向量數量積的概念【基礎練習】一、單選題1．已知，且的夾角為，則的值是A．1 B．±1 C．2 D．±22．已知是圓心為，半徑為的圓上兩點，且，則等于（）A． B． C． D．3．若，和的夾角為30°，則在方向上的投影為（）A．2 B． C． D．44．下面給出的關系式中正確的個數是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．45．若，則三角形ABC必定是（）三角形A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰直角二、填空題6．已知，是與方向相同的單位向量，若在上的投影向量為，則_____________.7．如圖，正六邊形的邊長為，記，從點?????這六點中任取兩點為向量的起點和終點，則的最大值為______.8．中，，，則在方向上的投影是__________.三、解答題9．已知△ABC中，＝a，＝b，當a·b滿足下列哪個條件時，能確定△ABC的形狀？如能確定，指出三角形的形狀，如不能確定，請說明理由.①a·b<0；②a·b＝0；③a·b>0.10．如圖所示，已知各單元格都是邊長為的正方形，求出以下向量的數量積．（1）；（2）；（3）．【提升練習】一、單選題1．設，為非零向量，則“存在正數，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件2．對于下列命題：①若，則；②在，若，則為銳角三角形；③零向量與任何向量都共線④若和都是單位向量，則或．其中正確命題有()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．如圖所示，四個邊長為1的正方形拼成一個大正方形，是其中一個小正方形的一條邊，是小正方形其余的頂點，則集合中元素的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．64．若向量、滿足，則一定有（）A． B． C． D．5．如圖，為圓的一條弦，且，則A．4 B．-4 C．8 D．-8二、填空題6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為l，點E是AB邊上的動點．則的最大值為______．7．在中，，，則_________.8．知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為__________．三、解答題9．作圖說明,如果向量在向量上的投影為，則.10．已知是一個正六邊形，將下列向量的數量積按從小到大的順序排列：，，，．答案與解析【基礎練習】一、單選題1．已知，且的夾角為，則的值是A．1 B．±1 C．2 D．±2【答案】A【解析】.2．已知是圓心為，半徑為的圓上兩點，且，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由是圓心為，半徑為的圓上兩點，且，可得為等邊三角形，可得：，故選：A.3．若，和的夾角為30°，則在方向上的投影為（）A．2 B． C． D．4【答案】C【解析】因為，和的夾角為30°所以在方向上的投影為.故答案選C4．下面給出的關系式中正確的個數是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①錯誤，正確的是，向量數乘的結果還是向量.②③正確，根據向量數量積運算可判斷得出.④錯誤，，故⑤錯誤，.綜上所述，正確的個數為，故選B.5．若，則三角形ABC必定是（）三角形A．銳角 B．直角 C．鈍角 D．等腰直角【答案】B【解析】，即所以三角形ABC必定是直角三角形故選：B二、填空題6．已知，是與方向相同的單位向量，若在上的投影向量為，則_____________.【答案】4【解析】設與的夾角為,∵,∴.又∵在上的投影向量為,∴,∴.故答案為:47．如圖，正六邊形的邊長為，記，從點?????這六點中任取兩點為向量的起點和終點，則的最大值為______.【答案】2【解析】由題意可知：則，由圖可知時，所以，故的最大值為2.故答案為：28．中，，，則在方向上的投影是__________.【答案】【解析】在方向上的投影為.三、解答題9．已知△ABC中，＝a，＝b，當a·b滿足下列哪個條件時，能確定△ABC的形狀？如能確定，指出三角形的形狀，如不能確定，請說明理由.①a·b<0；②a·b＝0；③a·b>0.解∵a·b＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(AC,\s\up6(→))|·cosA.①當a·b<0時，∠A為鈍角，△ABC為鈍角三角形；②當a·b＝0時，∠A為直角，△ABC為直角三角形；③當a·b>0時，∠A為銳角，△ABC的形狀不確定．10．如圖所示，已知各單元格都是邊長為的正方形，求出以下向量的數量積．（1）；（2）；（3）．【答案】（1）1；（2）0；（3）-1.【解析】（1）由圖可知，，因此．（2）由圖可知，，因此．（3）由圖可知，向量在向量上的投影的數量為，且為單位向量，因此根據向量數量積的幾何意義可知．【提升練習】一、單選題1．設，為非零向量，則“存在正數，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件【答案】D【解析】充分性：若存在正數，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D2．對于下列命題：①若，則；②在，若，則為銳角三角形；③零向量與任何向量都共線④若和都是單位向量，則或．其中正確命題有()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【解析】解：①，，又，所以，所以，故①正確；②，，即，故為鈍角三角形，故②錯誤；③零向量與任何向量都共線（平行），故③正確；④單位向量指模為的向量，再具體的情境中，單位向量的方向是確定的，故④錯誤.故選C.3．如圖所示，四個邊長為1的正方形拼成一個大正方形，是其中一個小正方形的一條邊，是小正方形其余的頂點，則集合中元素的個數為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】根據數量積的定義，元素的個數取決于在向量方向的投影的結果的個數.結合已知條件，由圖可知：與，與，與在向量方向的投影相同，故集合中有3個元素.故選：A.4．若向量、滿足，則一定有（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵，∴，∴，∴．故選：5．如圖，為圓的一條弦，且，則A．4 B．-4 C．8 D．-8【答案】D【解析】設AB的中點為M，連接OM，則OM⊥AB，則=2?=2||?||?cos=-2×2?||?cos=-4||=-8．故選D．二、填空題6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為l，點E是AB邊上的動點．則的最大值為______．【答案】1【解析】根據平面向量數量積的幾何意義得：當點E在點B時，值的最大，此時，所以的最大值為1.7．在中，，，則_________.【答案】【解析】由知：，則在方向的投影為，由向量數量積的幾何意義得：，∴故答案為8．知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為__________．【答案】【解析】解：向量在向量方向上的投影為所以，向