機電系統控制基礎機電工程學院機械類專業技術基礎課2013年5月2教學內容第6章系統穩態誤差分析和計算第1章緒論第3章系統的時域分析法第2章系統的數學模型第4章系統的頻域分析法第5章系統穩定性分析第8章計算機控制系統第7章系統的設計與校正5.1系統穩定性的基本概念5.2系統穩定的充要條件5.3代數穩定判據（Routh判據和Hurwitz判據）5.4奈奎斯特穩定判據（Nyquist判據）5.5應用奈奎斯特判據分析延時系統穩定性5.6由伯德圖判斷系統的穩定性5.7控制系統的相對穩定性哈爾濱工業大學機電工程學院本章目錄2.閉環控制系統的穩定性問題1.單擺系統受擾動后能否恢復原來的狀態?5.1系統穩定性的基本概念定義：系統在初始狀態作用下5無輸入時的初態輸入引起的初態輸出(響應)收斂(回復平衡位置)發散(偏離越來越大)系統穩定系統不穩定結論：系統是否穩定，取決于系統自身的結構參數，與輸入無關反饋削弱偏差，則穩定反饋加強偏差，則不穩定穩定性是指自由響應的收斂性若系統存在反饋5.1系統穩定性的基本概念5.1系統穩定性的基本概念5.2系統穩定性的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數設n(t)為單位脈沖函數，N(s)=15.2系統穩定性的充要條件如果系統穩定，應有即5.2系統穩定性的充要條件的根：的根：5.2系統穩定性的充要條件5.2系統穩定性的充要條件為系統閉環特征方程根的實部控制系統穩定性的充分必要條件是：閉環特征方程式的根全部具有負實部系統特征根即閉環極點，故也可以說：極點全部在[s]平面的左半平面5.2系統穩定性的充要條件如果系統穩定，應有即五次及更高次的代數方程沒有一般得代數解法（即由方程的系數經有限次四則運算和開方運算求根的方法）——阿貝爾定理5.2系統穩定性的充要條件5.3勞斯穩定性判據基于方程式的根與系數的關系設系統閉環特征方程為s1,s2,…,sn

