2019年吉林省中考數學試卷一、單項選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）（2019?吉林）如圖，數軸上蝴蝶所在點表示的數可能為A．3 B．2 C．1 D．2．（2分）（2019?吉林）如圖，由6個相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的俯視圖為A． B． C． D．3．（2分）（2019?吉林）若為實數，則下列各式的運算結果比小的是A． B． C． D．4．（2分）（2019?吉林）把圖中的交通標志圖案繞著它的中心旋轉一定角度后與自身重合，則這個旋轉角度至少為A． B． C． D．5．（2分）（2019?吉林）如圖，在中，所對的圓周角，若為上一點，，則的度數為A． B． C． D．6．（2分）（2019?吉林）曲橋是我國古代經典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風光．如圖，、兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊含的數學道理是A．兩點之間，線段最短 B．平行于同一條直線的兩條直線平行 C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）（2019?吉林）分解因式：．8．（3分）（2019?吉林）不等式的解是．9．（3分）（2019?吉林）計算：．10．（3分）（2019?吉林）若關于的一元二次方程有實數根，則的值可以為（寫出一個即可）．11．（3分）（2019?吉林）如圖，為邊延長線上一點，過點作．若，，則．12．（3分）（2019?吉林）如圖，在四邊形中，，．若將沿折疊，點與邊的中點恰好重合，則四邊形的周長為．13．（3分）（2019?吉林）在某一時刻，測得一根高為的竹竿的影長為，同時同地測得一棟樓的影長為，則這棟樓的高度為．14．（3分）（2019?吉林）如圖，在扇形中，．，分別是半徑，上的點，以，為鄰邊的的頂點在上．若，，則陰影部分圖形的面積是（結果保留．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）（2019?吉林）先化簡，再求值：，其中．16．（5分）（2019?吉林）甲口袋中裝有紅色、綠色兩把扇子，這兩把扇子除顏色外無其他差別；乙口袋中裝有紅色、綠色兩條手絹，這兩條手絹除顏色外無其他差別．從甲口袋中隨機取出一把扇子，從乙口袋中隨機取出一條手絹，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的扇子和手絹都是紅色的概率．17．（5分）（2019?吉林）已知是的反比例函數，并且當時，．（1）求關于的函數解析式；（2）當時，求的值．18．（5分）（2019?吉林）如圖，在中，點在邊上，以為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連接、．求證：．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）（2019?吉林）圖①，圖②均為的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．在圖①中已畫出線段，在圖②中已畫出線段，其中、、、均為格點，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，以為對角線畫一個菱形，且，為格點；（2）在圖②中，以為對角線畫一個對邊不相等的四邊形，且，為格點，．20．（7分）（2019?吉林）問題解決糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．現將一些山楂分別串在若干根竹簽上．如果每根竹簽串5個山楂，還剩余4個山楂；如果每根竹簽串8個山楂，還剩余7根竹簽．這些竹簽有多少根？山楂有多少個？反思歸納現有根竹簽，個山楂．若每根竹簽串個山楂，還剩余個山楂，則下列等式成立的是（填寫序號）．（1）；（2）；（3）．21．（7分）（2019?吉林）墻壁及淋浴花灑截面如圖所示．已知花灑底座與地面的距離為，花灑的長為，與墻壁的夾角為．求花灑頂端到地面的距離（結果精確到．（參考數據：，，22．（7分）（2019?吉林）某地區有城區居民和農村居民共80萬人．某機構準備采用抽取樣本的方法調查該地區居民“獲取信息的最主要途徑”．（1）該機構設計了以下三種調查方案：方案一：隨機抽取部分城區居民進行調查；方案二：隨機抽取部分農村居民進行調查；方案三：隨機抽取部分城區居民和部分農村居民進行調查．其中最具有代表性的一個方案是；（2）該機構采用了最具有代表性的調查方案進行調查．