第四章曲線運動萬有引力與航天第1講曲線運動運動的合成與分解過好雙基關一、曲線運動1.速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的

.2.運動的性質：做曲線運動的物體，速度的方向時刻在改變，所以曲線運動一定是

運動.3.運動的條件：物體所受

的方向跟它的速度方向不在同一條直線上或它的

方向與速度方向不在同一條直線上.4.合外力方向與軌跡的關系物體做曲線運動的軌跡一定夾在

方向與

方向之間，速度方向與軌跡相切，合外力方向指向軌跡的“凹”側.切線方向變速合外力加速度合外力速度答案自測1

(多選)一質點做曲線運動，它的速度方向和加速度方向的關系是A.質點速度方向時刻在改變B.質點加速度方向時刻在改變C.質點速度方向一定與加速度方向相同D.質點速度方向一定沿曲線的切線方向√√答案自測2已知物體運動的初速度v0的方向及恒力F的方向如下列各圖所示，則圖中運動軌跡可能正確的是√答案自測3

(多選)關于做曲線運動的物體，下列說法中正確的是A.它所受的合外力一定不為零B.它所受的合外力一定是變力C.其速度可以保持不變D.其速度的大小可以保持不變√√二、運動的合成與分解1.遵循的法則位移、速度、加速度都是矢量，故它們的合成與分解都遵循___________

.2.合運動與分運動的關系(1)等時性：合運動和分運動經歷的

相等，即同時開始、同時進行、同時停止.(2)獨立性：一個物體同時參與幾個分運動，各分運動

，不受其他運動的影響.(3)等效性：各分運動的規律疊加起來與合運動的規律有完全相同的

.平行四邊形定則時間獨立進行效果3.運動性質的判斷加速度(或合外力)加速度(或合外力)方向與速度方向變化：

運動不變：

運動共線：

運動不共線：

運動非勻變速勻變速直線曲線4.兩個直線運動的合運動性質的判斷標準：看合初速度方向與合加速度方向是否共線.兩個互成角度的分運動合運動的性質兩個勻速直線運動勻速直線運動一個勻速直線運動、一個勻變速直線運動

運動兩個初速度為零的勻加速直線運動

運動兩個初速度不為零的勻變速直線運動如果v合與a合共線，為_______

運動如果v合與a合不共線，為_____

運動勻變速曲線勻加速直線勻變速直線勻變速曲線答案自測4教材P7第2題改編(多選)跳傘表演是人們普遍喜歡的觀賞性體育項目，如圖1所示，當運動員從直升機上由靜止跳下后，在下落過程中將會受到水平風力的影響，下列說法中正確的是A.風力越大，運動員下落時間越長，運動員可完成更多的動作B.風力越大，運動員著地速度越大，有可能對運動員造成傷害C.運動員下落時間與風力無關D.運動員著地速度與風力無關√√圖1研透命題點1.條件物體受到的合外力方向與速度方向始終不共線.2.特征(1)運動學特征：做曲線運動的物體的速度方向時刻發生變化，即曲線運動一定為變速運動.(2)動力學特征：由于做曲線運動的物體所受合外力一定不為零且和速度方向始終不在同一條直線上(做曲線運動的條件).合外力在垂直于速度方向上的分力改變物體速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改變物體速度的大小.命題點一曲線運動的條件和特征基礎考點自主悟透(3)軌跡特征：曲線運動的軌跡始終夾在合外力的方向與速度的方向之間，而且向合外力的一側彎曲.(4)能量特征：如果物體所受的合外力始終和物體的速度垂直，則合外力對物體不做功，物體的動能不變；若合外力不與物體的速度方向垂直，則合外力對物體做功，物體的動能發生變化.例1下列說法正確的是A.做曲線運動的物體的速度一定變化B.速度變化的運動一定是曲線運動C.加速度恒定的運動不可能是曲線運動D.加速度變化的運動一定是曲線運動√解析做曲線運動的物體，速度方向一定改變，選項A正確；速度大小改變而方向不變的運動是直線運動，選項B錯誤；平拋運動是加速度恒定的曲線運動，選項C錯誤；加速度大小改變，但加速度方向與速度方向始終相同，這種運動是直線運動，選項D錯誤.答案解析例2一個物體在光滑水平面上沿曲線MN運動，如圖2所示，其中A點是曲線上的一點，虛線1、2分別是過A點的切線和法線，已知該過程中物體所受的合外力是恒力，則當物體運動到A點時，合外力的方向可能是A.沿F1或F5的方向B.沿F2或F4的方向C.沿F2的方向D.不在MN曲線所確定的水平面內√答案圖2變式1如圖所示，“嫦娥號”探月衛星在由地球飛向月球時，沿曲線從M點向N點飛行的過程中，速度逐漸減小，在此過程中探月衛星所受合力方向可能是下列圖中的答案√命題點二運動的合成與分解能力考點師生共研1.分析運動的合成與分解問題時，一般情況下按運動效果進行分解.2.要注意分析物體在兩個方向上的受力及運動規律，分別在兩個方向上列式求解.3.兩個方向上的分運動具有等時性，這常是處理運動分解問題的關鍵點.例3