為系統的特征根將上式因式乘開，可求得根與系數的關系5.3勞斯穩定性判據要使全部特征根均具有負實部，必須滿足：（1）特征方程的各項系數

ai≠0(i=0,1,2,…,n)（2）特征方程的各項系數的符號都相同ai一般取正值，則上述兩條件簡化為ai>0

——必要條件

5.3勞斯穩定性判據充要條件：如果“勞斯判據”中第一列所有項均為正，則系統穩定。

勞斯陣列：5.3勞斯穩定性判據其中：勞斯判據還說明，實部為正的特征根數，等于勞斯陣列中第一列的系數符號改變的次數。。

5.3勞斯穩定性判據

例5-1設控制系統的特征方程式為：

試應用勞斯穩定判據判斷系統的穩定性。解：首先，由方程系數均為正可知已滿足穩定的必要條件。其次，排勞斯陣列：勞斯陣列第一列中系數符號全為正，所以控制系統穩定。5.3勞斯穩定性判據例題5-1例5-2設控制系統的特征方程式為：試應用勞斯穩定判據判斷系統的穩定性。解：由方程系數均為正可知已滿足穩定的必要條件。其次，排勞斯陣列：第一列系數改變符號2次，閉環系統的根中有兩個實部為正，控制系統不穩定。5.3勞斯穩定性判據例題5-2對于特征方程階次低(n≤3)的系統，勞斯判據可簡化為：二階系統特征式為，勞斯表為故二階系統穩定性的充要條件是：5.3勞斯穩定性判據三階系統特征式為，勞斯表為：故三階系統穩定性的充要條件是：5.3勞斯穩定性判據例5-3設某反饋控制系統如下圖所示，試計算使系統穩定的K值范圍。解：系統的傳遞函數為特征方程？5.3勞斯穩定性判據例題5-3特征方程為根據三階系統穩定的充要條件，可知使系統穩定需滿足故使系統穩定的K值范圍為0<K<65.3勞斯穩定性判據例5-4設控制系統的閉環特征方程式為：應用勞斯穩定判斷系統的穩定性。解：勞斯陣列表為第一列系數改變符號2次，2個正實根。5.3勞斯穩定性判據例題5-4例5-5設控制系統的閉環特征方程式為：應用勞斯穩定判斷系統的穩定性。解：勞斯陣列表為無正實根，有虛根。臨界穩定5.3勞斯穩定性判據例題5-5例5-6設控制系統的閉環特征方程式為：應用勞斯穩定判斷系統的穩定性。解：勞斯陣列表為臨界穩定5.3勞斯穩定性判據例題5-6代數穩定判據使用的多項式是系統閉環特征多項式。勞斯判據與赫爾維茨（Hurwitz）判據都是利用特征根與系數關系來判別穩定性，具有一致性。勞斯判據的不足：定性—不能從量上判斷系統的穩定性；對含有延遲環節的系統無效；不能對改善系統的穩定性給出提示。5.3勞斯穩定性判據5.4乃（奈）奎斯特穩定性判據（Nyquist）利用開環系統乃奎斯特圖（極坐標圖）來判斷系統閉環后的穩定性。（幾何判據）某些環節傳遞函數無法分析列寫，通過實驗獲得系統開環頻率特性曲線；奈氏判據可以解決代數判據不能解決的問題：如包含延遲環節的系統穩定性問題。能定量指出系統的穩定儲備，以及提高動態性能（包括穩定性）的途徑。系統Nyquist圖（極坐標圖）頻率響應

是輸入頻率ω的復變函數，是一種變換，當

ω從-∞增長至＋∞時，

作為一個矢量，其端點在復平面相對應的軌跡就是頻率響應的極坐標圖，亦稱乃氏圖（乃奎斯特Nyquist曲線）。5.4乃奎斯特穩定性判據（Nyquist）Nyquist圖

步驟：寫出|G(jω)|和∠G(jω)表達式；分別求出ω=0和ω→∞時的G(jω

)；求乃氏圖與實軸的交點，交點可利用Im[G(jω)]=0的關系式求出，也可以利用關系式∠G(jω)=n·180°（其中n為整數）求出；求乃氏圖與虛軸的交點，交點可利用Re[G(jω)]=0的關系式求出，也可以利用關系式∠G(jω)=n·90°（其中n為奇數）求出；必要時畫出乃氏圖中間幾點；勾畫大致曲線ω=-∞→0，關于實軸對稱5.4乃奎斯特穩定性判據（Nyquist）s1=zpk([],[-10-20],8000)nyquist(s1);matlabs1=tf([40],[0.0050.151])nyquist(s1);32其中N1(s)，D1(s)，N2(s)，D2(s)均為s的多項式。5.4Nyquist穩定性判據閉環特征方程F(s)與開環、閉環的傳遞函數的零點和極點的關系閉環傳遞函數：開環函數：特征方程：5.4Nyquist穩定性判據閉環特征方程F(s)與開環、閉環的傳遞函數的零點和極點的關系5.4Nyquist穩定性判據系統穩定的充要條件是閉環傳函GB(s)的全部極點均具有負實部，即，F(s)函數的全部零點均須具有負實部。即，閉環特征方程F(s)的特征根全部具有負實部閉環特征方程F(s)與開環、閉環的傳遞函數零點和極點的關系

由H.Nyquist于1932年提出的穩定判據，在1940年后得到了廣泛應用。利用開環系統乃奎斯特圖（極坐標圖），來判斷系統閉環后的穩定性，是一種幾何判據。

Nyquist將與聯系起來,利用開環頻率特性判斷閉環系統的穩定性,而無需實際求出閉環極點。5.4乃奎斯特穩定性判據（Nyquist）米哈伊洛夫（Михайлов）定理米哈伊洛夫定理是證明乃奎斯特穩定性判據的一個引理，其表述為：設n次多項式D(s)有p個零點(特征根)位于復平面的右半面，有q個零點(特征根)在原點上，其余n-p-q個零點位于左半面，則當以s=jω代入D(s)并令ω從0連續增大到∞時，復數D(jω)的角增量應等于5.4Nyquist穩定性判據證明(1)設s1為負實根，對于矢量(s-s1),當s=jω變化時5.4Nyquist穩定性判據（2）設sm為正實根，對于矢量(s-sm),當s=jω

