第四節冪級數一、函數項級數的概念稱為定義在U上的（函數項）無窮級數，（1）簡稱級數。（2）對于每一個確定的（2）即為一常數項級數。考慮區間U上的一個函數序列代入（1）式得（1）（2）對于每一個確定的代入（1）式得若（2）收斂，則稱為函數項級數（1）的收斂點，若（2）發散，則稱為函數項級數（1）的發散點，所有收斂點的全體稱為（1）的收斂域，記為散點的全體稱為（1）的發散域，記為所有發常數項級數都收斂，其和記為（1）所有收斂點的全體稱為（1）的收斂域，記為散點的全體稱為（1）的發散域，記為所有發常數項級數都收斂，其和記為即稱s(x)為（1）的和函數，和函數的定義域即為I。兩個基本問題：（1）如何確定（1）的收斂域？（2）如何在收斂域上求（1）的和函數？二、冪級數及收斂性（1）當（2）在變量代換的冪級數，時，上述冪級數成為下，（1）就化為（2）了形如的函數項級數稱為（2）對于冪級數（2），（1）如何確定它的收斂域

I；（2）在收斂域內，如何求它的和函數

s(x)。主要有兩個問題:考察冪級數這是公比為x的幾何級數，（1）當|x|<1時，級數收斂，（2）當|x|1時，級數發散，（1）所以（1）的收斂域為（1）的發散域為在收斂域內，（1）的和函數為即（1）的收斂域是一個以原點為中心的對稱區間。又例：解：將該冪級數看成參數為x的任意項常數級數，并用常數項級數收斂性判別法進行判別。結論：當|x|<1時，級數收斂，當|x|>1時發散當x=–1時，級數收斂。當x=1時級數發散。特點：除去端點–1外，收斂域I是以原點為中心的對稱區間。收斂域為收斂域的上述特點對一般的冪級數也成立的。定理1（阿貝爾定理）：如果級數時收斂，時，反之，如果級數當則當冪級數絕對收斂當時發散，時，則當冪級數發散。定理1的幾何解釋：（1）冪級數的收斂點都集中在以原點為中心的左右兩側。（2）推論：如果級數使得（1）當|x|<R時，不是僅在x=0一點收斂，也不是在整個數軸上收斂，則必有一個確定的正數R

絕對收斂，（2）當|x|>R時，發散，（3）當x=

R時，可能收斂，也可能發散稱上述R為收斂區間的收斂半徑，為收斂區間+收斂的端點規定：僅在x=0處收斂，則（2）若在整個數軸上收斂，則=收斂域（1）若問題：如何求的收斂半徑？定理2：考慮冪級數如果其中，是級數相鄰兩項的系數，則求冪級數（1）利用極限（2）判定冪級數在端點確定收斂半徑R

處的收斂性，收斂域的一般步驟：（3）收斂域等于收斂區間加收斂的端點。及收斂區間例1：當x=–1時，當x=1時，交錯級數且收斂

，所以，所求收斂域為：發散解：例2：求冪級數的收斂域解：例3：求冪級數的收斂域解：t=–1，交錯級數且收斂，t=1，調和級數且發散例4：求冪級數的收斂域解：當x=2時，原級數成為發散，故×理由：原級數中缺少偶數次冪的項：所以R=2，實際上解：因原級數為缺項級數，定理2不能直接應用。此時要用任意常數項級數的比值判別法來求例4：求冪級數的收斂域當即當即時，級數收斂時，時，發散，時，解：例4：求冪級數的收斂域當即當即時，級數收斂時，時，發散，時，當發散所以原級數的收斂域為時，原級數成為解：例5：求冪級數的收斂域冪級數缺少奇次冪的項，所以原級數的收斂域為原級數成為也可先作變量替換：可按例4的方法處理這是關于t的冪級數，且沒有缺項可直接用定理2求收斂半徑和收斂域：（二）冪級數性質性質1：如果兩個冪級數的收斂半徑分別為則有且收斂半徑R滿足：性質2：冪級數的和函數s(x)在收斂域I上連續；例如：收斂域為：故其和函數s(x)在上連續性質3：冪級數逐項積分后所得級數的和函數s(x)在收斂域I上可積，并有逐項積分公式其收斂半徑與原級數相同。并求常數項級數解：級數成為發散所以收斂域為例1：求的收斂域及和函數，的和。設冪級數在I上的和函數為s(x),則例1：求并求常數項級數解：的收斂域及和函數，的和。例1：求并求常數項級數解：的收斂域及和函數，的和。例1：求并求常數項級數解：的收斂域及和函數，的和。性質4：冪級數逐項求導后所得級數的和函數s(x)在收斂區間內可導，并有逐項求導公式其收斂半徑與原級數相同。例2：求的和函數解