(2015·新課標全國Ⅱ·16)由于衛星的發射場不在赤道上，同步衛星發射后需要從轉移軌道經過調整再進入地球同步軌道.當衛星在轉移軌道上飛經赤道上空時，發動機點火，給衛星一附加速度，使衛星沿同步軌道運行.已知同步衛星的環繞速度約為3.1×103m/s，某次發射衛星飛經赤道上空時的速度為1.55×103m/s，此時衛星的高度與同步軌道的高度相同，轉移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖3所示，發動機給衛星的附加速度的方向和大小約為A.西偏北方向，1.9×103m/sB.東偏南方向，1.9×103m/sC.西偏北方向，2.7×103m/sD.東偏南方向，2.7×103m/s√圖3答案解析變式2

(2015·廣東理綜·14)如圖4所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向運動，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板為參照物A.帆船朝正東方向航行，速度大小為vB.帆船朝正西方向航行，速度大小為vC.帆船朝南偏東45°方向航行，速度大小為

vD.帆船朝北偏東45°方向航行，速度大小為

v√圖4解析以帆板為參照物，帆船具有正東方向的速度v和正北方向的速度v，所以帆船相對帆板的速度v相對＝

v，方向為北偏東45°，D正確.答案解析變式3

(多選)如圖5甲所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上運動，其v－t圖象如圖乙所示，同時人頂著桿沿水平地面運動的x－t圖象如圖丙所示.若以地面為參考系，下列說法正確的是A.猴子的運動軌跡為直線B.猴子在2s內做勻變速曲線運動C.t＝0時猴子的速度大小為8m/sD.猴子在2s內的加速度大小為4m/s2√√答案解析圖5解析猴子在豎直方向做初速度為8m/s、加速度為4m/s2的勻減速運動，水平方向做速度大小為4m/s的勻速運動，其合運動為曲線運動，故猴子在2s內做勻變速曲線運動，選項A錯誤，B正確；猴子在2s內的加速度大小為4m/s2，選項D正確.命題點三小船渡河模型能力考點師生共研1.船的實際運動：是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動.2.三種速度：船在靜水中的速度v船、水的流速v水、船的實際速度v.3.兩類問題、三種情景模型構建渡河時間最短當船頭方向垂直河岸時，渡河時間最短，最短時間tmin＝渡河位移最短如果v船>v水，當船頭方向與上游河岸夾角θ滿足v船cosθ＝v水時，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河寬d如果v船<v水，當船頭方向(即v船方向)與合速度方向垂直時，渡河位移最短，等于4.分析思路例4小船在200m寬的河中橫渡，水流速度為2m/s，船在靜水中的航速是4m/s，求：(1)若小船的船頭始終正對對岸行駛，它將在何時、何處到達對岸？答案見解析解析小船參與了兩個分運動，即船隨水漂流的運動和船在靜水中的運動.因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河的時間等于垂直于河岸方向的分運動的時間，即小船沿水流方向的位移x水＝v水t＝2×50m＝100m即船將在正對岸下游100m處靠岸.答案解析(2)要使小船到達河的正對岸，應如何航行？歷時多長？答案見解析解析要使小船到達正對岸，合速度v應垂直于河岸，如圖甲所示，則即船的航向與上游河岸成60°角，渡河時間答案解析(3)小船渡河的最短時間為多長？答案見解析答案解析(4)若水流速度是5m/s，船在靜水中的速度是3m/s，則怎樣渡河才能使船漂向下游的距離最短？最短距離是多少？答案見解析解析因為v船＝3m/s<v水＝5m/s，所以船不可能垂直河岸橫渡，不論航向如何，總被水流沖向下游.如圖丙所示，設船頭(v船)與上游河岸成θ角，合速度v與下游河岸成α角，可以看出：α角越大，船漂向下游的距離x′越短.以v水的矢尖為圓心，以v船的大小為半徑畫圓，當合速度v與圓相切時，α角最大.答案解析變式4