變化時什么是當時頻率響應G(jω)=(jω-s1)的角增量？5.4Nyquist穩定性判據（3）設s2、s3為具有負實部的共軛復根，

s2=-a+jb(a>0,b>0)

s3=-a-jb

對于矢量(s-s2)和(s-s3),當s=jω變化時5.4Nyquist穩定性判據（4）設sm+1、sm+2為具有正實部的共軛復根，

sm+1=c+jd(c>0,d>0)

sm+2=c-jd

對于矢量(s-sm+1)和(s-sm+2),當s=jω變化時另外，原點根不引起角變化量。5.4Nyquist穩定性判據如果n次多項式D(s)有p個根在右半平面，q個在原點，其余(n-p-q)個在s左半面，則（1）如果開環極點均在s左半平面，則根據米哈伊洛夫定理如果閉環系統是穩定的，即所有零點也在左半平面，根據米哈伊洛夫定理，則

5.4Nyquist穩定性判據設開環極點均在左半平面，則F(s)的乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，其相對原點的角變化量為零時，系統閉環后穩定。F(s)=1+G(s)H(s)與G(s)H(s)的乃氏圖差向量（-1，j0）ⅠⅡⅢ5.4Nyquist穩定性判據設開環極點均在左半平面，則開環系統G(jω)H(jω)乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，其相對（-1，j0）點的角變化量為零時，系統閉環后穩定。乃奎斯特穩定判據表述一：設開環極點均在左半平面，則系統開環乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，不包圍（-1，j0）點時，系統閉環后穩定。（2）如果開環極點p個在s右半平面，q個在原點，其余(n-p-q)個在s左半面，則根據米哈伊洛夫定理推論，

這時如果閉環系統是穩定的，即的所有零點也在左半平面，根據米哈伊洛夫定理推論，5.4Nyquist穩定性判據設開環極點均在左半平面，則F(s)的乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，F(s)相對原點的角變化量如下，系統閉環后穩定。5.4Nyquist穩定性判據設開環特征多項式在右半平面有p個零點(開環極點p個)

，沒有原點根，則開環乃氏圖，當ω從-∞到∞變化時，其相對(-1，j0)點的角變化量為時，系統閉環穩定。乃奎斯特穩定判據表述二：如果開環傳遞函數的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點的圈數（角增量）等于開環右極點的個數，則閉環系統穩定。——閉環穩定的充要條件單輸入-單輸出線性系統的傳遞函數為有理分式，分式的分子和分母都是s的實系數多項式。實系數多項式可以因式分解為實系數一次和二次多項式之積，而且實系數二次多項式也可以分解為兩個復系數的一次多項式之積。因此傳遞函數的一般形式：其中，zi、pi分別為系統的零點和極點，是實數或復數（共軛）。5.4.1映射定理在s平面上的一點，必定在F(s)平面上對應一點，稱為點映射。同理，存在閉合曲線映射。例題5-75.4.1映射定理例題5-85.4.1映射定理表達了s平面上一條順時針封閉曲線，經過關系函數F(s)，轉換到另一個復平面F內，即映射，在F平面具有的特征S平面例題5-95.4.1映射定理5.4.1映射定理z為復數零點若封閉圍線C為順時針方向，包圍一個零點則映射像圍線C′也順時針方向，包圍原點如何確定封閉圍線C？5.4.1映射定理U點：U′點：U-V-W-X-U為順時針方向，包圍2個零點U′-V′-W′-X′-U′為順時針方向，包圍原點2圈如果在s平面只包圍共軛零點中的一個，在F(s)平面映射像圍線是否包圍原點？例題5-105.4.1映射定理S平面F平面思考問題：F(s)圖形是否對稱？圖形關于什么對稱?如何求點A、B、C、D?求與虛軸的交點D：令s平面的點為例題5-115.4.1映射定理U-V-W-X-U為順時針方向，包圍2個右半平面極點U′-V′-W′-X′-U′為逆時針方向，包圍原點2圈X點：X′點：5.4.1映射定理例題5-12映射定理（柯西幅角定理）(相角原理)s平面上不通過F(s)任何零、極點的任意封閉曲線Γs