供選擇的選項有：電腦、手機、電視、廣播、其他，共五個選項．每位被調查居民只選擇一個選項．現根據調查結果繪制如下統計圖，請根據統計圖回答下列問題：①這次接受調查的居民人數為人；②統計圖中人數最多的選項為；③請你估計該地區居民和農村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的總人數．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）（2019?吉林）甲、乙兩車分別從，兩地同時出發，沿同一條公路相向行駛，相遇后，甲車繼續以原速行駛到地，乙車立即以原速原路返回到地．甲、乙兩車距地的路程與各自行駛的時間之間的關系如圖所示．（1），；（2）求乙車距地的路程關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當甲車到達地時，求乙車距地的路程．24．（8分）（2019?吉林）性質探究如圖①，在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為．理解運用（1）若頂角為的等腰三角形的周長為，則它的面積為；（2）如圖②，在四邊形中，．①求證：；②在邊，上分別取中點，，連接．若，，直接寫出線段的長．類比拓展頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為（用含的式子表示）．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）（2019?吉林）如圖，在矩形中，，，為邊上一點，，連接．動點、從點同時出發，點以的速度沿向終點運動；點以的速度沿折線向終點運動．設點運動的時間為，在運動過程中，點，點經過的路線與線段圍成的圖形面積為．（1），；（2）求關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當時，直接寫出的值．26．（10分）（2019?吉林）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸相交于點．為拋物線上一點，橫坐標為，且．（1）求此拋物線的解析式；（2）當點位于軸下方時，求面積的最大值；（3）設此拋物線在點與點之間部分（含點和點最高點與最低點的縱坐標之差為．①求關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當時，直接寫出的面積．

2019年吉林省中考數學試卷參考答案與試題解析一、單項選擇題（每小題2分，共12分）1．（2分）如圖，數軸上蝴蝶所在點表示的數可能為A．3 B．2 C．1 D．【分析】直接利用數軸得出結果即可．【解答】解：數軸上蝴蝶所在點表示的數可能為，故選：．2．（2分）如圖，由6個相同的小正方體組合成一個立體圖形，它的俯視圖為A． B． C． D．【分析】找到從上面看所得到的圖形即可．【解答】解：從上面看可得四個并排的正方形，如圖所示：故選：．3．（2分）若為實數，則下列各式的運算結果比小的是A． B． C． D．【分析】根據一個數加上一個正數的和大于本身，加上一個負數小于本身，減去一正數小于本身，減去一個負數大于本身，乘以1等于本身，除以1也等于本身，逐一進行比較便可．【解答】解：．，選項錯誤；．，選項正確；．，選項錯誤；．，選項錯誤；故選：．4．（2分）把圖中的交通標志圖案繞著它的中心旋轉一定角度后與自身重合，則這個旋轉角度至少為A． B． C． D．【分析】根據圖形的對稱性，用除以3計算即可得解．【解答】解：，旋轉的角度是的整數倍，旋轉的角度至少是．故選：．5．（2分）如圖，在中，所對的圓周角，若為上一點，，則的度數為A． B． C． D．【分析】根據圓心角與圓周角關系定理求出的度數，進而由角的和差求得結果．【解答】解：，，，，故選：．6．（2分）曲橋是我國古代經典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風光．如圖，、兩地間修建曲橋與修建直的橋相比，增加了橋的長度，其中蘊含的數學道理是A．兩點之間，線段最短 B．平行于同一條直線的兩條直線平行 C．垂線段最短 D．兩點確定一條直線【分析】利用兩點之間線段最短進而分析得出答案．【解答】解：這樣做增加了游人在橋上行走的路程，其中蘊含的數學道理是：利用兩點之間線段最短，可得出曲折迂回的曲橋增加了游人在橋上行走的路程．故選：．二、填空題（每小題3分，共24分）7．（3分）分解因式：．【分析】符合平方差公式的特征，直接運用平方差公式分解因式．平方差公式：．【解答】解：．故答案為：．8．（3分）不等式的解是．【分析】利用不等式的基本性質，將兩邊不等式同時加上2再除以3，不等號的方向不變．【解答】解：，，，原不等式的解集為：．故答案為．9．