(2018·云南保山模擬)如圖6所示，一艘輪船正在以4m/s的速度沿垂直于河岸方向勻速渡河，河中各處水流速度都相同，其大小為v1＝3m/s，行駛中，輪船發動機的牽引力與船頭朝向的方向相同.某時刻發動機突然熄火，輪船牽引力隨之消失，輪船相對于水的速度逐漸減小，但船頭方向始終未發生變化.求：(1)發動機未熄火時，輪船相對于靜水行駛的速度大小.答案5m/s答案解析圖6解析發動機未熄火時，輪船運動速度v與水流速度v1方向垂直，如圖所示.(2)發動機熄火后，輪船相對于河岸速度的最小值.答案2.4m/s解析由(1)中，熄火前，設v與v2的夾角為θ，則cosθ＝

＝0.8，輪船的牽引力沿v2的方向，水的作用力與v2的方向相反，熄火后，牽引力消失，在水的作用力作用下，v2逐漸減小，但其方向不變，當v2與v1的矢量和與v2垂直時，輪船的合速度最小，α＝θ，則vmin＝v1cosα＝3×0.8m/s＝2.4m/s.答案解析命題點四繩(桿)端速度分解模型能力考點師生共研1.模型特點沿繩(桿)方向的速度分量大小相等.2.思路與方法合速度→繩(桿)拉物體的實際運動速度v模型構建其一：沿繩(桿)的速度v1其二：與繩(桿)垂直的分速度v2分速度→方法：v1與v2的合成遵循平行四邊形定則.3.解題的原則把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解.常見的模型如圖7所示.圖7模型1繩端速度分解模型例5如圖8所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通過不可伸長的繩拖船，船沿繩的方向行進，此過程中繩始終與水面平行.當繩與河岸的夾角為α時，船的速率為圖8解析將人的運動分解為沿繩方向的分運動(分速度為v1)和與繩垂直方向的分運動(分速度為v2)，如圖所示.船的速率等于沿繩方向的分速度v1＝vcosα，選項C正確.√答案解析變式5

A、B兩物體通過一根跨過光滑輕質定滑輪的不可伸長的輕繩相連放在水平面上，現物體A以v1的速度向右勻速運動，當繩被拉成與水平面夾角分別是α、β時，如圖9所示，物體B的運動速度vB為(繩始終有拉力)√答案解析圖9物體A的合運動對應的速度為v1，它的速度分解如圖乙所示，則有v繩A＝v1cosα ②由于對應同一根繩，其長度不變，故v繩B＝v繩A

③模型2桿端速度分解模型例6如圖10所示，AB桿以恒定角速度繞A點轉動，并帶動套在光滑水平桿OC上的質量為M的小環運動，運動開始時，AB桿在豎直位置，則小環M的速度將A.逐漸增大 B.先減小后增大C.先增大后減小 D.逐漸減小√答案解析圖10變式6