，包圍s平面上F(s)的z個零點和p個極點。當s以順時針方向沿封閉曲線Γs移動1周時，在F(s)平面映射的封閉曲線ΓF將順時針方向繞原點旋轉n=z

-p圈。若n為正，表示ΓF順時針運動，包圍原點n圈；若n為0，表示ΓF順時針運動，不包圍原點；若n為負，表示ΓF逆時針運動，包圍原點n圈；映射定理的作用？5.4.1映射定理S平面順時針封閉圍線包圍F(s)1個極點,在F(s)平面映射像圍線逆時針包圍原點一圈n=z

–p=0-1=-1S平面順時針封閉圍線包圍F(s)1個極點和3個零點,在平面映射像圍線順時針包圍原點二圈n=z

–p=3-1=25.4.1映射定理5.4.2乃奎斯特穩定性判據開環傳遞函數閉環傳遞函數閉環系統穩定的充要條件：F(s)的所有零點（特征根）都處于s平面的左半平面。閉環特征方程應用柯西幅角定理判斷穩定性：如果將s平面的閉合曲線取成順時針包圍整個s右半平面的圍線Γs（奈奎斯特圍線），用柯西定理判別Γs是否包圍了F(s)的零點，進而判斷出系統穩定性。設F(s)平面右半平面的零點數為z，F(s)右半平面的極點數p，s平面的閉合曲線取成乃奎斯特圍線，則滿足關系？5.4.2乃奎斯特穩定性判據需要解決的兩個問題如何構造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？如何確定相應的映射F(s)=1+G(s)H(s)對原點的包圍次數n，并將它和開環頻率特性G(jω

)H(jω)相聯系？5.4.2乃奎斯特穩定性判據形狀類似“D”，又稱為D曲線假設F(s)在虛軸上無零、極點Ⅰ部分是正虛軸Ⅱ部分半徑無窮大半圓Ⅲ部分是負虛軸ⅠⅡⅢ解決問題15.4.2乃奎斯特穩定性判據F(s)平面上映射曲線ΓF生成步驟

s=jω代入F(s)并令ω從0→∞

，得到第Ⅰ部分映射；在F(s)中取，使角度由R→∞

,得到第Ⅱ部分映射；令ω從-∞

→

0，得到第Ⅲ部分映射。得到映射曲線后，即可由柯西定理計算z=n+p，z等于0，則閉環系統穩定，否則不穩定。5.4.2乃奎斯特穩定性判據當在s平面的順時針封閉曲線取成整個右半平面，則通過F(s)映射到F復平面，是F(s)的極坐標圖？

至今為止，奈氏判據關注的是基于特征函數F(s)=1+G(s)H(s)的封閉曲線映射，以及映射圍線ΓF在F(s)平面上包圍原點的周數。

等價地，亦可將映射函數定義為多數情況開環傳函G(s)H(s)本身即因式乘積，無需在F(s)=1+G(s)H(s)后重新因式分解確定零極點；通過F′(s)=F(s)-1，關注點由映射圍線包圍F(s)平面原點圈數變為映射圍線包圍F′(s)=G(s)H(s)平面上(-1,0)的圈數。該種變換的優點及結果：解決問題25.4.2乃奎斯特穩定性判據F(s)與G(s)H(s)的關系圖。ⅠⅡⅢ5.4.2乃奎斯特穩定性判據奈奎斯特穩定性判據在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開環傳遞函數的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點的圈數等于開環右極點的個數，則閉環系統穩定。——充要條件5.4.2乃奎斯特穩定性判據開環傳遞函數，判斷閉環穩定性。00.10.761210201001009679.670.750.26.82.240.100-5.7-41-51-74-129-151-173-180的幅值和相角穩定例題5-13該乃氏圖隨著頻率的增加，幅值減小的意義？頻率為3.2rad/s的意義？頻率為0.76rad/s，幅值為79.6，相角為-41度的意義？該對數頻率特性圖在零分貝以下的頻率是多少？開環系統沒有右極點，p=0乃奎斯特圍線映射沒有包圍(-1，j0)點，n=0閉環系統在右半平面無零點，z=p+n=0閉環系統穩定開環傳遞函數，判斷閉環穩定性。s1=zpk([],[-1,-2,-6],20)nyquist(s1);matlab例題5-145.4.2乃奎斯特穩定性判據與例題5-16比較開環傳遞函數，判斷閉環穩定性。s1=zpk([],[-10-20],8000)nyquist(s1);matlabs1=tf([40],[0.0050.151])nyquist(s1);開環傳遞函數也可表示為穩定例題5-155.4.2乃奎斯特穩定性判據開環傳遞函數，判斷閉環穩定性。開環系統沒有右極點，p=0乃奎斯特圍線映射順時針包圍(-1，j0)

