例系數Kp對系統性能的影響1）對動態特性的影響。比例系數Kp加大，使系統的動作靈敏提高，速度加快。Kp偏大，會使系統振蕩次數增多，調節時間加長。當Kp太大時，系統會趨于不穩定。若Kp太小，又會使系統的動作緩慢。2）對穩態特性的影響。在系統穩定的情況下，加大比例系數Kp，可以減小穩態誤差，提高控制精度；但是加大Kp只是減少穩態誤差，卻不能完全消除穩態誤差。（2）積分時間常數TI對控制性能的影響1）對動態特性的影響。積分時間TI常數會影響系統的動態性能。TI太小系統將不穩定；TI偏小，振蕩次數較多；TI偏大時，對系統動態性能的影響減少；當TI合適時，過渡特性比較理想。2）對穩態特性的影響。積分時間常數TI能消除系統的穩態誤差，提高控制系統的控制精度。但是若TI太大時，積分作用太弱，以至于不能減少穩態誤差。

（3）微分時間常數TD對控制性能的影響當TD偏大或偏小時，都會使超調量較大，調節時間較長。只有TD合適時，可以得到比較滿意的過渡過程。綜合起來，不同的控制規律各有特點，對于相同的控制對象，不同的控制規律有不同的控制效果。

4．數字PID參數的整定2）控制規律的選擇使用中，應根據控制對象特性和負荷情況，合理選擇控制規律。根據分析可得出如下幾點結論：1）對于一階慣性對象，負荷變化不大，工藝要求不高，可以采用P控制。比如用于控制精度要求不高的壓力、液位控制。2）對于一階慣性與純滯后環節串聯的對象，負荷變化不大，要求控制精度較高，可采用PI控制。比如用于控制精度有一定要求的壓力、流量和液位控制。3）對于純滯后時間較大，負荷變化也較大，控制性能要求較高的場合，可采用PID控制。比如用于過熱蒸汽溫度控制、PH值控制。4）當對象為高階（二階以上）慣性環節又帶有純滯后特性，負荷變化較大，控制性能要求也高時，應采用串級控制、前饋-反饋、前饋-串級或純滯后補償控制。

3）采樣周期的選擇采樣周期的選取應與PID參數的整定綜合起來考慮，選擇采樣周期時考慮下面因素：1）擾動信號如果系統的干擾信號是高頻的，則要適當地選擇采樣周期，使得干擾信號的頻率處于采樣頻率之外，從而使系統具有足夠的抗干擾能力。2）一般說來采樣周期的最大值受系統穩定性條件和香農采樣定理的限制而不能太大。若被控對象的時間常數為，純滯后時間常數為，當系統中的起主導作用時，；當系統中的處于主導位置時，可選擇3）計算機所承擔的工作量如果控制回路較多，計算工作量較大，采樣周期可以長些；反之，采樣周期可以短些。4）當系統的給定頻率較高時，采樣周期相應減少，以使給定的改變能迅速得到反映。另外，當采用數字PID控制器時，積分作用和微分作用都與采樣周期有關。選擇T太小時，積分和微分作用都將不明顯。這是因為當太小時，的變化也很小。5）計算機及A/D、D/A轉換器的性能計算機字長越長，計算速度越快，A/D、D/A轉換器的速度越快，則采樣周期可以減小，控制性能也較高，但這將導致計算機的硬件費用增加，所以應從性價比出發加以選擇。6）執行器的響應速度

通常執行器慣性較大，采樣周期應能夠與之相適應。如果執行器響應速度較慢，則過短的采樣周期就失去意義。

4）實驗確定法整定PID參數

（1）擴充臨界比例度法整定PID參數（2）擴充響應曲線法整定PID參數

4.2數字控制器的直接設計方法

1．最小拍控制系統設計最小拍控制系統設計的要求是：1）調節時間最短，即系統跟隨輸入信號所需的采樣周期數最少；2）在采樣點處無靜差，即特定的參考輸入信號，在達到穩態后，系統在采樣點能精確地實現對輸入信號的跟蹤；3）設計出來的數字控制器必須是物理可實現的；4）閉環系統必須是穩定的。1．最小拍控制系統設計1）最小拍閉環脈沖傳遞函數圖4-11典型計算機控制系統結構圖

