對稱性和布拉維格子的分類第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日對稱操作：維持整個物體不變而進行的操作稱作對稱操作。即：操作前后物體任意兩點間的距離保持不變的操作。點對稱操作：在對稱操作過程中至少有一點保持不動的操作。有限大小的物體，只能有點對稱操作。對稱元素：對稱操作過程中保持不變的幾何要素：點，反演中心；線，旋轉軸；面，反映面等。對稱性的概念：

一個物體（或圖形）具有對稱性，是指該物體（或圖形）是由兩個或兩個以上的部分組成，經過一定的空間操作（線性變換），各部分調換位置之后整個物體（或圖形）保持不變的性質。第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日一些圖形的對稱操作：●●如何科學地概括和區別四種圖形的對稱性？從旋轉來看，圓形對繞中心的任何旋轉都是不變的；正方形只能旋轉才保持不變；后2個圖形只有的旋轉。圓形的任一直徑都是對稱線；正方形只有4條連線是對稱線；等腰梯形只有兩底中心連線是對稱線。第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

以上，考察在一定幾何變換之下物體的不變性，使用的幾何變換（旋轉和反射）都是正交變換——保持兩點距離不變的變換：其中Aij

為正交矩陣從解析幾何知道，符合正交變換的是：繞固定軸的轉動(Rotationaboutanaxis)

繞z軸旋轉θ角數學上可以寫作：第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日反演：（Inversion)反映（Reflection)恒等操作（Z=0的平面）表示對稱操作的符號有兩種，這里用的是國際符號。第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日

如果，一個物體在某一正交變換下保持不變，我們就稱這個變換為物體的一個對稱操作。一個物體可能的對稱操作越多，它的對稱性就越高。立方體具有較高的對稱性，它有48個對稱操作：繞4條體對角線可以旋轉共8個對稱操作；繞3個立方邊可以旋轉共9個對稱操作；繞6條棱對角線可以轉動π，共6

個對稱操作；加上恒等操作共24個。立方體體心為中心反演，所以以上每一個操作加上中心反演后，仍為對稱操作，因此立方體共有48個對稱操作。第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日

通過仔細分析可知正四面體允許的對稱操作只有24個；正六角拄的對稱操作也只有24個，它們都沒有立方體的對稱性高。請思考它們的對稱操作？第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日數學上看，群代表一組元素的集合

G=｛E,A,B,C,D,……｝這些元素被賦予一定的乘法法則，滿足下列性質：若A,B∈G則AB＝C∈G,這是群的閉合性。存在單位元素E,使所有元素滿足：AE=A

任意元素A，存在逆元素：AA-1=E

元素間滿足結合律：A(BC)=(AB)C對稱操作群：一個物體的全部對稱操作的集合，構成對稱操作群。描述物體的對稱性需要找出物體的全部對稱操作，也就是找出它所具有的對稱操作群。

一個物體全部對稱操作的集合，也滿足上述群的定義，運算法則是連續操作，不動操作是單位元素。第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日注意：在說明一個物體的對稱性時，為了簡便，有時不去一一列舉所有的對稱操作，而是指出它的對稱元素，若一個物體繞某一個轉軸轉以及它的倍數物體保持不變時，便稱作n重旋轉軸，記做n

；若一個物體繞某一轉軸轉再作反演以及轉動它的倍數再作反演物體保持不變時，該軸稱作n重旋轉－反演軸,記做。立方體的對稱元素有：正四面體的對稱元素只有：卻沒有顯然，列舉出一個物體的對稱元素和說出它的對稱操作一樣，都可以表明出物體的對稱特點。第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日二.晶體中允許的對稱操作：

人們早就指出，晶體的外形（宏觀）對稱性是其原子做周期性排列的結果。原子排列的周期性用晶體點陣表示，晶體本身對稱操作后不變，其晶體點陣在對稱操作后也應該保持不變，這就限制了晶體所可能有的點對稱操作數目，可以證明：不論任何晶體，它的宏觀對稱元素最多只可能有10種（一說8種）對稱元素：

說明：是反映面m，而不是獨立的。8種說法指：對稱操作符號，除去以上使用的國際符號外，還通常使用熊夫利符號。第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日旋轉－反演軸的對稱操作：1次反軸為對稱中心；2次反軸為對稱面；3次反軸為3次軸加對稱中心第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日旋轉－反演軸的對稱操作：6次反軸為3次軸加對稱面；4次反軸可以獨立存在。第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日見黃昆書30頁晶體中只有2，3，4，6次旋轉軸，沒有5次軸和大于6次以上的軸，可以直觀的從只有正方形、長方形、正三角形、正六邊形可以重復布滿平面，而5邊形和n(>6)邊形不能布滿平面空間來直觀理解。因此固體中不可能存在5次軸曾是大家的共識，然而1984年美國科學家Shechtman在急冷的鋁錳合金中發現了晶體學中禁戒的20面體具有的5次對稱性，這是對傳統晶體觀念的一次沖擊。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日20面體的對稱性第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日黃昆書47頁