點2圈，n=2閉環系統在右半平面有2個不穩定的根（2個不穩定的零點）z=p+n=2閉環系統不穩定，(z=2)例題5-165.4.2乃奎斯特穩定性判據與例題5-14比較一個閉環控制系統，開環傳遞函數如下，判斷閉環穩定性。開環系統有1個右極點，p=1乃奎斯特圍線映射逆時針包圍(-1，j0)

點1圈，n=-1閉環系統在右半平面無不穩定的根z=p+n=0閉環系統穩定，(z=0)例題5-175.4.2乃奎斯特穩定性判據一個閉環控制系統如下圖，判斷放大倍數K在什么范圍內閉環系統穩定。沒有右極點沒有包圍(-1，j0)點只要K>0，穩定例題5-185.4.3乃奎斯特穩定性判據寫出系統的閉環傳遞函數，結合其特點，說明系統是否穩定？寫出系統開環的頻率特性，并作全乃氏圖。一個閉環控制系統如下圖，判斷放大倍數K在什么范圍內系統閉環穩定。1個右極點要K<1，不穩定要K>1，穩定例題5-195.4.3乃奎斯特穩定性判據寫出系統的閉環傳遞函數，結合其特點，說明系統是否穩定？寫出系統開環的頻率特性，并作全乃氏圖。如果開環傳遞函數在[s]虛軸上有極點或零點，修改D曲線[s]5.4.3乃奎斯特穩定性判據開環傳遞函數，判斷閉環穩定性。例題5-205.4.3乃奎斯特穩定性判據穩定5.4.3乃奎斯特穩定性判據5.4.3乃奎斯特穩定性判據例題5-20K=1s1=tf([1],[210])nyquist(s1);K=20開環傳遞函數如下，判斷閉環穩定時k的取值范圍。例題5-215.4.3乃奎斯特穩定性判據5.4.3乃奎斯特穩定性判據5.4.3乃奎斯特穩定性判據5.4.3乃奎斯特穩定性判據例題5-22開環傳遞函數如下，判斷其閉環穩定性。5.4.3乃奎斯特穩定性判據開環系統沒有右極點，p=0乃奎斯特圍線映射順時針包圍(-1，j0)

點2圈，n=2閉環系統在右半平面有2個不穩定的根（2個不穩定的零點）z=p+n=2閉環系統不穩定，(z=2)5.4.3乃奎斯特穩定性判據例題5-22K=1，T=1s1=zpk([],[00-1],1)nyquist(s1);K=20，T=1s1=zpk([],[00-1],20)nyquist(s1);5.4.3乃奎斯特穩定性判據例題5-23開環傳遞函數如下，判斷其閉環穩定性。K=105.4.3乃奎斯特穩定性判據開環沒有右極點，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩定從原點右邊繞，開環右極點個數為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,j0)2圈，不穩定K=405.4.3乃奎斯特穩定性判據開環右極點有1個（p=1），乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈(n=-1)穩定(z=p+n=0)5.4.3乃奎斯特穩定性判據從左邊繞5.4.3乃奎斯特穩定性判據例題5-24開環傳遞函數如下，判斷其閉環穩定性。5.4.3乃奎斯特穩定性判據開環右極點有1個（p=1），乃氏圖順時針包圍(-1,j0)1圈(n=1)不穩定(z=p+n=2)帶延時環節系統穩定性分析開環傳遞函數幅頻特性相頻特性都有影響5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性在上述系統中，若，則奈氏圖為隨著τ的增大，當達到包圍(-1,j0)程度

