4-11正多邊形和圓人教九上一.學習目標1．掌握正多邊形和圓的有關概念：正多邊形的外接圓、中心、半徑、中心角、邊心距等；2．掌握正多邊形和圓中，圓的半徑、邊長、邊心距、中心角之間的等量關系；3．會畫圓內接正多邊形。二.知識回顧1．正多邊形的概念：各邊相等、各角也相等的多邊形是正多邊形。請舉出一些正多邊形：正方形、正六邊形、正八邊形。所有的正多邊形都是軸對稱圖形，偶數條邊的正多邊形又是中心對稱圖形。2．矩形、菱形是正多邊形嗎？為什么？不是，因為矩形的各角雖然相等但是各邊不相等。菱形的各邊雖然相等但是各角不相等。3．什么是正n邊形？如果一個正多邊形有n條邊，那么這個正多邊形叫做正n邊形。三.新知講解1．正多邊形和圓的相關概念①正n邊形的外接圓：把一個圓的圓周分為n等份，順次連接各分點所得的圖形，即為圓的內接正n邊形，這個圓叫做這個正n邊形的外接圓。②正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心．③正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．④正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．=5\*GB3⑤正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．2．ｎ邊形中心角、半徑、邊心距等的相關數據邊數n內角An中心角半徑R邊長an邊心距rn周長Pn面積Sn360°120°R490°90°R6120°60°RR6R3．利用圓畫正多邊形利用圓可以畫出正多邊形，具體畫法如下：把圓n(n≥3)等分，依次連接各分點可以畫出正n邊形，過各分點作圓的切線也可以畫出正n邊形。所以，要作正n邊形，只要把圓n等分，依次連接各分點即可。常用的畫正n邊形的工具有量角器，直尺和圓規。用量角器等分圓可在圓內用量角器畫一個的圓心角，然后在圓上依次截取這個圓心角所對的弧的等弧即可。用直尺和圓規作正多邊形，只限于某些特殊邊數的正n邊形，如正三角形，正四邊形，正八邊形，正六邊形，正十二邊形等。四.典例探究1．已知等邊三角形的邊長求半徑【例1】（2013秋?嘉興期中）等邊三角形的邊長為4，則此三角形外接圓的半徑為．總結：解答此題要明確兩點：（1）正多邊形的中心和外接圓圓心重合；（2）正三角形每個內角都相等．利用直角三角形中30°的角對應的直角邊等于斜邊的一半，再結合勾股定理求解。練1邊長為a的等邊三角形的外接圓半徑是，其外心到一邊的距離是．2．由正六邊形的半徑求邊心距、半徑、面積【例2】半徑為4的正六邊形的邊心距為，中心角等于度，面積為．總結：（1）運用正六邊形的性質：“正六邊形的邊長等于外接圓的半徑”，結合勾股定理求解。（2）也可以把圓內接正六邊形的問題可以轉化為圓內接正三角形的問題，正六邊形可以分為六個全等的等邊三角形，等邊三角形的邊長和原正六邊形的邊長相等。再結合圓和正三角形的相關性質求解即可。練2正六邊形的邊長a，半徑R，邊心距r的比a：R：r=．3．已知圓的半徑求圓內接正方形的邊長、邊心距、面積【例3】（2014?武漢模擬）半徑為3的圓內接正方形的邊心距等于．總結：結合正方形的性質，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識解答。練3已知正方形ABCD的邊心距OE=cm，求這個正方形外接圓⊙O的面積．4．畫圓內接正多邊形【例4】在圖中，試分別按要求畫出圓O的內接正多邊形．總結：利用圓可以畫出正多邊形，具體畫法如下：把圓n(n≥3)等分，依次連接各分點可以畫出正n邊形，過各分點作圓的切線也可以畫出正n邊形。所以，要作正n邊形，只要把圓n等分，依次連接各分點即可。常用的畫正n邊形的工具有量角器，直尺和圓規。