(2018·吉林公主嶺調研)一輕桿兩端分別固定質量為mA和mB的兩個小球A和B(可視為質點)，將其放在一個光滑球形容器中從位置1開始下滑，如圖11所示，當輕桿到達位置2時，球A與球形容器球心等高，其速度大小為v1，已知此時輕桿與水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小為v2，則答案圖11√變式7兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起，上面分別穿有兩個小球a和b，小球a、b間用一細直棒相連，如圖12所示.當細直棒與豎直桿夾角為θ時，求小球a、b實際速度大小之比.解析根據速度的分解特點，可作出兩小球的速度關系如圖所示.由圖中幾何關系可得，a、b沿棒方向的分速度分別為vacosθ和vbsinθ，根據“關聯速度”的特點可知，兩小球沿棒的分速度大小相等，即有vacosθ＝vbsinθ，解得：

＝tanθ.圖12答案tanθ答案解析課時作業1.下列關于運動和力的敘述中，正確的是A.做曲線運動的物體，其加速度方向一定是變化的B.做圓周運動的物體，所受的合力一定指向圓心C.物體所受合力方向與運動方向相反，該物體一定做直線運動D.物體運動的速率在增加，所受合力方向一定與運動方向相同√雙基鞏固練12345678910111213答案解析解析做勻變速曲線運動的物體，其加速度不變，故A錯誤；做勻速圓周運動的物體，所受的合力才指向圓心，做變速圓周運動的物體，所受的合力不指向圓心，故B錯誤；物體所受合外力與運動方向共線，一定是直線運動，故C正確；物體運動的速率在增加，所受合力方向與運動方向可能相同，也可能夾角為銳角，故D錯誤.123456789101112132.一質點做曲線運動，速率逐漸減小.關于它在運動過程中P點的速度v和加速度a的方向，下列描述準確的圖是12345678910111213√答案解析12345678910111213解析題圖A中，加速度方向與速度方向夾角小于90°，質點做加速運動，故A錯誤；題圖B中，加速度的方向不能沿曲線的切線方向，應與力同向指向曲線內側，故B錯誤；題圖C中，加速度方向與速度方向夾角大于90°，質點做減速運動，故C正確；題圖D中，速度方向應該沿曲線的切線方向，故D錯誤.123456789101112133.(2017·甘肅蘭州一中期中)小船過河時，船頭偏向上游與河岸成α角，船相對靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸，現水流速度稍有增大，為保持航線不變，且準時到達對岸，下列措施中可行的是A.減小α角，增大船速v B.增大α角，增大船速vC.減小α角，保持船速v不變 D.增大α角，保持船速v不變√解析由題意可知，船相對靜水的速度為v，其航線恰好垂直于河岸，當水流速度稍有增大，如圖所示，為保持航線不變，且準時到達對岸，則減小α角，增大船速v，可知，A正確，B、C、D均錯誤.故選A.答案解析4.如圖1所示，蠟塊在豎直玻璃管內的水中勻速上升，速度為v.若在蠟塊從A點開始勻速上升的同時，玻璃管從AB位置由靜止開始水平向右做勻加速直線運動，加速度大小為a，則蠟塊的實際運動軌跡可能是圖中的A.直線P B.曲線QC.曲線R D.無法確定√12345678910111213圖1答案解析解析當合速度的方向與合力(或合加速度)的方向不在同一直線上時，物體將做曲線運動，且軌跡夾在速度方向與合力方向之間，軌跡的凹向大致指向合力的方向.蠟塊的合速度方向偏向右上，合加速度方向水平向右，不在同一直線上，軌跡的凹向要大致指向合力的方向，故B正確，A、C、D均錯誤，故選B.1234567891011121312345678910111213答案解析√123456789101112136.(多選)質量為0.2kg的物體在水平面上運動，它的兩個正交分速度圖線分別如圖2甲、乙所示，由圖可知A.最初4s內物體的位移為8mB.從開始至6s末物體都做曲線運動C.最初4s內物體做曲線運動，接下來的2s內物體做直線運動D.最初4s內物體做直線運動，接下來的2s內物體做曲線運動√12345678910111213圖2√答案解析123456789101112137.(多選)河水的流速隨離河岸一側的距離的變化關系如圖3甲所示，船在靜水中的速度與時間的關系如圖乙所示，若要使船以最短時間渡河，則A.船渡河的最短時間是100sB.船在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C.船在河水中航行的軌跡是一條直線D.船在河水中的最大速度是4m/s√答案12345678910111213圖3√8.如圖4為質點做勻變速曲線運動軌跡的示意圖，且質點運動到D點時速度方向與加速度方向恰好互相垂直，則質點從A點運動到E點的過程中，下列說法中正確的是A.質點經過C點的速率比D點的大B.質點經過A點時的加速度方向與速度方向的夾角