，系統會變得不穩定。例題5-255.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性開環傳遞函數閉環特征方程改寫為研究

是否包圍

進而判定閉環系統的穩定性5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性下圖示為機床（如銑床、鏜床）的長懸臂梁式主軸的工作情況，由于主軸剛度低，常易產生振動，下面分析其動態特性。P(t)—切削力Y(t)—主軸前端因切削力產生變形

D—主軸系統的當量黏性系數

km—主軸系統的當量剛度5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性例題5-261.機床主軸系統的傳遞函數。主軸端部的運動微分方程為其傳遞函數為5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性2.切削過程的傳遞函數。名義進給量為u0(t)，因主軸的變形，實際進給量為u(t)若主軸轉速為n，刀具為單齒，刀具每轉1周需要時間

1周中切削的實際厚度為5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性令

kc為切削阻力系數（它表示切削力與切削厚度之比）則對此式作拉氏變換后得5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性閉環系統的開環傳遞函數為閉環系統的特征根方程5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性令如此，將奈氏判據中開環頻率特性奈氏圖是否包圍(-1,j0)點的問題歸結為：Gm(jω)

的奈式圖是否包圍Gc(jω)的極坐標軌跡的問題。即5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性分別做出Gm(jω)

和Gc(jω)的極坐標軌跡。5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性1.若Gm(jω)

不包圍Gc(jω)，即Gm(jω)

與Gc(jω)不相交，如曲線①，則系統絕對穩定。因此系統絕對穩定條件是Gm(jω)

中最小負實數的絕對值小于Km/2kc。無論是提高主軸的剛度Km，還是減少切削阻力系數kc

，都可以提高穩定性。但對提高穩定性最有利的是增加阻尼。5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性2.若Gm(jω)

包圍Gc(jω)一部分，即Gm(jω)

與Gc(jω)相交，如曲線③，則系統可能不穩定，但在一定條件下也可穩定。如果在工作頻率ω下，保證ω避開ωA~ωB

的范圍，也就是適當選擇

τ可以使系統穩定。所以，在此條件下系統穩定的條件為：選擇適當的主軸轉速

n（在單刀銑刀時，

τ=1/n），使Gm(jω)不包圍Gc(jω)上的點。5.5乃奎斯特判據分析延時系統穩定性乃氏圖與單位圓的交點頻率?ωc剪切頻率或幅值穿越頻率5.6利用Bode圖進行穩定性判定乃氏圖與Bode圖的對應關系單位圓?伯德圖幅頻0dB線單位圓外?伯德圖幅頻0dB線以上單位圓外?伯德圖幅頻0dB線以下負實軸?伯德圖相頻-180度線乃氏圖與負實軸的交點頻率?ωg相位穿越頻率。曲線1穩定，曲線2不穩定。系統開環特征方程均為左根p=0(最小相位系統)(開環極點均在左半平面)，閉環系統穩定的充要條件?不包圍(-1,j0)，曲線1穩定，曲線2不穩定。5.6利用Bode圖進行穩定性判定如果開環特征多項式沒有右半平面的根

