第七章 二階電路引言：1.什么是二階電路? 1)其變量用二階微分方程描述的電路；

2)從結(jié)構(gòu)上看，含有兩個(gè)獨(dú)立動(dòng)態(tài)元件

的電路。2.二階電路的分析方法：

基本方法——經(jīng)典法

根據(jù)兩類(lèi)約束，列寫(xiě)二階電路微分方程,

求特征方程的根，即固有頻率，根據(jù)根的性質(zhì)確定解答形式（公式）。

初始狀態(tài)求解與一階電路方法相同3.二階電路響應(yīng)的特點(diǎn)：

可能出現(xiàn)振蕩的情況71LC電路中的正弦振蕩一、

LC電路振蕩的物理過(guò)程：CL+_uLiLuC+_已知uC(0)=U0iL(0)=0求：uC(t),iL(t),t0回憶：由圖推倒得：CL+_uLiLuC+_已知uC(0)=U0iL(0)=0定性分析：1.t=0時(shí)

uC=U0

：①電容具有初始能，

②iL=0

:電感沒(méi)有初始能。t↑,電容C開(kāi)始放電uC↓：電場(chǎng)能向磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)化CL+_uLiLuC+_定性分析：2.電感充滿(mǎn)磁時(shí)：uC=0,

iL=I:電容C開(kāi)始充電：磁場(chǎng)能向電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化，

uC↑且電容的實(shí)際電壓為上負(fù)下正CL+_uLiLuC+_定性分析：③當(dāng)電容充滿(mǎn)電場(chǎng)能時(shí)：uC=-U0

iL=0即電容C開(kāi)始放電:電場(chǎng)能向磁場(chǎng)能轉(zhuǎn)化uC↓,︱iL︱↑且充磁的電流為由下往上。CL+_uLiLuC+_定性分析：④當(dāng)電感充滿(mǎn)磁時(shí)：uC=0

iL=-I同理：電容C又開(kāi)始充電

——磁場(chǎng)能向電場(chǎng)能轉(zhuǎn)化三、

LC振蕩電路波形CL+_uLiLuC+_已知uC(0)=U0iL(0)=0t1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12TTuC(t)iL(t)U0U0ooImImttt1t1t2t2t3t3t4t4t5t5t6t6t7t7t8t8t9t9t10t10t11t11t12t12結(jié)論：兩種不同儲(chǔ)能元件構(gòu)成電路，儲(chǔ)能在電場(chǎng)和磁場(chǎng)之間往返轉(zhuǎn)移，這種周而復(fù)始的過(guò)程叫振蕩。

若元件為理想的，稱(chēng)等幅振蕩（無(wú)阻尼）若電路中存在電阻，幅度逐漸衰減為零，稱(chēng)衰減振蕩，也稱(chēng)阻尼振蕩若電阻過(guò)大，儲(chǔ)能在初次轉(zhuǎn)移即被消耗，稱(chēng)過(guò)阻尼情況（無(wú)振蕩）提問(wèn)：“振蕩”有幾種含義？72RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)引例t=0RLCiL+_uC已知

uC(0)=U0iL(0)=0求

uC(t),iL(t),t0解：列方程：二階微分方程：72RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)引例t=0RLCiL+_uC已知uC(0)=U0iL(0)=0求uC(t),iL(t),t0解：對(duì)應(yīng)特征方程：二階微分方程：齊次方程解：特征方程令特征根s—固有頻率（特征根）—衰減常數(shù),或者阻尼常數(shù)o

—等幅振蕩角頻率d

—衰減振蕩角頻率討論：特征根1.當(dāng)時(shí)，即：s1、s2為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)—響應(yīng)屬于過(guò)阻尼(非振蕩)2.當(dāng)時(shí)，即：s1、s2為相等的負(fù)實(shí)數(shù)—響應(yīng)屬于臨界阻尼(非振蕩)討論：特征根4.當(dāng)時(shí)，s1、s2為純虛數(shù)的共軛復(fù)數(shù)

—響應(yīng)屬于無(wú)阻尼(等幅振蕩)3.當(dāng)時(shí)，即：s1、s2為共軛復(fù)數(shù)—響應(yīng)屬于欠阻尼(衰減振蕩)齊次方程解：解得：K1、K2由初始條件確定例7-2

：C=1/4F,L=1/2H,R=3ΩuC(0)=2V,iL(0)=1A求：uC(t)和iL(t)K1、K2的求解思路：依據(jù)初始值求4C)0(iC)0(iKSKSdtduLC2211t=0C===+=例7-2

：C=1/4F,L=1/2H,R=3ΩuC(0)=2V,iL(0)=1A求：uC(t)和iL(t)tOuC(t)2toiL(t)1解答形式為：響應(yīng)屬于過(guò)阻尼(非振蕩)情況結(jié)論：當(dāng),即：時(shí)，特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根s1、s2或時(shí)RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)K1、K2由初始條件確定齊次方程解：UotuCo說(shuō)明：電路是非振蕩，處于臨界狀態(tài)，稱(chēng)為臨界阻尼。

