第二章統(tǒng)計(jì)2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征一、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)1、眾數(shù)

在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。2、中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。3、平均數(shù)

(1)x=1/n(x1+x2+……+xn)

練習(xí):在一次中學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)上，參加男子跳高的17名運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)?nèi)缦卤硭荆撼煽?jī)(單位：米)1.501.601.651.701.751.801.851.90人數(shù)23234111分別求這些運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)，中位數(shù)與平均數(shù)解：在17個(gè)數(shù)據(jù)中，1.75出現(xiàn)了4次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，即這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1.75．上面表里的17個(gè)數(shù)據(jù)可看成是按從小到大的順序排列的，其中第9個(gè)數(shù)據(jù)1.70是最中間的一個(gè)數(shù)據(jù)，即這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是1.70；

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

答：17名運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)依次是1.75（米）、1.70（米）、1.69（米）.

二、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)與頻率分布直方圖的關(guān)系1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)。例如，在上一節(jié)調(diào)查的100位居民的月均用水量的問(wèn)題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.25t.如圖所示：頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5

2、在樣本中，有50％的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個(gè)體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值。下圖中虛線代表居民月均用水量的中位數(shù)的估計(jì)值，此數(shù)據(jù)值為2.02t.頻率分布直方圖如下：月均用水量/t頻率組距0.100.200.300.400.500.511.522.533.544.5說(shuō)明:2.03這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖,只是直觀地表明分布的形狀,但是從直方圖本身得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,所以由頻率分布直方圖得到的中位數(shù)估計(jì)值往往與樣本的實(shí)際中位數(shù)值不一致.

3.可以從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù)平均數(shù)的估計(jì)值=頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和三、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1.某工廠人員及工資構(gòu)成如下：人員經(jīng)理管理人員高級(jí)技工工人學(xué)徒合計(jì)周工資2200250220200100人數(shù)16510123合計(jì)22001500110020001006900（1）指出這個(gè)問(wèn)題中周工資的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（2）這個(gè)問(wèn)題中，工資的平均數(shù)能客觀地反映該廠的工資水平嗎？為什么？分析：：（1）眾數(shù)為為200，中位位數(shù)為為220，平均均數(shù)為為300。（2）因平平均數(shù)數(shù)為300，由表表格中中所列列出的的數(shù)據(jù)據(jù)可見(jiàn)見(jiàn)，只只有經(jīng)經(jīng)理在在平均均數(shù)以以上，，其余余的人人都在在平均均數(shù)以以下，，故用用平均均數(shù)不不能客客觀真真實(shí)地地反映映該工工廠的的工資資水平平。四、標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差平均數(shù)數(shù)向我我們提提供了了樣本本數(shù)據(jù)據(jù)的重重要信信息，，但是是，平平均數(shù)數(shù)有時(shí)時(shí)也會(huì)會(huì)使我我們作作出對(duì)對(duì)總體體的片片面判判斷，，難以以概括括樣本本數(shù)據(jù)據(jù)的實(shí)實(shí)際狀狀態(tài)，，而數(shù)數(shù)據(jù)的的離散散程度度可以以用極差、、方差差或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差來(lái)描述述。為了表表示樣樣本數(shù)數(shù)據(jù)的的單位位表示示的波波動(dòng)幅幅度，，通常常要求求出樣本方方差或者它它的算術(shù)平平方根根.四、標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差（1）方差：設(shè)在在一組組數(shù)據(jù)據(jù)，x1，x2，…，xn中，各各數(shù)據(jù)據(jù)與它它們的的平均均數(shù)x的差的的平方方分別別是那么我我們用用它們們的平平均數(shù)數(shù)，即即來(lái)衡量量這組組數(shù)據(jù)據(jù)的波波動(dòng)大大小，，并把把它叫叫做這這組數(shù)數(shù)據(jù)的的方差，一組組數(shù)據(jù)據(jù)方差差越大大，則則這組組數(shù)據(jù)據(jù)波動(dòng)動(dòng)越大大。（2）標(biāo)準(zhǔn)差差：我們們把數(shù)數(shù)據(jù)的的方差差的算算術(shù)平平方根根叫做做這組組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差，它它也是是一個(gè)個(gè)用來(lái)來(lái)衡量量一組組數(shù)據(jù)據(jù)的波波動(dòng)大大小的的重要要的量量。計(jì)算標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差的算算法：：S1算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x；S2算出每個(gè)樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差（i=1，2，……，n）；四、標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差差S3算出（i=1，2，…，n）；S4算出（i=1，2，…，n）這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2；S5算出方方差的的算術(shù)術(shù)平方方根，，即為為樣本本標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差s。例2.計(jì)算數(shù)數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差.解：S1x=———————=85+7+7+8+10+116數(shù)據(jù)xiS1xS2xi－xS3(xi－x)258－3978－1178－1188001082411839S4s2=———————=4；9+1+1+0+4+96S5.所以這這組數(shù)數(shù)據(jù)的的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差是是2.例3.從某燈燈泡廠廠生產(chǎn)產(chǎn)的一一批燈燈泡中中隨機(jī)機(jī)地抽抽取10只進(jìn)行壽命命測(cè)試，，得數(shù)據(jù)據(jù)如下（（單位：：h）:1458，1395，1562，1614，1351，1490，1478，1382，1536，1496使用函數(shù)數(shù)型計(jì)算算器或計(jì)計(jì)算機(jī)的的Excel軟件求樣樣本的平平均數(shù)x和樣本的的標(biāo)準(zhǔn)差差。解：按鍵鍵MODE2(進(jìn)入統(tǒng)計(jì)計(jì)算狀態(tài))將計(jì)算器存儲(chǔ)器設(shè)置成初始狀態(tài)SHIFTScl=1458139515621614135114901478138215361496DTDTDTDTDTDTDTDTDTDT繼續(xù)按下下表按鍵鍵按鍵顯示結(jié)果1476.278.7309342SHIFTSHIFTxσn==x解2：打開(kāi)Excel工作表，，在一列列輸入數(shù)數(shù)據(jù)，如如將10個(gè)數(shù)據(jù)輸輸入A1到A10單元格中中.（1）利用求求和∑計(jì)計(jì)算它們們的和；；（2）用函數(shù)數(shù)AVERAGE(A1:A10)求它們的的平均數(shù)數(shù)；（3）用函數(shù)數(shù)VARPA(A1:A10)求它們的的方差；；（4）用開(kāi)方方函數(shù)Sqrt(方差)計(jì)算它們們的標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差.解：（1）計(jì)算得x甲=7，x乙=7；

s甲=1.73，s乙=1.10.（2）由（1）知，甲甲、乙兩兩人平均均成績(jī)相相等，但但s乙<s甲，這表明明乙的成成績(jī)比甲甲的成績(jī)績(jī)穩(wěn)定一些，從從成績(jī)的的穩(wěn)定性性考慮，，可以選選乙參賽賽。（3）標(biāo)準(zhǔn)