小于90°C.質點經過D點時的加速度比B點的大D.質點從B到E的過程中加速度方向與速度方向的夾角先增大后減小綜合提升練√圖412345678910111213答案解析解析質點做勻變速曲線運動，所以加速度不變；由于在D點速度方向與加速度方向垂直，則在C點時速度方向與加速度方向的夾角為鈍角，所以質點由C到D速率減小，在C點的速率比D點大.123456789101112139.(2018·甘肅平涼質檢)如圖5所示，水平面上固定一個與水平面夾角為θ的斜桿A，另一豎直桿B以速度v水平向左做勻速直線運動，則從兩桿開始相交到最后分離的過程中，兩桿交點P的速度方向和大小分別為A.水平向左，大小為vB.豎直向上，大小為vtanθC.沿A桿斜向上，大小為D.沿A桿斜向上，大小為vcosθ√12345678910111213答案圖510.如圖6所示，河水由西向東流，河寬為800m，河中各點的水流速度大小為v水，各點到較近河岸的距離為x，v水與x的關系為v水＝

(m/s)(x的單位為m)，讓小船船頭垂直河岸由南向北渡河，小船劃水速度大小恒為v船＝4m/s，則下列說法中正確的是A.小船渡河的軌跡為直線B.小船在河水中的最大速度是5m/sC.小船在距南岸200m處的速度小于在距北岸200m處的速度D.小船渡河的時間是160s√12345678910111213答案解析圖6解析小船在南北方向上為勻速直線運動，在東西方向上先加速，到達河中間后再減速，速度與加速度不共線，小船的合運動是曲線運動，A錯.當小船運動到河中間時，東西方向上的分速度最大，為3m/s，此時小船的合速度最大，最大值vm＝5m/s，B對.小船在距南岸200m處的速度等于在距北岸200m處的速度，C錯.小船的渡河時間t＝

＝200s，D錯.1234567891011121311.(多選)甲、乙兩船在同一河流中同時開始渡河.河水流速為v0.兩船在靜水中的速率均為v.甲、乙兩船船頭與河岸夾角均為θ，如圖7所示，已知甲船恰好能垂直到達河正對岸的A點，乙船到達河對岸的B點，A、B之間的距離為l.則下列判斷正確的是A.甲、乙兩船同時到達對岸B.若僅是河水流速v0增大，則兩船的渡河時間都不變C.不論河水流速v0如何改變，只要適當改變θ，甲船

總能到達正對岸的A點D.若僅是河水流速v0增大，則兩船到達對岸時，兩船之間的距離仍然為l12345678910111213圖7√√√答案解析解析甲、乙兩船在垂直河岸方向上的分速度相同，都為vsinθ，根據合運動與分運動具有等時性可知，兩船的渡河時間相同，且與河水流速v0無關，故A、B正確；將船速v正交分解，當vcosθ＝v0，即甲船的合速度垂直指向對岸時，甲船才能到達正對岸，故C錯誤；兩船到達對岸時，兩船之間的距離x＝x乙－x甲＝(vcosθ＋v0)t－(v0－vcosθ)t＝2vtcosθ，與v0無關，故D正確.1234567