用量角器等分圓可在圓內用量角器畫一個的圓心角，然后在圓上依次截取這個圓心角所對的弧的等弧即可。用直尺和圓規作正多邊形，只限于某些特殊邊數的正n邊形，如正三角形，正四邊形，正八邊形，正六邊形，正十二邊形等。練4（2003?臺州）畫出你喜歡的三個不同的圓內接正多邊形（畫圖工具不限，但要保留畫圖痕跡）五.課后小測一.選擇題（共4小題）1．（2015?順義區一模）若正多邊形的一個外角為60°，則這個正多邊形的中心角的度數是（）A．30°B．60°C．90°D．120°2．（2009?上海）下列正多邊形中，中心角等于內角的是（）A．正六邊形B．正五邊形C．正四邊形D．正三邊形3．（2015?西寧）一元錢硬幣的直徑約為24mm，則用它能完全覆蓋住的正六邊形的邊長最大不能超過（）A．12mmB．12mmC．6mmD．6mm4．（2015?寶坻區二模）正n邊形的一個外角為60°，外接圓半徑為4，則它的邊長為（）A．4B．2C．4D．2二.填空題（共5小題）5．半徑為10cm的圓內接正三角形的邊長為，內接正方形的邊長為，內接正六邊形的邊長為。6．（2011?南匯區模擬）若正多邊形的中心角為20°，那么它的邊數是．7．（2000?福建）一個正多邊形的中心角為36°，則它的邊數是．8．（2010秋?滄州校級期中）一個正多邊形的中心角等于45°，它的邊數是．9．（2013?奉賢區二模）正多邊形的中心角為72度，那么這個正多邊形的內角和等于度．三.解答題（共4小題）10．已知AB是的⊙O內接正十邊形的一邊，AC是⊙O的內接正十五邊形的一邊，求以BC為邊的內接正多邊形的中心角的度數．11．已知正六邊形的半徑為r，求正六邊形的邊長、邊心距和面積．12．如圖所示，求半徑為2的圓內接正方形的邊心距與面積．13．已知正六邊形的邊心距為，求正六邊形的內角、外角、中心角、半徑、邊長、周長和面積．

典例探究答案：例1．【考點】正多邊形和圓．【分析】根據正三角形的每個內角為60°和三角形外接圓的相關知識解答．【解答】解：因為等邊三角形的邊長為4，所以AD=2，又因為∠DAO=BAC=60°×=30°，所以OD=OA，根據勾股定理：AO2=OD2+AD2，解得：AO=．【點評】解答此題要明確兩點：（1）正多邊形的中心和外接圓圓心重合；（2）正三角形每個內角都相等．練1．【考點】三角形的外接圓與外心．【分析】根據題意畫出圖形，連接OB、OC、過O作OD⊥BC于D，再根據等邊三角形的性質和解直角三角形解答即可．【解答】解：如圖所示，△ABC是等邊三角形，BC=a，連接OB、OC，過O作OD⊥BC于D，則∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，BD=，由勾股定理OB2=OD2+BD2，其中OD=OB（在直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半），解得：OB=a，ODa，故答案為：a，a．【點評】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質，三角形的外接圓與外心的應用，此題比較簡單，解答此題的關鍵是根據題意畫出圖形，利用等邊三角形及直角三角形的性質解答．例2．【考點】正多邊形和圓；三角形的面積；勾股定理；垂徑定理．【分析】解答本題主要分析出正多邊形的內切圓的半徑就是正六邊形的邊心距，即為每個邊長為4的正三角形的高，從而構造直角三角形即可解．中心角利用360÷6即可求解；然后利用三角形的面積公式即可求解正六邊形的面積．【解答】解：邊長為4的正六邊形可以分成六個邊長為4的正三角形，而正多邊形的邊心距即為每個邊長為a的正三角形的高，∴正六多邊形的邊心距等于，∴中心角為：360°÷6=60°，∴正六邊形的面積為6××4×2=24．故答案為：2，60°，24．