實數集與函數第一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

記號與術語第二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日《數學分析》概述

一、研究對象變量間的關系及變化過程，具體表現為函數及其性質。函數及其性質：單調性、有界性、奇偶性、最大（小）值、極大（小）值、周期性、圖象、……需要指明的是：中學也研究函數的這些性質，但主要采用“靜止”、“孤立”的方法去研究函數．而在《數學分析》中主要采用“運動”、“聯系”、“變化”的過程把握變化的結果．因而《數學分析》中的方法具“運動性”、“變化性”．如何研究函數？通過什么方式、角度去研究呢？或用什么樣的工具去研究函數呢？這些構成《數學分析》的主要內容．第三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日變量數學分析數學分析函數極限方法極限論微分學積分學級數論（單變量和多變量）工具基礎中心對象對象變動觀點關系第六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第一章實數集與函數

§1實數§2數集確界原理§3函數的概念§4復合函數與反函數第十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日1.1實數一.實數及其性質二.絕對值與不等式第十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

若規定：

則有限十進小數都能表示成無限循環小數.實數對正整數對負有限小數（包括負整數）y,先將-y表示成無限小數，再在無限小數前加負號．如:-8=-7.999一.實數及其性質：1.回顧中學中關于有理數和無理數的定義.第十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日說明:

對于負實數x,y,若有-x=-y與-x>-y,則分別稱x=y與x<y(y>x)2.兩個實數的大小關系

說明:

自然規定任何非負實數大于任何負實數.)2,1(,,,2,1,.90,90),2,1(,,,.,.110000210210xyyxx，yyxbalkbalbay；x，yxkbaba，kba，babbbbyaaaaxllkkkkkkkknn<>>==>===￡￡￡￡===++或分別記為小于或大于則稱而使得或存在非負整數若記為相等與則稱若有為整數為非負整數其中給定兩個非負實數LLLLLLL1)定義1第十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日定義2設

為實數x的n位不足近似，而有理數

稱為x的n位過剩近似，n=0,1,2,….為非負實數.稱有理數2)通過有限小數比較大小的等價條件第十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

對于負實數其n位不足近似和n位過剩近似分別規定為和

注意：對任何實數x,有,第十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日命題1

設實數的性質

1.實數集R對加,減,乘,除(除數不為0)四則運算是封閉的.即任意兩個實數和,差,積,商(除數不為0)仍然是實數.

2.實數集是有序的.即任意兩個實數a,b必滿足下述三個關系之一:a<b,a=b,a>b.為兩個實數，則第十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日3.實數集的大小關系具有傳遞性.即若a>b,b>c,則有a>c.5.實數集R具有稠密性.即任何兩個不相等的實數之間必有另一個實數,且既有有理數,也有無理數.6.實數集R與數軸上的點具有一一對應關系.即任一實數都對應數軸上唯一的一點,反之,數軸上的每一點也都唯一的代表一個實數..

,

0

,

,

.

4

b

na

n

a

b

R

b

a

,

>

>

>

?

使得

則存在正整數

若

即對任何

實數具有阿基米德性

第十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例1證明例2證明.::,yrxr，yx<<滿足存在有理數證明為實數設.,)(21.,yrxyyrxx，ryxryxn，yxnnnnnn<<￡<<￡+=<<即得且有為有理數則令使得故存在非負整數由于.,:,,babaRba￡+<?則有若對任何正數證明設ee..,,..bababababa,￡+<+=-=>從而必有矛盾這與假設為正數且則令有則根據實數的有序性假若結論不成立用反證法eeee第十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日a0-a二.絕對值與不等式從數軸上看的絕對值就是到原點的距離：

絕對值定義：第二十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日絕對值的一些主要性質第二十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日性質4（三角不等式）的證明：由此可推出第二十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日幾個重要不等式:⑵均值不等式:(算術平均值)(幾何平均值)(調和平均值)第二十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日有平均值不等式:等號當且僅當時成立.⑶Bernoulli不等式:第二十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日⑷利用二項展開式得到的不等式:由二項展開式第二十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日§1.2數集·確界原理一、區間與鄰域

二、上確界、下確界第二十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日一、區間與鄰域1.集合:具有某種特定性質的事物的總體.組成這個集合的事物稱為該集合的元素.有限集無限集第二十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日數集分類:N----自然數集Z----整數集Q----有理數集R----實數集數集間的關系:例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規定空集為任何集合的子集.第二十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日2.區間:是指介于某兩個實數之間的全體實數.這兩個實數叫做區間的端點.稱為開區間,稱為閉區間,第二十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日稱為半開區間,稱為半開區間,有限區間無限區間區間長度的定義:兩端點間的距離(線段的長度)稱為區間的長度.第三十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日3.鄰域:第三十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日二有界集·確界原理1有（無）界數集:定義(上、下有界,有界)數集S有上界數集S無上界數集S有下界數集S無下界數集S有界數集S無界第三十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例證明集合

是無界數集.證明：由無界集定義，E為無界集.第三十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第三十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日2確界:直觀定義:若數集S有上界，則它有無窮多個上界，其中最小的一個上界稱為數集S的上確界，同樣，有下界數集S最大的一個下界稱為數集S的下確界，MM2M1上確界上界m2mm1下確界下界第三十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日確界的精確定義

第三十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第三十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第三十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第三十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例3設數集S有上確界.證明第四十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例4設A,B為非空數集,滿足:證明數集A有上確界,數集B有下確界,且證:

故有確界原理知,數集A有上確界,數集B有下確界.

是數集A的一個上界,而由上確界的定義知由假設,數集B中任一數

都是數集A的上界,A中任一數

都是B的下界,

是數集A的最小上界,故有

而此式又表明數

是數集B的一個下界,

故由下確界的定義證得

第四十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例5

為非空數集,

試證明:

證

有或

由和分別是的下界,有或即

是數集的下界,

.和第四十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日2、3、上第四十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

3.數集與確界的關系:確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.

4.確界與最值的關系:

設E為數集.

⑴E的最值必屬于E,但確界未必,確界是一種臨界點.

⑵

非空有界數集必有確界(見下面的確界原理),但未必有最值.

⑶

若存在,必有對下確界有類似的結論.第四十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

5確界原理

定理1(確界原理).設E為非空數集，若E有上界，則E必有上確界；若E有下界，則E必有下確界。第四十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日設A,B為非空有限數集,.證明:

例6證:

故得

所以

綜上,即證得第四十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日§1.3函數的一般概念函數的概念2幾個特殊的函數舉例3函數的性質第四十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

一、函數概念

函數是整個高等數學中最基本的研究對象,可以說數學分析就是研究函數的.因此我們對函數的概念以及常見的一些函數應有一個清楚的認識.

第四十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日因變量自變量D稱為定義域，記作Df，即Df=

D

.函數值的全體構成的數集稱為值域，記為：第四十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日對應法則f函數的兩要素:定義域與對應法則.自變量因變量約定:定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切實數值.第五十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日關于函數定義的幾點說明:第五十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第五十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日定義:如果自變量在定義域內任取一個數值時，對應的函數值總是只有一個，這種函數叫做單值函數，否則叫做多值函數．第五十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日函數的相等與不等注：分清和“函數值的相等與不等”。第五十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日表示函數的主要方法有三種:表格法、圖形法、解析法(公式法).用圖形法表示函數是基于函數圖形的概念,坐標平面上的

函數的表示法第五十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日單值函數與多值函數

在函數的定義中,對每個xD,對應的函數值y總是唯一的,這樣定義的函數稱為單值函數.如果給定一個對應法則,按這個法則,對每個xD,總有確定的y值與之對應,但這個y不總是唯一的,我們稱這種法則確定了一個多值函數.例如,由方程x2y2r2確定的函數是一個多值函數:此多值函數附加條件“y0”后可得到一個單值分支第五十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日此函數稱為絕對值函數,其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

=[0,+).

(2)

(1)常值函數y=c.其定義域為D=(-,

+),其值域為Rf

={c}.下頁三幾個特殊的函數舉例第五十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日(3)符號函數

其定義域為D=(-,+),其值域為Rf

={-1,0,1}.第五十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日(4)取整函數y=[x][x]表示不超過的最大整數階梯曲線其定義域為D=(-,+),其值域為

=Z.例：

第五十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日（5）“非負小數部分”函數

它的定義域是第六十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日有理數點無理數點?1xyo(6)狄利克雷函數其定義域為D=(-,+),其值域為={0,1}.第六十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日(7)取最值函數yxoxo第六十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日(8)Riemann函數第六十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日在自變量的不同變化范圍中,對應法則用不同的式子來表示的函數,稱為分段函數.分段函數第六十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例2解故第六十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日三、函數的性質M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性:第六十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日M-Myxoy=f(x)X有界無界M-MyxoX1．函數的有界性:四、函數的性質第六十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:

|sinx|1.所以函數無上界.有界函數舉例第六十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日例3第六十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日2．函數的單調性:xyo第七十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日xyo第七十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日3．函數的奇偶性:偶函數yxox-x第七十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日奇函數yxox-x第七十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第七十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第七十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日4．函數的周期性:（通常說周期函數的周期是指其最小正周期）.第七十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日第七十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日§1.4復合函數

反函數初等函數二.反函數三.初等函數四.雙曲函數與反雙曲函數一.復合函數第七十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日一、復合函數

在實際問題中，有很多比較復雜的函數是由幾個比較簡單的函數“疊置”而成的，如在簡諧振動中位移y與時間t的函數關系就是由三角函數和線性函數“疊置”而成的，第七十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日定義:注意:1.不是任何兩個函數都可以復合成一個復合函數的;——復合條件第八十頁，共一百零六頁，2022年，8月28日復合函數的定義域復合條件在實際應用時常取形式內層函數的值域落在外層函數的定義域之內2.復合函數可以由兩個以上的函數經過復合構成.第八十一頁，共一百零六頁，2022年，8月28日二、反函數DWDW反函數.第八十二頁，共一百零六頁，2022年，8月28日的反函數，記為

反函數的定義域和值域恰為原函數的值域和定義域

顯然有

(恒等變換）

(恒等變換)

。第八十三頁，共一百零六頁，2022年，8月28日這樣直接函數與反函數的圖形關于直線對稱.從方程角度看，函數和反函數沒什么區別，作為函數，習慣上我們還是把反函數記為.第八十四頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

嚴格單調函數是1-1對應的，所以嚴格單調函數有反函數。但1-1對應的函數（有反函數）不一定是嚴格單調的，看下面例子它的反函數即為它自己.

第八十五頁，共一百零六頁，2022年，8月28日

實際求反函數問題可分為二步進行：

(1).確定的定義域和值域，考慮1-1對應條件。固定，解方程

得出。(2).按習慣，自變量、因變量互換，得.第八十六頁，共一百零六頁，2022年，8月28日三初等函數１、基本初等函數（1）.冪函數第八十七頁，共一百零六頁，2022年，8月28日冪函數第八十八頁，共一百零六頁，2022年，8月28日（2）.指數函數第八十九頁，共一百零六頁，2022年，8月28日（3）.對數函數第九