例題：見(jiàn)教材P250例7-2RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)——欠阻尼情況,亦即s—固有頻率（特征根）—衰減常數(shù),或者阻尼常數(shù)o

—等幅振蕩角頻率d

—衰減振蕩角頻率令RLC串聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)——欠阻尼情況K1、K2由初始條件確定齊次方程解：說(shuō)明：響應(yīng)是以角頻率為d，振幅卻是以衰減系數(shù)

α的衰減振蕩。touC(t)U0包絡(luò)線例：電路如圖所示。已知R=6,L=1H,

C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，求電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng)。例：已知R=6,L=1H,C=0.04F,uC(0)=3V，iL(0)=0.28A，解：1）先判斷電路的狀況并求解特征根3）利用初始值計(jì)算K1、K2

uC(0)=3ViL(0)=0.28A得到兩個(gè)方程4）電容電壓和電感電流的零輸入響應(yīng):

2）代入欠阻尼解答形式4.重要特殊情況當(dāng)=0

時(shí),即R=0

時(shí)：共軛虛數(shù)K1、K2由初始條件確定uC(t)tU0U0o說(shuō)明：R=0，uC是不衰減的等幅振蕩，稱(chēng)為諧振角頻率。在零輸入時(shí)三種狀態(tài)的比較：otuC(t)U0結(jié)論：二階零輸入響應(yīng)其電容上的電壓特點(diǎn)如下：欠阻尼狀態(tài)最先到達(dá)0，但它不穩(wěn)定會(huì)振蕩；過(guò)阻尼狀態(tài)與臨界阻尼狀態(tài)都不會(huì)振蕩；臨界阻尼到達(dá)0需要的時(shí)間比過(guò)阻尼到達(dá)0的時(shí)間相對(duì)短得多。欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼Us欠阻尼otuC(t)過(guò)阻尼臨界阻尼在零狀態(tài)時(shí)三種狀態(tài)的比較：結(jié)論：二階零輸入響應(yīng)其電容上的電壓特點(diǎn)如下：欠阻尼狀態(tài)最先到達(dá)US，但它不穩(wěn)定會(huì)振蕩；過(guò)阻尼狀態(tài)與臨界阻尼狀態(tài)都不會(huì)振蕩；臨界阻尼到達(dá)US需要的時(shí)間比過(guò)阻尼到達(dá)US的時(shí)間相對(duì)短得多。RL+_uCiLt=0US過(guò)阻尼狀態(tài)無(wú)阻尼狀態(tài)臨界狀態(tài)欠阻尼狀態(tài)實(shí)驗(yàn)教材P62圖2-35課堂練習(xí)：1.教材P255練習(xí)題7-12.教材P256練習(xí)題7-3作業(yè)：1.教材P262習(xí)題7-42.教材P255思考題7-1課堂練習(xí)1、P261習(xí)題7-12、P262習(xí)題7-3解：微分方程73直流RLC串聯(lián)電路的完全響應(yīng)引例已知uC(0)=U0

,iL(0)=I0,求uC(t),t0USCRL+_uCiLt=0全解：特解：齊次方程的解，有四種解答通解：1.過(guò)阻尼2.臨界阻尼3.欠阻尼4.無(wú)阻尼K1、K2由初始條件確定四種解答形式的全響應(yīng)：例1：已知：RLC

串聯(lián)電路，R=0,C=12F,L=3H,

uC(0)=-5V,iL(0)=0,US=10V,

求：uC(t),t0RL+_uCiLt=0US例1：已知：RLC串聯(lián)電路，R=0,C=12F,L=3H,uC(0)=-5V,iL(0)=0,US=10V,求：uC(t),t0解：例2：二階的應(yīng)用—見(jiàn)教材P256例7-5例3：二階的應(yīng)用—見(jiàn)教材P259思考題7-2RC消火花電路RC消火花電路的原理一:直流電機(jī)M是一個(gè)感性負(fù)載，在切斷電源開(kāi)關(guān)Sl的瞬間，由于感性負(fù)載突然斷電會(huì)產(chǎn)生反向自感電動(dòng)勢(shì)通常為300V~350V，這一電動(dòng)勢(shì)很大與電源電壓一起加在了開(kāi)關(guān)Sl兩個(gè)觸點(diǎn)之間，由于開(kāi)關(guān)在快要接通或剛要斷開(kāi)時(shí)開(kāi)關(guān)的兩極靠得很近，這時(shí)的開(kāi)關(guān)便形成空氣電容結(jié)構(gòu)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)給這個(gè)開(kāi)關(guān)空氣電容器充電并很快擊穿這個(gè)電容器，擊穿電容器時(shí)便會(huì)產(chǎn)生火花，這樣開(kāi)關(guān)的接通或斷開(kāi)時(shí)都會(huì)看到有火花，電路開(kāi)關(guān)產(chǎn)生火花會(huì)對(duì)人身安全存在隱患，并且對(duì)開(kāi)關(guān)的接觸部分進(jìn)行灼傷，影響開(kāi)關(guān)的使用壽命。為此要加入Rl和Cl這樣的消火花電路，以保護(hù)感性負(fù)載回路中的電源開(kāi)關(guān)。