【點評】本題考查學生對正多邊形的概念掌握和計算的能力．解答這類題往往一些學生因對正多邊形的基本知識不明確，將多邊形的半徑與內切圓的半徑相混淆而造成錯誤計算．練2．【考點】正多邊形和圓．【分析】經過圓心O作圓的內接正n邊形的一邊AB的垂線OC，垂足是C．連接OA，則在直角△OAC中，∠AOB=．OC是邊心距r，OA即半徑R．AB=2AC=a．根據三角函數即可求解．【解答】解：圓內接正六邊形可分成六個全等的等邊三角形，這樣的等邊三角形的邊長與原正六邊形的邊長相等，等邊三角形的高與正六邊形的邊心距相等，等邊三角形的高是它的邊長的倍，所以a：R：r=2：2：．故答案為：2：2：．【點評】本題考查了圓內接正六邊形的邊長，半徑，邊心距的關系，正多邊形的計算一般要經過中心作邊的垂線，并連接中心與一個端點構造直角三角形，把正多邊形的計算轉化為解直角三角形．例3．【考點】正多邊形和圓．【分析】根據題意首先求出OE的長，即可解決問題．【解答】解：如圖，∵四邊形ABCD是⊙O的內接正方形，∴∠OBE=45°；而OE⊥BC，∴BE=CE；∵OB=3，∵∠OBE=45°，∴OE=BE；由勾股定理：OE2+BE2=OB2，即2OE2=9，∴OE=，故答案為：．【點評】本題考查了圓內接正方形的性質及其應用問題；解疑的關鍵是靈活運用有關定理來分析、判斷、推理或解答；對綜合運用能力提出了一定的要求．練3．【考點】正多邊形和圓；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；正方形的性質．【專題】計算題；幾何圖形問題．【分析】連接OC、OD，根據圓O是正方形ABCD的外接圓和正方形的性質得到∠0DE=∠ADC=45°，求出∠DOE=∠ODE=45°，得出OE=DE=，根據勾股定理求出OD=2，根據圓的面積公式求出即可．【解答】解：連接OC、OD，∵圓O是正方形ABCD的外接圓，∴O是對角線AC、BD的交點，∴∠0DE=∠ADC=45°，∵OE⊥CD，∴∠OED=90°，∴∠DOE=180°﹣∠OED﹣ODE=45°，∴OE=DE=，由勾股定理得：OD==2，∴這個正方形外接圓⊙O的面積是π?22=4π，答：這個正方形外接圓⊙O的面積是4π．【點評】本題主要考查對正多邊形與圓，正方形的性質，等腰三角形的性質和判定，勾股定理等知識點的理解和掌握，能求出OE=DE是解此題的關鍵．例4．【考點】正多邊形和圓．【專題】作圖題．【分析】根據圓內接正多邊形的性質分別畫出圓內接正方形、正八邊形、正六邊形及正三角形即可．【解答】解：如圖所示：【點評】此題主要考查了正多邊形和圓的關系，熟知圓內接正多邊形的性質是解答此題的關鍵．練4．【考點】正多邊形和圓；作圖—復雜作圖．【專題】作圖題．【分析】根據圓內接正多邊形的性質分別畫出圓內接正方形、正八邊形及正三角形即可．【解答】解：如圖所示：【點評】本題考查的是正多邊形和圓，熟知圓內接正多邊形的性質是解答此題的關鍵．課后小測答案：一.選擇題（共4小題）1．【考點】正多邊形和圓．【分析】根據正多邊形的外角和是360°求出正多邊形的邊數，再求出其中心角．【解答】解：∵正多邊形的一個外角為60°，∴正多邊形的邊數為=6，其中心角為=60°．故選：B．【點評】本題考查了正多邊形和圓，熟悉正多邊形的性質和外角和是解題的關鍵．2．【考點】多邊形內角與外角．【分析】正n邊形的內角和可以表示成（n﹣2）?180°，則它的內角是等于，n邊形的中心角等于，根據中心角等于內角就可以得到一個關于n的方程，解方程就可以解得n的值．【解答】解：根據題意，得=，解得：n=4，即這個多邊形是正四邊形．故選：C．【點評】本題比較容易，考查正多邊形的中心角和內角和的知識，也可以對每個結果分別進行驗證．3．【考點】正多邊形和圓．【專題】計算題．【分析】理解清楚題意，此題實際考查的是一個直徑為24mm的圓內接正六邊形的邊長．