4.3.1對數的概念

對數的創始人是蘇格蘭數學家納皮爾（Napier，1550年~1617年）。他發明了供天文計算作參考的對數，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數定律說明書》，公布了他的發明。恩格斯把對數的發明與解析幾何的創始，微積分的建立并稱為17世紀數學的三大成就。1.了解對數、常用對數、自然對數的概念.2.會進行對數式與指數式的互化.3.掌握對數的運算性質及對數恒等式.4.會求簡單的對數值.學習目標

22=4

25=32

2x=26X=引入對數的定義：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作

，其中a叫做對數的底數，N叫做真數.x＝logaN一、對數的概念ab=N?logaN=b底數指數對數冪底數真數注意：(1)對數是由指數轉化而來，而底數a、指數或對數x、冪或真數N的范圍不變，只是位置和名稱發生了變換；(2)logaN的讀法：以a為底N的對數.（3）在對數式中N>0（負數與零沒有對數）一、對數的概念例1

若對數式log(t－2)3有意義，則實數t的取值范圍是A.[2，＋∞) B.(2,3)∪(3，＋∞)C.(－∞，2) D.(2，＋∞)解析：要使對數式log(t－2)3有意義，解得t>2，且t≠3.所以實數t的取值范圍是(2,3)∪(3，＋∞).題型一：對數概念的理解2<x<4且x≠3

題型二：指數式對數式互化例2.若logx＝z，則x，y，z之間滿足A.y7＝xz

B.y＝x7zC.y＝7xz

D.y＝z7x∴y＝(xz)7＝x7z.題型二：指數式對數式互化[歸納提升]

1.指數式與對數式互化的方法技巧(1)指數式化為對數式：將指數式的冪作為真數，指數作為對數，底數不變，寫出對數式．(2)對數式化為指數式：將對數式的真數作為冪，對數作為指數，底數不變，寫出指數式．2．互化時應注意的問題(1)利用對數式與指數式間的互化公式互化時，要注意字母的位置改變．(2)對數式的書寫要規范：底數a要寫在符號“log”的右下角，真數正常表示．方法總結：例1：已知logx16＝2，則x等于A.4 B.±4 C.256 D.2題型三：求值解析由logx16＝2，得x2＝16＝(±4)2，又x>0，且x≠1，∴x＝4.例2：已知

＝x，則x等于A.－8 B.8 C.4 D.－4解析由題意得()x＝81，即

＝34，則x＝8.(1)以10為底的對數叫做常用對數，并把log10N記為lgN；(2)以無理數e＝2.71828…為底的對數稱為自然對數，并把logeN記為lnN.二、兩類特殊函數(1)loga1＝

(a>0，且a≠1).(2)logaa＝

(a>0，且a≠1).(3)零和負數沒有對數.(4)對數恒等式

；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0).三、對數的性質01題型三：對數基本性質的應用

例1：

求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0； (2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1; (4)lg(lnx)＝0.[解析]

(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2.(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343.(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10.(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.變式：求下列各式中x的值.(1)log8[log7(log2x)]＝0；解：（1）由log8[log7(log2x)]＝0，得log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27.(2)log2[log3(log2x)]＝1.（2）由log2[log3(log2x)]＝1，得log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29.題型三：對數基本性質的應用題型三：對數基本性質的應用例3：若a＝log23，則2a＋2－a＝____.解析∵a＝log23，∴2a＝

＝3，題型三：對數基本性質的應用例4：化簡

－lg0.01＋lne3等于A.14 B.0 C.1 D.6例5：若

＝0，試確定x，y，z的大小關系.題型三：對數基本性質的應用解由

＝0，得

＝1，log3y＝

，y＝

＝由

＝0，得

＝1，log2x＝

，x＝

＝由

＝0，得

＝1，log5z＝

，z＝

，∵310>215>56，

∴y>x>z.

利用對數的性質求值的