（3分）計算：．【分析】根據分式乘除法的法則計算即可．【解答】解：，故答案為：．10．（3分）若關于的一元二次方程有實數根，則的值可以為5（答案不唯一，只有即可）（寫出一個即可）．【分析】由于方程有實數根，則其根的判別式△，由此可以得到關于的不等式，解不等式就可以求出的取值范圍．【解答】解：一元二次方程化為，△，解上式得．故答為5（答案不唯一，只有即可）．11．（3分）如圖，為邊延長線上一點，過點作．若，，則60．【分析】利用平行線的性質，即可得到，再根據三角形內角和定理，即可得到的度數．【解答】解：，，又，中，，故答案為：60．12．（3分）如圖，在四邊形中，，．若將沿折疊，點與邊的中點恰好重合，則四邊形的周長為20．【分析】根據直角三角形斜邊上中線的性質，即可得到，再根據折疊的性質，即可得到四邊形的周長為．【解答】解：，點是的中點，，由折疊可得，，，四邊形的周長為，故答案為：20．13．（3分）在某一時刻，測得一根高為的竹竿的影長為，同時同地測得一棟樓的影長為，則這棟樓的高度為54．【分析】根據同一時刻物高與影長成正比即可得出結論．【解答】解：設這棟樓的高度為，在某一時刻，測得一根高為的竹竿的影長為，同時測得一棟樓的影長為，，解得．故答案為：54．14．（3分）如圖，在扇形中，．，分別是半徑，上的點，以，為鄰邊的的頂點在上．若，，則陰影部分圖形的面積是（結果保留．【分析】連接，根據同樣只統計得到是矩形，由矩形的性質得到．根據勾股定理得到，根據扇形的面積公式和矩形的面積公式即可得到結論．【解答】解：連接，，四邊形是平行四邊形，是矩形，．，，，陰影部分圖形的面積．故答案為：．三、解答題（每小題5分，共20分）15．（5分）先化簡，再求值：，其中．【分析】原式利用完全平方公式，單項式乘以多項式法則計算，去括號合并得到最簡結果，把的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式，當時，原式．16．（5分）甲口袋中裝有紅色、綠色兩把扇子，這兩把扇子除顏色外無其他差別；乙口袋中裝有紅色、綠色兩條手絹，這兩條手絹除顏色外無其他差別．從甲口袋中隨機取出一把扇子，從乙口袋中隨機取出一條手絹，用畫樹狀圖或列表的方法，求取出的扇子和手絹都是紅色的概率．【分析】畫出樹狀圖，共有4種可能結果，其中取出的扇子和手絹都是紅色的有1種可能，由概率公式即可得出結果．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有4種可能結果，其中取出的扇子和手絹都是紅色的有1種結果，則取出的扇子和手絹都是紅色的概率為．17．（5分）已知是的反比例函數，并且當時，．（1）求關于的函數解析式；（2）當時，求的值．【分析】（1）直接利用待定系數法求出反比例函數解析式即可；（2）直接利用代入求出答案．【解答】解：（1）是的反例函數，所以，設，當時，．所以，，所以，；（2）當時，．18．（5分）如圖，在中，點在邊上，以為圓心，長為半徑畫弧，交邊于點，連接、．求證：．【分析】直接利用已知作圖方法結合全等三角形的判定方法分析得出答案．【解答】證明：由題意可得：，在平行四邊形中，，在和中，，所以，．四、解答題（每小題7分，共28分）19．（7分）圖①，圖②均為的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點．在圖①中已畫出線段，在圖②中已畫出線段，其中、、、均為格點，按下列要求畫圖：（1）在圖①中，以為對角線畫一個菱形，且，為格點；（2）在圖②中，以為對角線畫一個對邊不相等的四邊形，且，為格點，．【分析】（1）根據菱形的定義畫出圖形即可（答案不唯一）．（2）利用數形結合的思想解決問題即可．【解答】解：（1）如圖，菱形即為所求．（2）如圖，四邊形即為所求．20．（7分）問題解決糖葫蘆一般是用竹簽串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．現將一些山楂分別串在若干根竹簽上．如果每根竹簽串5個山楂，還剩余4個山楂；如果每根竹簽串8個山楂，還剩余7根竹簽．這些竹簽有多少根？山楂有多少個？反思歸納現有根竹簽，個山楂．若每根竹簽串個山楂，還剩余個山楂，則下列等式成立的是（2）（填寫序號）．（1）；（2）；（3）．【分析】問題解決設竹簽有根，山楂有個，由題意得出方程組：，解方程組即可；反思歸納由每根竹簽串個山楂，還剩余個山楂，得出即可．【解答】問題解決解：設竹簽有根，山楂有個，由題意得：，解得：，答：竹簽有20根，山楂有104個；反思歸納解：每根竹簽串個山楂，還剩余個山楂，則，故答案為：（2）．21．（7分）墻壁及淋浴花灑截面如圖所示．已知花灑底座與地面的距離為，花灑的長為，與墻壁的夾角為．求花灑頂端到地面的距離（結果精確到．（參考數據：，，【分析】過作于，于是得到，解直角三角形即可得到結論．