p=0(最小相位系統)，且在

的所有角頻率范圍內，相角范圍都大于

線，那么閉環系統是穩定的。5.6利用Bode圖進行穩定性判定正相位裕量正幅值裕量正相位裕量正幅值裕量5.6利用Bode圖進行穩定性判定負相位裕量負幅值裕量負相位裕量負幅值裕量5.6利用Bode圖進行穩定性判定什么是臨界穩定？例題5-275.6利用Bode圖進行穩定性判定系統的開環頻率特性為：s1=zpk([],[0-1-5],5)margin(s1)s1=tf([1],[0.21.210])margin(s1)比較例題5-28，5-295.6利用Bode圖進行穩定性判定例題5-28系統的開環頻率特性為：s1=zpk([],[0-1-5],10)margin(s1)5.6利用Bode圖進行穩定性判定例題5-29系統的開環頻率特性為：s1=zpk([],[0-1-5],100)margin(s1)5.6利用Bode圖進行穩定性判定例題5-30系統的開環頻率特性如下，試判斷使系統穩定的k的范圍解：注意：最小相位系統穩定性判定的特殊性5.6利用Bode圖進行穩定性判定a:負穿越在a點，相頻特性由上而下穿過橫軸，這稱為負穿越；在b點，相頻特性由下而上穿過橫軸，這稱為正穿越。可以看出，對數相頻特性正穿越一次，就相當于Nyquist軌跡由上而下穿過負實軸一次，此時相位減小(這里指絕對值減小)(二象限到三象限)；反之，對數相頻特性負穿越一次，就相當于Nyquist軌跡由下而上穿過負實軸一次，此時相位增大(三象限到二象限)。5.6利用Bode圖進行穩定性判定5.6利用Bode圖進行穩定性判定若開環右特征根為p時的情況，對數判據則可全面地敘述如下：在Bode圖上，當由0變到時，開環對數相頻特性在0到的頻率范圍(即開環對數幅頻特性不為負值的范圍)內，正穿越和負穿越-180°軸線的次數之差為p/2時，閉環系統穩定；否則不穩定。5.6利用Bode圖進行穩定性判定圖(a)中，p=0，即開環無右特征根，在

的范圍內，正、負穿越之差為0，可見系統閉環后是穩定的。圖(b)中，p=1，已知開環傳遞函數中有一個右半平面極點，即

在

的頻率范圍內，只有半次正穿越，可見系統是穩定的。圖(c)中，p=2，而在

的范圍內，正、負穿越之差為-1，系統閉環后是不穩定的。圖(d)中，p=2，而在

的范圍內，正、負穿越之差為1，故系統閉環后是穩定的。1135.6利用Bode圖進行穩定性判定從Nyquist穩定判據可推知：若p=0的閉環系統穩定，且當Nyquist軌跡離點（-1,j0）越遠，則其閉環系統的穩定性越高；開環Nyquist軌跡離點（-1,j0）越近，則其閉環系統的穩定性越低。這便是通常所說的系統的相對穩定性，它通過對點（-1,j0）的靠近程度來表征，其定量表示為相位裕量和幅值裕量Kg，如圖所示。5.7控制系統相對穩定性相角裕量在為剪切頻率（）時，相頻特性∠GH距-180°線的相位差值稱為相角裕量。圖所示的系統不僅穩定，而且有相當的穩定性儲備，它可以在的頻率下，允許相位再增加才達到的臨界穩定條件，因此，相角裕量有時又叫做相位穩定性儲備。對于穩定系統，必在Bode圖橫軸以上，這時稱為正相位裕量，即有正的穩定性儲備；對于不穩定系統，必在Bode圖橫軸之下，這時稱為負相角裕量，即有負的穩定性儲備。5.7控制系統相對穩定性相應地，在極坐標圖中，如圖所示，即為Nyquist軌跡與單位圓的交點A對負實軸的相位差值，它表示在幅值比為1的頻率時，其中的相位一般為負值。對于穩定系統，必在極坐標圖負實軸以下；對于不穩定系統，必在極坐標圖負實軸以上。5.7控制系統相對穩定性幅值裕量

當為相角穿越頻率(

)時，開環幅頻特性的倒數，稱為系統的幅值裕量，即：

在Bode圖上，幅值裕量改以分貝表示為：此時，對于穩定系統，Kg(dB)必在0分貝線以下，Kg(dB)＞0，此時稱為正幅值裕量；對于不穩定系統，Kg(dB)必在0分貝線以上，Kg(dB)＜0，此時稱為負幅值裕量。5.7控制系統相對穩定性

上述表明，對數幅頻特性還可以上移Kg(dB)分貝，才使系統滿足的臨界穩定條件，亦滿足即只有增加系統的開環增益Kg倍，才剛剛臨界穩定條件。因此幅值裕量有時又稱為增益裕量。在極坐標圖上，由于：