最少拍控制系統的誤差脈沖傳遞函數為系統輸出的偏差為（4-13）

（4-14）

對于一般控制系統的三種典型輸入函數：單位加速度輸入：單位階躍輸入：單位加速度輸入：它們都可以表示為（4-15）

式中，是不包括的多項式；為正整數，對于不同的輸入函數，只是不同而已，一般只討論的情況。將式（4-15）代入式（4-14），得根據z變換的終值定理，可以求出系統的穩態誤差為（4-16）（4-17）由于A(z)不包含的因子，因此穩態誤差為零的條件是含有則可為下列形式：（4-18）這里為的有限多項式，系數待定，即

（4-19）由最小拍控制系統的時間最短約束條件來確定的形式。當取時，不僅可以簡化數字控制器，降低控制器階數，而且還可以使的項數最少，調節時間最短。因此，由式（4-18）和式（4-19）得為（4-20）那么期望的閉環脈沖傳遞函數為

（4-21）2）最小拍控制器的確定由式（4-13）求出圖4-11所示的計算機控制系統的閉環脈沖傳遞函數為

（4-22）由此可以得到最少拍數字控制器為

（4-23）或（4-24）將、和代入式（4-23）或式（4-24）中即可求出最小拍控制器。對于三種典型輸入信號，最小拍控制系統的和最小拍控制器匯總于表4-3中。

表4-3三種典型輸入信號的最小拍控制器輸入信號單位階躍單位速度單位加速度偏差脈沖傳遞函數閉環脈沖傳遞函數最小拍控制器【例4-1】

設最小拍控制系統如圖4-11所示，被控對象的傳遞函數，采樣周期，試設計在單位速度輸入時的最小拍控制器

解：根據圖4-11可求出系統的廣義被控對象脈沖傳遞函數根據題意，輸入信號為單位速度輸入，即，則有代入式（4-24）求出最小拍控制器為

從圖中可以看出，當系統為單位速度輸入時，經過兩拍以后，輸出量完全跟蹤輸入采樣值，即。但在各采樣點之間還是存在一定的誤差，即存在一定紋波。3）最小拍控制器的可實現性如果被控對象具有N個采樣周期的純滯后，相應的脈沖傳遞函數為

（4-25）期望的閉環脈沖傳遞函數可以表示為的多項式，即（4-26）由式（4-14）計算出最小拍控制器為

（4-27）為了使數字控制器物理上是可實現的，必須令此時，應有如下形式：

（4-28）因此，具有純滯后特性的被控對象進行最小拍控制系統設計時，為了滿足控制器在物理上是可實現的，期望閉環傳遞函數的確定要在被控對象純滯后特性的基礎上進行，分子與分母的階次差等于分子分母的階次差。即（4-29）式中4）最小拍控制器的穩定性由圖4-11可以求出控制器輸出控制量為（4-30）

則控制器輸出控制量對于給定輸入量的脈沖傳遞函數為（4-31）如果有單位圓上或圓外的零點，為了保證控制器的輸出收斂，構造時必須包含有與相同的單位圓上或圓外的零點，不能簡單的令式（4-19）式中的。的選取通常應使具有如下形式：（4-32）是的單位圓上或圓外的l個零點，為了把系統補償成穩定系統，在確定閉環脈沖傳遞函數時，必須增加附加條件。如果不穩定被控對象的脈沖傳遞函數為由此求出的最小拍控制器為（4-33）（4-34）因此，在設計時，應該使其包含有項，即（4-35）綜上所述，結合式（4-29）、式（4-32）和式（4-35），設計最小拍控制器應滿足的閉環脈沖傳遞函數和誤差脈沖傳遞函數通式為（4-36）2．最小拍無紋波系統的設計