【解答】解：過作于，則，在中，，，，，，答：花灑頂端到地面的距離為．22．（7分）某地區有城區居民和農村居民共80萬人．某機構準備采用抽取樣本的方法調查該地區居民“獲取信息的最主要途徑”．（1）該機構設計了以下三種調查方案：方案一：隨機抽取部分城區居民進行調查；方案二：隨機抽取部分農村居民進行調查；方案三：隨機抽取部分城區居民和部分農村居民進行調查．其中最具有代表性的一個方案是方案三；（2）該機構采用了最具有代表性的調查方案進行調查．供選擇的選項有：電腦、手機、電視、廣播、其他，共五個選項．每位被調查居民只選擇一個選項．現根據調查結果繪制如下統計圖，請根據統計圖回答下列問題：①這次接受調查的居民人數為人；②統計圖中人數最多的選項為；③請你估計該地區居民和農村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的總人數．【分析】（1）根據三個方案選出最具有代表性的一個方案即可；（2）①把電腦、手機、電視、廣播、其他，這五個選項的總人數相加即可；②從統計圖中找出人數最多的選項即可；③用該地區居民和農村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的人數所占的百分比即可得到結論．【解答】解：（1）最具有代表性的一個方案是方案三，故答案為：方案三；（2）①這次接受調查的居民人數為人；②統計圖中人數最多的選項為手機；③萬人，答：該地區居民和農村居民將“電腦和手機”作為“獲取信息的最主要途徑”的總人數52.8萬人．故答案為：1000，手機．五、解答題（每小題8分，共16分）23．（8分）甲、乙兩車分別從，兩地同時出發，沿同一條公路相向行駛，相遇后，甲車繼續以原速行駛到地，乙車立即以原速原路返回到地．甲、乙兩車距地的路程與各自行駛的時間之間的關系如圖所示．（1）4，；（2）求乙車距地的路程關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當甲車到達地時，求乙車距地的路程．【分析】（1）觀察圖象即可解決問題；（2）運用待定系數法解得即可；（3）把代入（2）的結論即可．【解答】解：（1）根據題意可得，；故答案為：4；120；（2）設關于的函數解析式為，因為圖象經過，所以，解得，所以關于的函數解析式為，設關于的函數解析式為，因為圖象經過，兩點，所以，解得，所以關于的函數解析式為；（3）當時，．所以當甲車到達地時，乙車距地的路程為．24．（8分）性質探究如圖①，在等腰三角形中，，則底邊與腰的長度之比為．理解運用（1）若頂角為的等腰三角形的周長為，則它的面積為；（2）如圖②，在四邊形中，．①求證：；②在邊，上分別取中點，，連接．若，，直接寫出線段的長．類比拓展頂角為的等腰三角形的底邊與一腰的長度之比為（用含的式子表示）．【分析】性質探究作于，則，由等腰三角形的性質得出，，由直角三角形的性質得出，，得出，即可得出結果；理解運用（1）同上得出則，，由等腰三角形的周長得出，解得：，得出，由三角形面積公式即可得出結果；（2）①由等腰三角形的性質得出，，得出即可；②連接，作于，由等腰三角形的性質得出，由①得：，由四邊形內角和定理求出，由等腰三角形的性質得出，由直角三角形的性質得出，，得出，證明是的中位線，由三角形中位線定理即可得出結果；類比拓展作于，由等腰三角形的性質得出，，由三角函數得出，得出，即可得出結果．【解答】性質探究解：作于，如圖①所示：則，，，，，，，，；故答案為：；理解運用（1）解：如圖①所示：同上得：，，，，解得：，，的面積；故答案為：（2）①證明：，，，；②解：連接，作于，如圖②所示：則，由①得：，，，，，，，點、分別是、的中點，是的中位線，；類比拓展解：如圖③所示：作于，，，，，，，；故答案為：．六、解答題（每小題10分，共20分）25．（10分）如圖，在矩形中，，，為邊上一點，，連接．動點、從點同時出發，點以的速度沿向終點運動；點以的速度沿折線向終點運動．設點運動的時間為，在運動過程中，點，點經過的路線與線段圍成的圖形面積為．（1），；（2）求關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當時，直接寫出的值．【分析】（1）由勾股定理可求的長，由等腰三角形的性質可求的度數；（2）分三種情況討論，由面積和差關系可求解；（3）分三種情況討論，由勾股定理可求解．【解答】解：（1），，，故答案為：，45（2）當時，如圖，過點作，，，，，（2）當時，如圖，過點作，，，當時，如圖，點與點重合．，（3）當時，當時，過點作四邊形是矩形，，，△方程無解當時，，，綜上所述：或26．（10分）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），與軸相交于點．為拋物線上一點，橫坐標為，且．