線性代數 線性代數是討論矩陣理論,有限維向量空間及其線性變換理論的一門學科.線性代數在數學,物理學(量子力學),計算機圖形學(數據結構),計算機輔助涉及,學等學科有重要的應用.我的研究方向是代數群和量子群,線性代數是我的這個研究方向的理論基礎.大家在剛開始學這門,可能會覺得有些痛苦.可能會覺得概念太多,太抽象,這是一個正常現象.等到把這門課學完以后,會發現其實這門課一點也不抽象,很多概 二階與三階行列式解方程是代數中的一個基本問題.在中學中,我們解過一元,二元,三元一次方程組,一元二次方程.我們知道一元二次方程有求根公式,其實一元三次方程組,一元四次方程組也有根式求解,但是一般高于四次的一元方程是不能用根式求解的.這個問題是伽羅瓦通過引入群的概念徹底解決的,他把一元高次方程的根式求解問題轉化為群論的問題,然后通過研在這門課程當中我們不討論高次方程組的求解問題,我們討論的是多元一次方程組的求解問題,也就是討論線性方程組的求解問題.在這本書的前面三章中,我們主要討論多元一次方程組的求解問題第二章引進矩陣的概念,并且討論矩陣的一些基本性質a11x1a12x2我們現在來看一個二元一次方程組axaxb,x1x2是未知數21 22 若aaa 0,則xb1a22b2a12,xa11b211 12 a aa a a

11 12 11 12令稱為二階行列式

a11a22

a

中,a11a22的斜線稱為主對角線.a12a21的斜線稱為 對角線.a11a22a12aa12a21的乘積例 26353 ba ba

a12,babaa

b1.則x ,,x ..1b1 2b2

2 1ab ab2

,x的分子也是二階行列式,

aa

i

aa

§2全排列及其逆序數定義:由1, ,n組成的一個有序數組稱為一個n級排列例如231是一個三級排列.所有的三級排列:123,132,213,231,312,定義:在一個排列中,如果一對數的前后位置與大小順序相反,即前面的數大于后面的數,則稱之為一個逆序,一個排列中逆序的總數稱為這個排列的逆序數.例如:排列2431中,21,43,41,31都是逆序.2431的逆序數是4記(j1 jn)排列j1 jn的逆序數定義:逆序數為偶數的排列稱為偶排列,逆序數為奇數的排列稱為奇排列.例:(2431)4,所以2431是偶排列.(3214)3,所以3214是奇排列逆序數的計算：設p1 pn為1, ntt1t2 tn其中tipipi大的數的個數.是求和符號,表示把所有的ti加起來,i從1n例 求排列1 (2n (2n)的逆序數解:t10,t20 ,tn0,2ntn1n1,tn2n2 所以(1 (2n (2n))ti(n1)(n2) 0 i §3n 二階行列式aa11a22a12a21aj a1ja2j j12是一個二級排其中j1j2j1j2Σ是對所有二級排列求和三階行列式的定義

a11a22a33a12a23a31 1(j1j2j3)a 1j12j23n階行列式的定義an其中n階行列式的定義an(j1j2jnj1j2jn是一個n列

annj簡記為det(aij).其中(j1j2 jn)一個排列j1j2 為主對角線.a1nan1的斜線稱為副對角線列式的(ij元

aij位于這個行列式的第ij列,稱為, a1ja2

是行列式的不不同列的元素的乘積a1ja1j2 na積順序是按照行指標來排列的,行指標是按照自然順序12 n排列,求和是對列指標求和,列指標取遍所有的n級排列.由上可知,n階行列式恰好是它的 ★例1.證

(n1)n 21 2

1 證:記a111,a,,annn.因為行列式等于不n 和,a11以外其余元素都是零,a11,a22以外其余元素都是零,a22,nann以外其余元素都是零,所以第n行只能取ann,所

(1)(12n)a

11

1 記b1n1,b2,n12,

bn1n.因為行列式等于不不同列的n個元素的代數和行列式的第一行只能取b1n,第二行只能取b2,n1,n行只能取bn1b0b

(1)(n(n1)21)b

1n 1 ★例2.證明

ann下三角行列式

a

a上三角行列式

11 證:只證(1).因為行列式的第一行除了a11以外其余元素都是零,a11,第二行除了a12和a22以外其余元素都是零,但是因為行列式等于不不同列的n個元素的代數和,a12a11在同一列,a12,a22,n行只能取ann

(1)(12n)a .□

11定理an

i1i2in是一個n列

(i1i2in nin§5行列式的性質記

an

,DT

an

D的轉置行列式例D

6

DT

6798 9 798注意D的(i,j元＝DT的(i,j元.性質1.DDT. DT

b2n.

aji由上面的定理知DT(1)(i1i2in)b i1i2

i11i2 in(i1i2in)1i i1i2D 2.ri表示行列式的第i行,ci表示行列式的第i,交換行列式的ijrirj,1(或cicj 例D 6 6.D 46 6