【例4-2】在圖4-11所示系統中，設，采用零階保持器，系統輸入為單位階躍信號，試設計最小拍系統的數字控制器并畫出數字控制器和系統的輸出波形。解：下面利用修正z變換求采樣點之間的系統輸出，取下面進一步從數學關系上分析產生紋波的原因和消除紋波的方法。由圖4-11可以得到所以又所以如果要求在有限拍內結束過渡過程，就要求為關于的有限多項式。紋波產生的原因是不是關于的有限多項式，這樣使的過渡過程不結束，從而使輸出產生波動。因此，要消除紋波，要求和同時結束過渡過程。否則，就會產生波動現象，要求為的有限多項式，即能被整除即可。設最小拍系統廣義對象的脈沖傳遞函數為

其中，是的u個零點，是的v個不穩定極點，是的w個穩定極點，為常系數，為中含有的純滯后環節。

則可得無紋波最小拍系統的閉環脈沖傳遞函數為（4-37）

其中k為常系數誤差的脈沖傳遞函數為其中對于單位階躍、單位速度、單位加速度輸入，q分別取1、2、3。由此得到數字控制器（4-38）

3．關于最小拍系統的討論

1）最小拍系統的局限性

最小拍系統控制器的設計使得系統對某一類輸入信號的響應為最小拍，但這種設計方法對其他類型的輸入信號的適應性較差，甚至會引起大的超調和靜差。因此，這種設計方法應對不同的輸入信號使用不同的數字控制器或閉環脈沖傳遞函數，否則，就得不到最佳性能。

2）慣性因子法慣性因子法的基本思想是以犧牲有限拍的性質為代價，對各種輸入函數的響應采用折中方法處理，以換取系統對不同輸入類型皆能獲得比較滿意的控制效果3）關于極點位置的討論

最小拍系統的閉環脈沖傳遞函數中含有多重極點，且都位于z平面的零點，這是由于設計中用的增益、極點和零點補償了中的相應部分所致。這一多重極點對系統參數變化的靈敏度可以達到無窮。因此，如果系統參數發生變化，或在計算機中存入的參數與設計參數略有差異，將使實際輸出嚴重偏離期望狀態。慣性因子法中由于慣性因子的加入，將使系統對參數變化的靈敏度降低。

4）采樣周期的限制既然最小拍系統在特定輸入信號作用下，只經過幾個采樣周期系統穩態誤差就為零，那么是否采樣周期取得越短，系統的調節時間就可以無限地減少呢？回答是否定的。這是因為在實際系統中，能源的功率是有限的，例如驅動對象的力矩電機轉速不可能無限提高，它存在著飽和轉速。采樣時間越短，則控制輸出越大，這就立即會使系統工作于非線性飽和狀態，從而使性能顯著變壞。此外，系統的響應快，必然使運動部件具有較高的速度和加速度，它將承受過大的離心載荷和慣性載荷，如果超過強度極限就會遭到破壞。

4.3純滯后對象的控制算法

1．達林算法

Dahlin算法屬于離散化設計方法，Dahlin算法的設計目的是根據純滯后系統的主要控制要求，設計一個合適的數字控制器，使期望的閉環脈沖傳遞函數設計成為一個帶有純滯后的一階慣性環節，且純滯后時間與被控對象的純滯后時間相同。即（4-41）

為被控對象的純滯后時間（設，是正整數）。為期望閉環傳遞函數的時間常數，其值由設計者用試湊法給出。

Dahlin算法是一種極點配置方法，適用于廣義對象含有滯后環節且要求等效系統沒有超調的控制系統（等效系統為一階慣性環節，且無超調量）。1）Dahlin算法控制器D(z)的基本形式

假如環節前具有采樣開關和保持器，如圖3-14所示，可以首先求閉環系統脈沖傳遞函數。

可得Dahlin算法控制器為

（4-42）

（4-43）

被控對象為帶純滯后的一階慣性環節廣義被控對象的脈沖傳遞函數為（4-44）

（4-45）

（4-46）

帶有純滯后的二階被控對象的傳遞函數為廣義被控對象的脈沖傳遞函數為式中將式（4-48）代入（4-43），得（4-47）

（4-48）

（4-49）

2）振鈴現象及消除方法

所謂振鈴（Ringing）現象，是指數字控制器的輸出以接近二分之一的采樣頻率大幅度衰減振蕩，這與前述最小拍有紋波系統中的紋波實質上是一致的。振鈴現象對系統的輸出幾乎是沒有影響的，但會使執行機構因磨損而造成損壞。在存在耦合的多回路控制系統中，振鈴現象還有可能影響到系統的穩定性，所以在系統設計中，應設法消除振鈴現象。（1）振鈴產生的原因計算機控制系統中，系統的輸出和數字控制器的輸出之間的關系為由式（4-50）和式（4-51）可以得到可以進一步寫作

將式（4-43）代入式（4-52）有（4-51）

（4-52）

（4-53）

（4-54）

可以看出，的極點包含了的零點和的極點。設為的極點，在單位階躍輸入下，即，并設

（4-55）

為說明問題，此處令，則有（4-56）

為了分析對的貢獻，需對求z反變換。系數、、、……、只對幅值有影響，對輸出的穩定性無影響，因此可不考慮。當兩暫態項符號相同時，數字控制器的控制作用加強；符號相反時，控制作用減弱，從而造成數字控制器的輸出序列的幅值以2T為周期大幅度波動，這便是振鈴現象產生的原因。

由上述分析可知，產生振鈴現象的原因是數字控制器在z平面上附近有極點。當時，振鈴現象最嚴重，在單位圓內離越遠，振鈴現象越弱（2）振鈴幅度RA在單位階躍輸入作用下，數字控制器的第0次輸出與第1次輸出的差值，即在單位階躍輸入時，控制器的輸出為

1）被控對象為帶有純滯后的一階慣性環節。數字控制器的形式為式（4-46）根據式（4-57），其振鈴幅度為可見，如果選擇，則，無振鈴現象發生；若選擇，則有振鈴現象發生。

由上式可見，根據振鈴幅度定義，有（4-60）2）被控對象為帶有純滯后的二階慣性環節。數字控制器的形式為式（4-49）上式存在極點，且，這說明當T很小時會產生強烈的振鈴現象。根據式（4-57），其振鈴幅度為（4-62）從而有（3）振鈴的消除對于一階慣性加純滯后對象，如果合理選擇期望閉環傳遞函數的慣性時間常數和采樣周期，使，消除振鈴。即便不能使，也可以把RA減到最小，最大限度地抑制振鈴。方法二：消除振鈴因子法。方法一：參數選擇法。找出數字控制器中引起振鈴現象的因子（即附近的極點），然后人為地令這個因子中的z=1，消除這個極點。根據終值定理，這樣做不影響輸出的穩態值，但卻改變了數字控制器的動態特性，從而影響閉環系統的動態響應。3．Dahlin算法的設計步驟

2．史密斯預估算法

1）純滯后對系統控制品質的影響對圖4-23所示的常規控制系統，被控對象含有純滯后特性，其傳遞函數為

（4-63）式中，為被控對象不含純滯后特性的傳遞函數。

不考慮擾動時，系統的閉環傳遞函數為

（4-64）系統的特征方程為（4-65）

2）Smith補償控制原理圖中點劃線部分是帶純滯后補償控制的Smith預估控制器，其傳遞函數為

經純滯后補償控制后系統的閉環傳遞函數為（4-67）（4-68）純滯后環節已經不出現在特征方程中，故不再影響閉環系統的穩定性。純滯后補償控制系統在單位階躍輸入時，輸出量的響應曲線和系統的其他性能指標與控制對象不含純滯后特性時完全相同，只是在時間軸上滯后

3）Smith補償器的計算機實現

以一階慣性純滯后對象為例，說明Smith純滯后補償器的計算機實現過程。設被控對象的傳遞函數為

（4-69）式中，為被控對象的放大系數；為被控對象的時間常數；為純滯后時間。Smith預估器的輸出可按圖4-28中的點劃線框部分變換為圖4-29所示形式。

圖4-28圖4-29

Smith預估補償器的傳遞函數