（1）求此拋物線的解析式；（2）當點位于軸下方時，求面積的最大值；（3）設此拋物線在點與點之間部分（含點和點最高點與最低點的縱坐標之差為．①求關于的函數解析式，并寫出自變量的取值范圍；②當時，直接寫出的面積．【分析】（1）將點代入即可；（2）易求，，拋物線頂點為，當位于拋物線頂點時，的面積有最大值；（3）①當時，；當時，；當時，；②當時若，此時△，無解；若，則，則，的面積；【解答】解：（1）將點代入，得，；（2）令，或，，，；拋物線頂點為，當位于拋物線頂點時，的面積有最大值，；（3）①當時，；當時，；當時，；②當時若，此時△，無解；若，則，，，，的面積；2019年吉林省長春市中考數學試卷一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1．（3分）（2019?長春）如圖，數軸上表示的點到原點的距離是A． B．2 C． D．2．（3分）（2019?長春）2019年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發送旅客約為275000000人次，275000000這個數用科學記數法表示為A． B． C． D．3．（3分）（2019?長春）如圖是由4個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主視圖是A． B． C． D．4．（3分）（2019?長春）不等式的解集為A． B． C． D．5．（3分）（2019?長春）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，其中“盈不足術”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數、買雞的錢數各是多少？設人數為，買雞的錢數為，可列方程組為A． B． C． D．6．（3分）（2019?長春）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長是3米．若梯子與地面的夾角為，則梯子頂端到地面的距離為A．米 B．米 C．米 D．米7．（3分）（2019?長春）如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規在邊上確定一點．使，則符合要求的作圖痕跡是A． B． C． D．8．（3分）（2019?長春）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點、的坐標分別是、、．，，則函數的圖象經過點，則的值為A． B．9 C． D．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）9．（3分）（2019?長春）計算．10．（3分）（2019?長春）分解因式：．11．（3分）（2019?長春）一元二次方程的根的判別式的值是．12．（3分）（2019?長春）如圖，直線，點、分別在、上，．過線段上的點作交于點，則的大小為度．13．（3分）（2019?長春）如圖，有一張矩形紙片，，．先將矩形紙片折疊，使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；再將沿翻折，與相交于點，則的周長為．14．（3分）（2019?長春）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，過點作軸的平行線交拋物線于點．為拋物線的頂點．若直線交直線于點，且為線段的中點，則的值為．三、解答題（共10小題，滿分78分）15．（6分）（2019?長春）先化簡，再求值：，其中．16．（6分）（2019?長春）一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，分別是“家”、“家”“樂”，除漢字外其余均相同．小新同學從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字，用畫樹狀圖（或列表的）方法，求小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的概率．17．（6分）（2019?長春）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務，實際每天加工彩燈的數量是原計劃的1.2倍，結果提前5天完成任務．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量．18．（7分）（2019?長春）如圖，四邊形是正方形，以邊為直徑作，點在邊上，連結交于點，連結并延長交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．（結果保留19．（7分）（2019?長春）網上學習越來越受到學生的喜愛．某校信息小組為了解七年級學生網上學習的情況，從該校七年級隨機抽取20名學生，進行了每周網上學習的調查．數據如下（單位：時）32.50.61.51223.32.51.82.52.23.541.52.53.12.83.32.4整理上面的數據，得到表格如下：網上學習時間（時人數2585樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：統計量平均數中位數眾數數值2.4根據以上信息，解答下列問題：（1）上表中的中位數的值為，眾數的值為．（2）用樣本中的平均數估計該校七年級學生平均每人一學期（按18周計算）網上學習的時間．（3）已知該校七年級學生有200名，估計每周網上學習時間超過2小時的學生人數．20．（7分）（2019?長春）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點、、、、、均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以線段為邊畫一個，使其面積為6．（2）在圖②中以線段為邊畫一個，使其面積為6．（3）在圖③中以線段為邊畫一個四邊形，使其面積為9，且．21．（8分）（2019?長春）已知、兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發，甲車以60千米時的速度沿此公路從地勻速開往地，乙車從地沿此公路勻速開往地，兩車分別到達目的地后停止．甲、乙兩車相距的路程（千米）與甲車的行駛時間（時之間的函數關系如圖所示．（1）乙車的速度為千米時，，．（2）求甲、乙兩車相遇后與之間的函數關系式．（3）當甲車到達距地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．22．（9分）（2019?長春）教材呈現：如圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容．例2如圖，在中，，分別是邊，的中點，，相交于點，求證：證明：連結．請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程．結論應用：在中，對角線、交于點，為邊的中點，、交于點．（1）如圖②，若為正方形，且，則的長為．（2）如圖③，連結交于點，若四邊形的面積為，則的面積為．23．（10分）（2019?長春）如圖，在中，，，．點從點出發，沿向終點運動，同時點從點出發，沿射線運動，它們的速度均為每秒5個單位長度，點到達終點時，、同時停止運動．當點不與點、重合時，過點作于點，連結，以、為鄰邊作．設與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為秒．（1）①的長為；②的長用含的代數式表示為．（2）當為矩形時，求的值；（3）當與重疊部分圖形為四邊形時，求與之間的函數關系式；（4）當過點且平行于的直線經過一邊中點時，直接寫出的值．24．（12分）（2019?長春）已知函數為常數）（1）當，①點在此函數圖象上，求的值；②求此函數的最大值．（2）已知線段的兩個端點坐標分別為、，當此函數的圖象與線段只有一個交點時，直接寫出的取值范圍．（3）當此函數圖象上有4個點到軸的距離等于4，求的取值范圍．

2019年吉林省長春市中考數學試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，滿分24分）1．（3分）如圖，數軸上表示的點到原點的距離是A． B．2 C． D．【分析】根據絕對值的定義即可得到結論．【解答】解：數軸上表示的點到原點的距離是2，故選：．2．（3分）2019年春運前四日，全國鐵路、道路、水路、民航共累計發送旅客約為275000000人次，275000000這個數用科學記數法表示為A． B． C． D．【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值時，是正數；當原數的絕對值時，是負數．【解答】解：將275000000用科學記數法表示為：．故選：．3．（3分）如圖是由4個相同的小正方體組成的立體圖形，這個立體圖形的主視圖是A． B． C． D．【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現在主視圖中．【解答】解：從正面看易得第一層有2個正方形，第二層最右邊有一個正方形．故選：．4．（3分）不等式的解集為A． B． C． D．【分析】直接進行移項，系數化為1，即可得出的取值．【解答】解：移項得：系數化為1得：．故選：．5．（3分）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，其中“盈不足術”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六．問人數雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢．問人數、買雞的錢數各是多少？設人數為，買雞的錢數為，可列方程組為A． B． C． D．【分析】直接利用每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢，分別得出方程求出答案．【解答】解：設人數為，買雞的錢數為，可列方程組為：．故選：．6．（3分）如圖，一把梯子靠在垂直水平地面的墻上，梯子的長是3米．若梯子與地面的夾角為，則梯子頂端到地面的距離為A．米 B．米 C．米 D．米【分析】直接利用銳角三角函數關系得出，進而得出答案．【解答】解：由題意可得：，故．故選：．7．（3分）如圖，在中，為鈍角．用直尺和圓規在邊上確定一點．使，則符合要求的作圖痕跡是A． B． C． D．【分析】由且知，據此得，由線段的中垂線的性質可得答案．【解答】解：且，，，點是線段中垂線與的交點，故選：．8．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，的頂點、的坐標分別是、、．，，則函數的圖象經過點，則的值為A． B．9 C． D．【分析】根據、的坐標分別是、、可知，進而可求出，由，又可求，通過作垂線構造等腰直角三角形，求出點的坐標，再求出的值．【解答】解：過點作軸，垂足為，、的坐標分別是、、，，在中，，又，，又，，，，代入得：，故選：．二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）9．（3分）計算．【分析】直接合并同類二次根式即可求解．【解答】解：原式．故答案為：．10．（3分）分解因式：．【分析】直接提取公因式，進而分解因式即可．【解答】解：．故答案為：．11．（3分）一元二次方程的根的判別式的值是5．【分析】根據根的判別式等于，代入求值即可．【解答】解：，，，△，故答案為：5．12．（3分）如圖，直線，點、分別在、上，．過線段上的點作交于點，則的大小為57度．【分析】直接利用平行線的性質得出的度數，再結合三角形內角和定理得出答案．【解答】解：直線，，，，．故答案為：57．13．（3分）如圖，有一張矩形紙片，，．先將矩形紙片折疊，使邊落在邊上，點落在點處，折痕為；再將沿翻折，與相交于點，則的周長為．【分析】根據折疊的性質得到，根據矩形的性質得到，根據勾股定理求出，根據周長公式計算即可．【解答】解：由折疊的性質可知，，，，由題意得，四邊形為矩形，，，，，由勾股定理得，，則的周長，故答案為：．14．（3分）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于點，過點作軸的平行線交拋物線于點．為拋物線的頂點．若直線交直線于點，且為線段的中點，則的值為2．【分析】先根據拋物線解析式求出點坐標和其對稱軸，再根據對稱性求出點坐標，利用點為線段中點，得出點坐標；用含的式子表示出點坐標，寫出直線的解析式，再將點坐標代入即可求解出的值．【解答】解：拋物線與軸交于點，，拋物線的對稱軸為頂點坐標為，點坐標為點為線段的中點，點坐標為設直線解析式為為常數，且將點代入得將點代入得解得故答案為：2．三、解答題（共10小題，滿分78分）15．（6分）先化簡，再求值：，其中．【分析】直接利用完全平方公式以及單項式乘以多項式分別化簡得出答案．【解答】解：原式，當時，原式．16．（6分）一個不透明的口袋中有三個小球，每個小球上只標有一個漢字，分別是“家”、“家”“樂”，除漢字外其余均相同．小新同學從口袋中隨機摸出一個小球，記下漢字后放回并攪勻；再從口袋中隨機摸出一個小球記下漢字，用畫樹狀圖（或列表的）方法，求小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的概率．【分析】畫出樹狀圖，共有9個等可能的結果，小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的結果有5個，由概率公式即可得出結果．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有9個等可能的結果，小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的結果有5個，小新同學兩次摸出小球上的漢字相同的概率為．17．（6分）為建國70周年獻禮，某燈具廠計劃加工9000套彩燈，為盡快完成任務，實際每天加工彩燈的數量是原計劃的1.2倍，結果提前5天完成任務．求該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量．【分析】該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為套，由題意列出方程：，解方程即可．【解答】解：該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為套，則實際每天加工彩燈的數量為套，由題意得：，解得：，經檢驗，是原方程的解，且符合題意；答：該燈具廠原計劃每天加工這種彩燈的數量為300套．18．（7分）如圖，四邊形是正方形，以邊為直徑作，點在邊上，連結交于點，連結并延長交于點．（1）求證：；（2）若，，求的長．（結果保留【分析】（1）根據四邊形是正方形，為的直徑，得到，根據余角的性質得到，根據全等三角形的判定定理即可得到結論；（2）連接，根據三角形的內角和得到，根據圓周角定理得到，根據弧長公式即可得到結論．【解答】（1）證明：四邊形是正方形，為的直徑，，，，，在與中，，；（2）解：連接，，，，，，的長．19．（7分）網上學習越來越受到學生的喜愛．某校信息小組為了解七年級學生網上學習的情況，從該校七年級隨機抽取20名學生，進行了每周網上學習的調查．數據如下（單位：時）32.50.61.51223.32.51.82.52.23.541.52.53.12.83.32.4整理上面的數據，得到表格如下：網上學習時間（時人數2585樣本數據的平均數、中位數、眾數如下表所示：統計量平均數中位數眾數數值2.4根據以上信息，解答下列問題：（1）上表中的中位數的值為2.5，眾數的值為．（2）用樣本中的平均數估計該校七年級學生平均每人一學期（按18周計算）網上學習的時間．（3）已知該校七年級學生有200名，估計每周網上學習時間超過2小時的學生人數．【分析】（1）把20個數據從小到大排列，即可求出中位數；出現次數最多的數據即為眾數；（2）由平均數乘以18即可；（3）用總人數乘以每周網上學習時間超過2小時的學生人數所占的比例即可．【解答】解：（1）從小到大排列為：0.6，1，1.5，1.5，1.8，2，2，2.2，2.4，2.5，2.5，2.5，2.5，2.8，3，3.1，3.3，3.3，3.5，4，中位數的值為，眾數為2.5；故答案為：2.5，2.5；（2）（小時），答：估計該校七年級學生平均每人一學期（按18周計算）網上學習的時間為43.2小時．（3）（人，答：該校七年級學生有200名，估計每周網上學習時間超過2小時的學生人數為130人．20．（7分）圖①、圖②、圖③均是的正方形網格，每個小正方形的頂點稱為格點，小正方形的邊長為1，點、、、、、均在格點上．在圖①、圖②、圖③中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫出畫法．（1）在圖①中以線段為邊畫一個，使其面積為6．（2）在圖②中以線段為邊畫一個，使其面積為6．（3）在圖③中以線段為邊畫一個四邊形，使其面積為9，且．【分析】（1）直接利用三角形的面積的計算方法得出符合題意的圖形；（2）直接利用三角形面積求法得出答案；（3）根據矩形函數三角形的面積的求法進而得出答案．【解答】解：（1）如圖①所示，即為所求；（2）如圖②所示，即為所求；（3）如圖③所示，四邊形即為所求；21．（8分）已知、兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發，甲車以60千米時的速度沿此公路從地勻速開往地，乙車從地沿此公路勻速開往地，兩車分別到達目的地后停止．甲、乙兩車相距的路程（千米）與甲車的行駛時間（時之間的函數關系如圖所示．（1）乙車的速度為75千米時，，．（2）求甲、乙兩車相遇后與之間的函數關系式．（3）當甲車到達距地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程．【分析】（1）根據圖象可知兩車2小時后相遇，根據路程和為270千米即可求出乙車的速度；然后根據“路程、速度、時間”的關系確定、的值；（2）運用待定系數法解得即可；（3）求出甲車到達距地70千米處時行駛的時間，代入（2）的結論解答即可．【解答】解：（1）乙車的速度為：千米時，，．故答案為：75；3.6；4.5；（2）（千米），當時，設，根據題意得：，解得，；當時，設，；（3）甲車到達距地70千米處時行駛的時間為：（小時），此時甲、乙兩車之間的路程為：（千米）．答：當甲車到達距地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程為180千米．22．（9分）教材呈現：如圖是華師版九年級上冊數學教材第78頁的部分內容．例2如圖，在中，，分別是邊，的中點，，相交于點，求證：證明：連結．請根據教材提示，結合圖①，寫出完整的證明過程．結論應用：在中，對角線、交于點，為