所以，Nyquist軌跡與負實軸的交點至原點的距離為1/Kg，它代表在頻率下開環頻率特性的模。顯然，對于穩定系統，1/Kg＜1；對于不穩定系統，1/Kg＞1，如圖所示。5.7控制系統相對穩定性因此，對于開環為p=0的系統來說，具有正幅值裕量與正相位裕量時，其閉環系統是穩定的；具有負幅值裕量及負相位裕量時，其閉環系統是不穩定的。由上可見，利用Nyquist圖或Bode圖所計算出的，Kg相同。從工程控制實踐中可知，為使上述系統有滿意的穩定性儲備，一般希望：

Kg(dB)＞6dB，即Kg＞2。應當著重指出，為了確定上述系統的相對穩定性，必須同時考慮相位裕量和幅值裕量兩個指標，只應用其中一個指標，不足以說明系統的相對穩定性。5.7控制系統相對穩定性

設某系統開環傳遞函數為

，試分析當阻尼比

很小時

，該閉環系統的穩定性。1205.7控制系統相對穩定性例題5-29當

很小時，此系統的

將具有如圖5?32的形狀，其相角裕量

雖較大，但幅值裕量卻太小。這是由于在

很小時，二階振蕩環節的幅頻特性峰值很高所致1215.7控制系統相對穩定性由于在最小相位系統的開環幅頻特性與開環相頻特性之間具有一定的對應關系，相位裕量

表明開環對數幅頻特性在剪切頻率

上的斜率應大于?40dB/dec。因此，為保證有合適的相角裕量，一般希望這一段上的斜率（也叫剪切率）等于?20dB/dec。如果剪切率等于?40dB/dec，則閉環系統可能穩定，也可能不穩定，即使穩定，其相對穩定性也將是很差的。如果剪切率為?60dB/dec或更陡，則系統一般是不穩定的。由此可知，對于最小相位系統一般只要討論系統的開環對數幅頻特性就可以判別其穩定性。1225.7控制系統相對穩定性第五章作業第六章機電控制系統誤差

分析與計算6.1穩態誤差的基本概念6.2輸入引起的穩態誤差6.3干擾引起的穩態誤差6.4減小穩態誤差的途徑6.5動態誤差系數本章目錄6.1穩態誤差的基本概念當有誤差：希望輸出和實際輸出之差6.1穩態誤差的基本概念6.2輸入引起的穩態誤差偏差傳遞函數由于若H是常值偏差誤差

求當時的穩態誤差

。解：誤差傳遞函數又有ess=0的物理意義？6.2輸入引起的穩態誤差例題6-1

求當時的穩態誤差

。6.2輸入引起的穩態誤差開環傳遞函數——“0型系統”——“Ⅰ型系統”——“Ⅱ型系統”6.2輸入引起的穩態誤差(一)單位階躍輸入，系統穩態偏差為定義靜態位置誤差為：用Kp表示單位階躍輸入時的穩態偏差，則6.2輸入引起的穩態誤差對0型系統對于Ⅰ型或高于Ⅰ型的系統：對于0型系統靜態位置誤差系數，應是系統的開環靜態放大倍數K6.2輸入引起的穩態誤差綜上，對于單位階躍輸入，穩定系統穩態偏差——“0型系統”——“對于Ⅰ型系統

或高于Ⅰ型系統”6.2輸入引起的穩態誤差(二)單位斜坡輸入，系統穩態偏差為對0型系統對Ⅰ型系統對Ⅱ型系統6.2輸入引起的穩態誤差靜態速度誤差系數對0型系統對Ⅰ型系統對Ⅱ型系統6.2輸入引起的穩態誤差(三)單位加速度輸入，系統穩態偏差為對0型系統對Ⅰ型系統對Ⅱ型系統6.2輸入引起的穩態誤差靜態加速度誤差系數對0型系統對Ⅰ型系統對Ⅱ型系統6.2輸入引起的穩態誤差位置誤差、速度誤差、加速度誤差分別指輸入是階躍、斜坡、勻加速度輸入時所引起的