(1)消火花原理：開(kāi)關(guān)Sl斷開(kāi)時(shí)，由于Rl和Cl接在開(kāi)關(guān)Sl兩觸點(diǎn)之間，在開(kāi)關(guān)Sl上的打火電動(dòng)勢(shì)等于加在Rl和Cl的串聯(lián)電路上。這一電動(dòng)勢(shì)通過(guò)Rl對(duì)電容Cl充電，Cl吸收了打火電能，使開(kāi)關(guān)Sl兩個(gè)觸點(diǎn)的電動(dòng)勢(shì)大大減小，達(dá)到消火花的目的。

(2)電阻Rl的作用。由于對(duì)Cl的充電電流是流過(guò)電阻Rl的，所以Rl具有消耗充電電能的作用，這樣打火的電能通過(guò)電阻

Rl被消耗掉。

(3)元件參數(shù)。這種RC消火花電路中，一般消火花電容取

0.47μF，電阻取100Ω。

RC消火花電路RC消火花電路的原理二:在感性負(fù)載上并接RC電路條件：R、r、L、C構(gòu)成的二階電路滿(mǎn)足阻尼振蕩的條件由于開(kāi)關(guān)斷開(kāi)，在電感上感應(yīng)的高壓的磁場(chǎng)能，通過(guò)電容構(gòu)成阻尼振蕩而逐漸衰減為零，即磁場(chǎng)能通過(guò)電容迅速分去一部分能量，電阻R和r消耗一部分能量，從而達(dá)到避免電感上的高壓加到開(kāi)關(guān)兩端，產(chǎn)生火花放電。有趣的應(yīng)用:一個(gè)12V的電池放在位于太平洋某荒島的小屋中，其中正極連接到一個(gè)314.2pF的電容的一端，而該電容與一個(gè)869.1μH的電感串聯(lián)，。在日本Bonin島上的地震觸發(fā)了一次海嘯，海嘯沖入小屋，海水打濕一塊布，將電感-電容組合的另一端與電池的負(fù)極連接起來(lái)，構(gòu)成了一個(gè)串聯(lián)RLC電路。由此產(chǎn)生的振蕩被附近的一艘船上正在監(jiān)測(cè)290.5KHZ頻率的無(wú)線電導(dǎo)航信號(hào)的設(shè)備接收到。問(wèn)濕布的等效電阻是多大？L由題意可知顯然是RLC全響應(yīng)的欠阻尼狀況。導(dǎo)航設(shè)備接收到的是電路欠阻尼時(shí)的衰減振蕩頻率。R12V314.2pF869.1μH思路：①先由電路判斷出電路屬于一階電路的完全響應(yīng)。②利用三要素法求出u(0+);u(∞);時(shí)間常數(shù)τ。例4已知iL(0)=2A求u(0+)和u(t)+_300V10Ht=0+_u1MiL解：例4已知iL(0)=2A求u(0+)和u(t)+_300V10Ht=0+_u1MiL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例5思路一：求出電路狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的uC(t)→ic(t)→u(t)=uC(t)+ic(t)×10思路二：因?yàn)殡娐肥蔷€性電路，判斷出電路狀況后直接可寫(xiě)出u(t)的表達(dá)式，再利用條件求解相應(yīng)的系數(shù)+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例51）先判斷電路的狀況并求解特征根+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例5思路一：求解K3和K4的值已知iL(0)=2A,uC(0)=0思路一：已知iL(0)=2A,uC(0)=0+_300V10Ht=0+_u10iLuC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。例5思路二：方程一：關(guān)于u(0)的方程已知iL(0)=2A,uC(0)=0方程二：關(guān)于

的方程思路：顯然還需要另一種方法獲得iL+_300V10Ht=0+_u10uC+_1nF+_uL已知iL(0)=2A,uC(0)=0,求u(t)。解得：61130020o123t/su

/V74GCL并聯(lián)電路的分析t=0ISiGiLiCGL+uLuCC+解： iG

+iL

+iC

=IS

t=0ISiGiLiCGL+uLuCC+回憶：

RLC串聯(lián)二階電路的微分方程：RLC：uC

LCRUSRLC二階方程解答GLC：iL

CLGISGLC二階方程解答特征根其特征根也分四種情況若G>阻尼電導(dǎo)Gd=過(guò)阻尼若G=阻尼電導(dǎo)Gd=臨界阻尼若G<阻尼電導(dǎo)Gd=欠阻尼若G=0，R=∞→無(wú)阻尼若為過(guò)阻尼：依據(jù)初始條件定K1,K2：例：見(jiàn)教材P260例7-6作業(yè)：P2637-8練習(xí)：P2617-1；P2627-3作業(yè)講解：P255思考題7-1§7-5一般二階電路分析引例:+_10V+_uC1H1Ft=0iiL10已知:uC(0)=1ViL(0)=1A求:uC(t),iL(t)