【解答】解：已知圓內接半徑r為12mm，則OB=12，∴BD=12×=6，則BC=2×6=12，可知邊長為12mm，就是完全覆蓋住的正六邊形的邊長最大．故選A．【點評】此題所求結果比較新穎，要注意題目問題的真正含義，即求圓內接正六邊形的邊長．4．【考點】正多邊形和圓．【專題】計算題．【分析】首先根據外角的度數求出正多邊形的邊數，正六邊形的半徑外接圓與邊長相等求解．【解答】解：∵正n邊形的一個外角為60°，∴n=360°÷60°=6，∵正六邊形的外接圓半徑與邊長相等，∴正六邊形的邊長為4．故選A．【點評】本題考查了正多邊形和圓的知識，正六邊形的半徑與邊長相等，是需要熟記的內容．二.填空題（共5小題）5．【考點】正多邊形和圓．【專題】計算題．【分析】正三角形的計算可以過中心作一邊的垂線，然后連接中心與這邊的端點，即可得到一個直角三角形，解直角三角形即可；正方形的邊以及對應的兩條半徑正好構成等腰直角三角形，根據勾股定理即可求解；正六邊形的邊長與半徑相等即可求解．【解答】解：正三角形的中心角是=120°，則邊長是：2×10sin60°=10cm；正方形的邊長是：10cm；正六邊形的邊長等于半徑，因而邊長是10cm．故答案是：10cm，10cm，10cm．【點評】正多邊形的計算的基本思路是轉化為直角三角形的計算．6．【考點】多邊形內角與外角．【專題】計算題．【分析】一個正多邊形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數，就得到中心角的個數，即多邊形的邊數．【解答】解：由題意可得：360°÷20°=18，則它的邊數是18．【點評】根據多邊形中心角的個數與邊數之間的關系解題，本題是一個基本的問題．7．【考點】多邊形內角與外角．【專題】計算題．【分析】一個正多邊形的中心角都相等，且所有中中心角的和是360度，用360度除以中心角的度數，就得到中心角的個數，即多邊形的邊數．【解答】解：由題意可得：邊數為360°÷36°=10，則它的邊數是10．【點評】根據多邊形中心角的個數與邊數之間的關系解題，本題是一個基本的問題．8．【考點】正多邊形和圓．【專題】計算題．【分析】根據正n邊形的中心角是即可求解．【解答】解：正多邊形的邊數是：=8．故答案為：8．【點評】本題主要考查了正多邊形中心角的計算方法，是需要熟記的內容．9．【考點】多邊形內角與外角．【分析】先根據周角等于360°求出邊數，再根據多邊形的內角和公式（n﹣2）?180°列式計算即可得解．【解答】解：∵正多邊形的中心角為72度，∴邊數為：360°÷72°=5，∴這個正多邊形的內角和=（5﹣2）?180°=540°．故答案為：540．【點評】本題考查了多邊形的內角和公式，熟記正多邊形中心角的定義求出邊數的是解題的關鍵．三.解答題（共4小題）10．【考點】正多邊形和圓．【分析】如圖，首先求出∠AOB、∠AOC的度數，進而求出∠BOC的度數即可解決問題．【解答】解：如圖，∵AB是的⊙O內接正十邊形的一邊，AC是⊙O的內接正十五邊形的一邊，∴∠AOB=，∠AOC==24°，當點在外時，∠BOC=36°+24°=60°；當點C在上時，∠BOC=36°﹣24°=12°；即以BC為邊的內接正多邊形的中心角的度數為60°或12°．【點評】該題以正多邊形和圓為載體，以正多邊形和圓的性質的考查為核心構造而成；靈活運用有關定理來分析、判斷是解題的關鍵．11．【考點】正多邊形和圓．【分析】首先根據題意畫出圖形，易得△OBC是等邊三角形，繼而可得正六邊形的邊長為r，然后由勾股定理求得邊心距，又由S正六邊形=6S△OBC求得答案．【解答】解：如圖，連接OB，OC，過點O作OH⊥BC于H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠B