第4章沖量和動量空氣動力學(xué)家、火箭專家錢學(xué)森第4章沖量和動量

4.1

質(zhì)點(diǎn)動量定理

4.2

質(zhì)點(diǎn)系動量定理

4.3

質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律

4.4

質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理

4.1質(zhì)點(diǎn)動量定理一、動量和沖量由牛頓第二定律：積分,得1.動量2.沖量描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)的物理量。描述力對時間累積作用的物理量。在給定時間間隔內(nèi),質(zhì)點(diǎn)所受合外力的沖量,等于質(zhì)點(diǎn)在此時間內(nèi)動量的增量。②二、質(zhì)點(diǎn)的動量定理①為狀態(tài)量;為過程量,方向沿的方向。為質(zhì)點(diǎn)所受到的合外力。討論某方向受到?jīng)_量，該方向上動量就增加。微分形式積分形式分量表示例1質(zhì)量m=1kg的質(zhì)點(diǎn)M，從O點(diǎn)開始沿半徑R=2m的圓周運(yùn)動，如圖。以O(shè)點(diǎn)為自然坐標(biāo)原點(diǎn)，已知M的運(yùn)動學(xué)方程為s=0.5πt2m。求從t1=21/2s到t2=2s這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點(diǎn)M的合力的沖量。解以M為研究對象質(zhì)點(diǎn)的速度質(zhì)點(diǎn)在Ａ點(diǎn)的動量大小質(zhì)點(diǎn)在Ｂ點(diǎn)的動量大小根據(jù)動量定理由圖(b)可知沖量的方向例2質(zhì)量為m

的勻質(zhì)鏈條,全長為L,開始時,下端與地面的距離為h。解dl

在落地時的速度LhmllNN′G求當(dāng)鏈條自由下落在地面上的長度為l

時，地面所受鏈條的作用力？LhmllNN′G根據(jù)動量定理地面受力例3一籃球質(zhì)量0.58kg,從2.0m高度下落,到達(dá)地面后,以同樣速率反彈,接觸時間僅0.019s。解籃球到達(dá)地面的速率對地平均沖力tF(max)F0.019sO相當(dāng)于40kg重物所受重力!求對地平均沖力?外力：系統(tǒng)外對質(zhì)點(diǎn)的作用力。內(nèi)力：系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力。質(zhì)點(diǎn)系4.2質(zhì)點(diǎn)系動量定理兩個質(zhì)點(diǎn)而n

個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，其矢量和為零。微分形式積分形式作用于系統(tǒng)的合外力的沖量等于系統(tǒng)動量的增量。——質(zhì)點(diǎn)系的動量定理。2.定理僅適應(yīng)于慣性系。1.力對時間的累積,等于動量的改變量。1.區(qū)分外力和內(nèi)力。2.內(nèi)力僅能改變系統(tǒng)內(nèi)某個物體的動量,但不能改變系統(tǒng)的總動量。討論注意外力和內(nèi)力動量定理常應(yīng)用于碰撞問題越小,則越大。當(dāng)一定時，注意：例1容器中有大量氣體分子，為簡單起見，假想每個分子都以速度v碰到鉛直的器壁上,v與器壁法線N方向的夾角為α，并以相同的速率和角度彈回來。若單位體積內(nèi)的分子數(shù)為n,每個分子的質(zhì)量為m,求分子對器壁的壓強(qiáng)。解取Δt時間內(nèi)碰到器壁上的氣體分子系統(tǒng)為研究對象,系統(tǒng)總質(zhì)量為由動量定理碰撞前后分子系統(tǒng)沿N方向的投影分別為故例2一子彈水平地穿過并排靜止放置在光滑水平面上的木塊，已知兩木塊的質(zhì)量分別為m1、m2，子彈穿過兩木塊的時間各為t1、t2，設(shè)子彈在木塊中所受的阻力為恒力F。解子彈穿過第一木塊時,兩木塊速度相同,均為v1

求子彈穿過后，兩木塊各以多大速度運(yùn)動？子彈穿過第二木塊后,第二木塊速度變?yōu)関2解得例3一鋼球m=0.05kg,v=10m/s,以與鋼板法線呈45o的方向撞擊在鋼板上，并以相同的速率和角度彈回。設(shè)球與鋼板的碰撞時間為△t

=0.05s。求：在此碰撞時間內(nèi)鋼板所受的平均沖力。解：作用時間△t很短,可以忽略重力的影響。鋼板對球的平均沖力球?qū)︿摪宓钠骄鶝_力xyo(((內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力)對鋼球：分量式xyo((鋼球所受的平均沖力為鋼板所受的平均沖力，方向沿x軸負(fù)向。xyo((4.3質(zhì)點(diǎn)系動量守恒定律一、動量守恒定律由質(zhì)點(diǎn)系的動量定理：一個質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力為零時，這個系統(tǒng)的總動量將保持不變。即得在直角坐標(biāo)系中的分量表示：1.系統(tǒng)總動量守恒，但每個質(zhì)點(diǎn)的動量可能變化。2.在碰撞、打擊、爆炸等相互作用時間極短的過程中,相互作用的內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力,故往往可忽略外力。討論3.動量守恒可在某一方向上成立。4.定律中的速度應(yīng)是對同一慣性系的速度,動量和應(yīng)是同一時刻的動量之和。6.動量守恒定律在微觀高速范圍仍適用。5.動量守恒定律只適用于慣性系。例1一長為l=4m,質(zhì)量為M=150kg的船，靜止浮在湖面上。今有一質(zhì)量m=50kg的人，從船頭走到船尾,如圖所示。求人和船相對于湖岸各移動的距離，設(shè)水對船的阻力忽略不計(jì)。解選人和船組成的系統(tǒng)為研究對象，水平方向動量守恒上式兩邊同乘，并積分用S和s分別表示船和人相對于湖岸移動的距離，則有由圖知例2靜止的原子核衰變時輻射出一個電子和一個中微子后成為一個新的原子核。已知電子的動量為1.2×10-23kgm/s，中微子的動量為6.4×10-23kgm/s,它們的運(yùn)動方向相互垂直。求新原子核的動量的大小和方向。αθ解原子衰變前后系統(tǒng)動量守恒所以：因?yàn)?/p>

與垂直：αθ例3一火箭以v=2.5×103m/s的速率相對地面沿水平方向飛行時分離成兩部分，前部是質(zhì)量為100kg的儀器艙，后部是質(zhì)量為200kg的燃料容器,若前部相對后部的水平速率為1000m/s。oSyzm1m2求:他們相對地面的速度。燃料容器m2為運(yùn)動參考系設(shè)為火箭分離前相對S的速度，和為分離后儀器艙

m1和燃料容器m2相對S的速度，為分離后m1相對于

m2（

）的速度。取地面為固定參考系S(Oxyz)解oSyzm1m2火箭分離前后只受重力,水平方向動量守恒。對同一慣性系S，有由伽利略速度變換：同在水平方向上,故上式為：解上兩式,得：代入數(shù)據(jù)有：同理，得例4在恒星系中,兩個質(zhì)量分別為m

1

和m2的星球，原來為靜止，且相距為無窮遠(yuǎn)，后在引力的作用下，互相接近，到相距為r

時，它們之間的相對速率為多少？解由動量守恒和機(jī)械能守恒解得相對速率例5如圖示,兩部運(yùn)水的卡車A、B在水平面上沿同一方向運(yùn)動,B的速度為u,從B上以6kg/s的速率將水抽至A上，水從管子尾部出口垂直落下，車與地面間的摩擦不計(jì)，時刻t

時，A車的質(zhì)量為M，速度為v

。ABuvA求時刻t,A

的瞬時加速度。解選A車M和t時間內(nèi)抽至A車的水m為研究系統(tǒng)，水平方向上動量守恒ABuvA一、質(zhì)心1.質(zhì)心的概念板上C點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是拋物線，C點(diǎn)是板的質(zhì)心。其余點(diǎn)的運(yùn)動=隨C點(diǎn)的平動+繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)動。ccccccc4.4質(zhì)心質(zhì)心運(yùn)動定理m1mim2c2.質(zhì)心的位置由n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位置：對質(zhì)量連續(xù)分布的物體對質(zhì)量離散分布的系統(tǒng)對密度均勻、形狀對稱的物體，質(zhì)心在其幾何中心。說明二、質(zhì)心運(yùn)動定律上式兩邊對時間t

求一階導(dǎo)數(shù)，得m1mim2c再對時間t

求一階導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動量定理（因質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)）作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量乘以質(zhì)心的加速度——質(zhì)心運(yùn)動定律。例1水分子H2O的結(jié)構(gòu)如圖,每個氫原子和氧原子之間距離均為d=1.0×10-10m,氫原子和氧原子兩條連線間的夾角為

=104.6o。OHHoCdd52.3o52.3o解:yC=0求:水分子的質(zhì)心。例2求半徑為R

的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心。解:選如圖所示的坐標(biāo)系。在半球殼上取一圓環(huán),其面積為圓環(huán)的質(zhì)量由于球殼關(guān)于y軸對稱，故xc=0RθO而所以其質(zhì)心位矢：θRO運(yùn)載火箭技術(shù)反映了當(dāng)代科技水平的綜合技術(shù),但就動力學(xué)原理而言，仍是動量和動量守恒定律。火箭在運(yùn)行時生成的熾熱氣體高速向后噴射,使火箭主體獲得向前的動量。若將任一時刻t

火箭的總質(zhì)量M分成兩部分:系統(tǒng)體內(nèi)質(zhì)量移動問題（火箭飛行原理）火箭主體質(zhì)量Mdm

；將被噴射的物質(zhì)質(zhì)量dm。在t+dt

時刻,dm被以相對于火箭的速度u

噴出(稱為噴射速度),火箭主體則以v+dv

的速度相對于地面運(yùn)行。在t

時刻,dm

尚未被噴出,火箭總質(zhì)量相對于地面的速度為v

,動量為Mv

；z將火箭主體和噴射物質(zhì)視為一個系統(tǒng)，并忽略作用于系統(tǒng)的外力,即火箭的重力Mg。根據(jù)動量守恒定律，在z方向的分量式有z因dm的噴射，火箭總質(zhì)量M在減少，減少量為dM,故有dm=dM。于是上式變?yōu)榉e分得即火箭主體在其質(zhì)量從M0變到M時所達(dá)到的速度為上式表明,火箭所能達(dá)到的速度決定于噴射速度u和質(zhì)量比(M0/M)的自然對數(shù)。化學(xué)燃燒過程所達(dá)到的噴射速度理論值為5×103m·s-1,而實(shí)際能達(dá)到的只是此值的一半左右。提高火箭速度的潛力在于提高質(zhì)量比(M0/M)和采用多級火箭技術(shù)。在(M0/M)中,M0是火箭尚未發(fā)射時的質(zhì)量,包括負(fù)載、火箭外殼等結(jié)構(gòu)以及全部燃料和氧化劑的質(zhì)量,M是負(fù)載及外殼等結(jié)構(gòu)的質(zhì)量。計(jì)算表明,要使火箭主體超過第一宇宙速度(7.9kms1)，用以發(fā)射人造地球衛(wèi)星,質(zhì)量比要高達(dá)55左右。實(shí)際上，僅靠增加單級火箭的質(zhì)量比或增大粒子流的噴射速率來提高火箭的飛行速度是不夠的。一般采用多級火箭，如三級火箭。設(shè)質(zhì)量比為N,，則第一、二、三級的質(zhì)量比分別為各級火箭中燃料燒完后,火箭的速率為若火箭粒子流的噴射速率u=2.5kms-1，每一級的質(zhì)量比分別為N1=4,N2=3,N3=2,可得:v3=7.93kms-1。例3有一個三級火箭,第一級火箭脫落前的質(zhì)量比為N1,第二級火箭剛發(fā)動時火箭的質(zhì)量與第二級火箭燃料耗盡時火箭的質(zhì)量之比為N2,第三級火箭剛點(diǎn)燃時火箭的質(zhì)量與燃料耗盡時火箭的質(zhì)量之比為N3。若取N1=N2=N3=7.4；各級火箭的噴射速度都為u=2.5kms-1。不計(jì)重力影響,求該火箭最后達(dá)到的速度。解根據(jù)火箭速度公式,在第一級火箭燃料耗盡時達(dá)到的速度為在第二級火箭燃料耗盡時,火箭主體的速度達(dá)到了v