目前普遍的認識是：晶體的必要條件是其構成原子的長程有序，而不是平移對稱性，具有5次對稱性的準晶體（Quasicrystal）就是屬于原子有嚴格的位置有序，而無平移對稱性的晶體。它的圖像可從二維Penrose拼圖中得到理解。實際是一種準周期結構，是介于周期晶體和非晶玻璃之間的一種新的物質形態——準晶態。見馮端書p72τ

是黃金比值第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日三.晶體宏觀對稱性的表述：點群：

晶體中只有8種獨立的對稱元素：

C1(1)、C2(2)、C3(3)、C4(4)、C6(6)、Ci(i)、σ(m)和

實際晶體的對稱性就是由以上八種獨立點對稱元素的各種可能組合之一，由對稱元素組合成對稱操作群時，對稱軸之間的夾角、對稱軸的數目，都會受到嚴格的限制，例如，若有兩個2重軸，它們之間的夾角只可能是，可以證明總共只能有32種不同的組合方式，稱為32種點群。形形色色的晶體就宏觀對稱性而言，總共只有這32種類型，每種晶體一定屬于這32種點群之一，這是對晶體按對稱性特點進行的第一步分類。

第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日7種晶系和14種布拉菲格子：

1.1中我們討論了晶體的周期性，現在我們又分析了晶體的宏觀對稱性，它們是晶體中原子有序排列所反映的相互聯系、相互制約的兩個側面。任何晶體都具有晶體點陣所代表的基本周期性，由此我們導出了晶體宏觀對稱性所具有的32種點群類型。現在我們反過來提出問題，晶體如果具有某種宏觀對稱，它應該具有怎樣的點陣？也就是說如果要求一個晶體點陣的陣矢要具有某一點群

的對稱性，它的基矢

應該滿足怎樣的要求？第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日

首先通過分析發現，一些不同的點群之間，有一些相同的特征，例如：3種四面體群和2種八面體群都含有4個3重軸，可以把它們歸為一個晶系，包含上述5個點群。依次類推，可以根據某些特征對稱元素，把32種點群歸并為7個晶系。這是對晶體對稱性更概括的分類。相應于這7個晶系的點陣及選擇出的點陣原胞（通過對晶軸相對取向的選擇）也應該體現這些晶系的對稱性，我們稱之為慣用晶胞。它們都是簡單格子，例如簡立方格子包含4個3重軸和3個4次軸，可以代表立方晶系的晶胞等，如此我們得到的7個晶系的名稱及其對晶胞的要求、所含點群類型見下頁表。第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日三斜晶系Triclinic

除了1次軸或中心反演外無其他對稱元素單斜晶系Monoclinic

最高對稱元素是一個2次軸或鏡面正交晶系Orthorhombic

最高對稱元素是2個以上的2次軸或鏡面4.四方晶系Tetragonal

最高對稱元素是一個4次軸或一個4次反軸立方晶系Cubic

具有4個3次軸三方晶系Trigonal(菱方晶系Rhombohedral)

最高對稱具有唯一的3次軸或3次反軸六方晶系Hexagonal

最高對稱具有唯一的6次軸或6次反軸第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日14種Bravais格子：

根據晶體的對稱性特征，我們已經將晶體劃分成七個晶系，每個晶系都有一個能反映其對稱性特征的晶胞，每個晶胞的端點安放一個陣點，就是一種晶體點陣的原胞，共形成7種點陣。現在考慮在原胞體心、面心和單面心上增加陣點的可能，新的圖像必須符合平移對稱性和晶系對稱性的要求，且又不同于上述7種簡單點陣，結果又給出7種新的點陣類型，所以既能反映平移對稱性又能反映所屬晶系對稱性特征的晶體點陣共有14種，它們的慣用晶胞如下頁所示：P：簡單格子；C：底心格子；I：體心格子；F：面心格子，三方晶系的菱形原胞用R表示。第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日第二十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日

任何一種晶體，對應的晶格都是14種點陣中的一種，指出晶體所屬的點陣類型不但表征了晶體晶格的周期性類型，而且也能從它所屬的晶系了解到該晶體宏觀對稱所具有的基本對稱性。但完整地闡明晶體結構，除去需要確定其點陣類型外，還要知道基元中原子的種類、數量、相對取向及位置，繪出帶有基元內容的點陣慣用晶胞。不過一些比較簡單的晶體，在確定出它的點陣類型和晶胞參量后就已經可以完全掌握它的結構了，比如：Cu;Si；NaCl;CsCl;ZnS等。第二十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日

14種晶體點陣各有它們自己的慣用晶胞，同樣也可以選出它們各自的原胞和基矢，每一個點陣都可以用其基矢表示的點陣矢量來表示：每一個點陣的全部平移