推論.若行列式有兩行（或兩列）完全相同,則此行列式為0r證:設行列式D的第i行和第j行完全相同.則DjD,DD.所以D0 123例D4560123性質 行列式的第i行(或列)乘以k,記為kri(或kci 例

k 6 性質 例 6k4 60

a1i

a2i

a2n ani a 例 c 6 6 6 e

性質 把行列式的第j行的k倍加到第i行,記作rikrjjk倍加到第i列,記作cikcjriDD1D1D(或cikcj r 例 4 5 63k 計算行列式

一.rirjrikrj可把行列式化簡成上三角行列式123r123r 258r338 1232

r3r3

1 21

3r4 012012 1402140001

2 abbbbabbbbabbabbbbabbbbabbbbac

a

rra rrD rrD

a 解

a3b a

a a(a3b)(ab)3 例4.計算Dn 1111

0n11 n10 解:Dn1

n11 1

(1)n1(n1) n11 1

nn11 0 5.

5.D

a323a33a223a23a12

a23解:

c2c2

r1r1

a21

5 akk

★6.

0

dd

bb

b bdd

證:我們只證明(1),類似可以證明(21)D D1

aa

,D2

bbD2

若干次ri若干次rikrj的運ak若干次rikrj的若干次rikrj的運bk

ak n 所以D

a bDD k 1 二.

7.計算2nD2n

00 00 解:第2n行依次與第2n1行,第2n2行, ,第2行對換.第2n列依次與第2n1列,第2n2列, ,第2列對換.

0

(1)2(2n2)(ad 4r3r34r3r3例如D

04c4c3

b

d記xD,xnadbc,xD b(adbc) 所以 xx(adbc)n1(adbc)n §6行列式按行（列）一般來說,高階行列式的計算比較復雜.在這一節當中我們討論如何把高階行列式的計算題化簡成低階行列式的計算問題.為了達到這個目的,我們引入 在n階行列式中，把元素aij所在的第i行、第j列劃去，剩下的元素按原來的排 式，記為M；而A1ijM稱為a的代數子式

aa aa

例在

中,

13

,a的代數式

A(1)21 M 引理 若行列式D中的第i行所有aik(kj)為零， a1 D DaijAij

riri1,ri1 ,r2 i1j1a1 證 Dc , ,

c j j

ij1ijaMaA ij定理

ai1Ai1ai2Ai2 ainAini1 n(行列式按第i行展開

a1jA1ja2jA2j anjAnjj1 n(行列式按第j列展開 證： ai10 0 0ai2 0 00 an

0

an

an

an ai1Ai1ai2Ai2 ainAin 23000120001.D45230.6712389012 3

0r

16解D

2010020xx0 2010020xx0

4 2.D100x02x0100x02x00x300004解:

00的根

(4x2)(6x2) 4所以D的根是2, 111111n

(xx) 1 (其中是連乘符號,xixj乘起來,i,j滿足條件1jin例如.D2x2x1,D3x2x1)(x3x1)(x3x2D4(x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3)證:n歸納.n2時顯然成立rnrnrn1r2 x2xx

x(xx

xnx2xxx(xx 1 1 xn2xxn3xn3(xx xn2xxn3xn3(xx 1 1 xn1xxn2xn2 x xn1xxn2xn2(xx 1 1 (xx

x

xx(x2x1 (xnx1)2

x(xixj)x1

(xixj) 定理的推 ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn0ia1iA1ja2iA2j aniAnj0i

jj 證 aj1Aj1aj2Aj2 a 0

ai1Aj1ai2Aj2 ainAjn(因為兩個行列式只有第j行不同,所以它們的第j行的代數式對應相等.) aAaA a

iji1 i2j in

i aAaA a i

1i1 2i2 ni

i性質.

中aij的代數式是AijD b1Ai1b2Ai2 證:因為兩個行列式只有第i行不同,所以它們的第i行的代數式對應相等按第i行展D□a1,ja1,jan,jan,jb1A1jb2A2j 21 0 13 例.設D ,D的(i,j) 21 0 13 A11A12A13A14M11M21M31M41 11 0解:A11A12A13A14

4 121101313M11M21M31M41A11121101313

§7法11 12 1n axax axbaxax11 12 1n 21 22 2n an1x1an2x2 annxn

的系數行列式D

0,則(1)有唯一解:xD1,xD2 ,xDn a1,j

a1,

Dj

an,j an,j 在第三章中我們可以證明定理.(1)有唯一解det(aij)0非齊次線性方程組 b1,b2 ,bn不全為0齊次線性方程組 b1b2 bn0a11x1a12x2 a1nxnaxax ax21 22 2n an1x1an2x2 annxnx1x2 xn0一定是(2)的解,稱為(2)的零解2)的其它解稱為(2)的非零解定理 (2)只有零解D逆否命題2)有非零解D0證:由上面的定理知(2)只有零解(2)有唯一解D0 x13x27x3 1.求2x4x3x 3x7x2x 解:D

3196,D1 354,D2

338

D 180.

D1

27,x

D219

D3

20 3

D (5)x2y2z例2.問取何值時,齊次線性方程組2x(6) 0(*)有非零解 (4)z5 解:(*)有非零解 6 0. 45 6 4

(31526680)所以(*)有非零解315266800問題:如何對31526680進行因式分解定理.設f()an n