《三角函數》復習與小結（1）一.復習內容三角函數二.知識要點：1.角的概念的推廣（1）角的概念、正角、負角、零角的概念。在這些概念中要注意旋轉的方向。（2）象限角的概念，這個概念的前提是這個角的頂點與坐標原點重合，角的始邊與x軸非負半軸重合。在這個前提下，才能由終邊所在象限來判定某角為第幾象限角。在上述前提下，如果某角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任一象限。①會表示象限角、區間角、終邊相同的角及其它特殊角。（3）終邊相同角的統一記法，與角α終邊相同的角的一般形式為α＋k·360°。要注意：①k∈Z；②α是任意角；③終邊相同的角不一定相等，但相等的角的終邊一定相同。終邊相同的角有無限多個，它們相差360°的整數倍。2.弧度制（1）把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫1弧度的角。這種以弧度作為單位來度量角的單位制，叫做弧度制。（2）弧度制的意義：首先是定義三角函數及繪制三角函數圖象的需要，其次弧度數是實數，它把角集合與實數集合之間建立了一一對應關系，再次可簡化弧長公式與扇形面積公式。（3）角度制與弧度制的換算：180°＝πrad是角度與弧度換算公式的基礎，這里π是圓周率，應注意π≠，π≠1rad。3.任意角的三角函數（1）三角函數的概念：設α是一個任意角，α的終邊上任意一點P的坐標是（x，y），它與原點的距離為r，三個量的六種比值是：這六種比值分別叫做α的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。這種以角為自變量，以比值為函數值的函數，統稱為三角函數。由于角α終邊確定，由幾何知識知，這六個比值與P點在α終邊上的位置無關。（2）三角函數線借助三角函數定義，可用單位圓中的有向線段MP，OM，AT等分別表示α角的正弦，余弦，正切。可見三角函數線是三角函數定義的形象表示。（注意課本上字母的確定位置。）（3）三角函數值以及符號由于用角α終邊上點的坐標來定義三角函數，因此，由點的坐標的符號，就可以決定α的六個三角函數值符號。（4）終邊相同的三角函數值由三角函數的定義知：終邊相同的角的同一三角函數值相同。即：它可以把求任意角的三角函數值轉化為求0°到360°之間角的三角函數值。4.同角三角函數基本關系式（1）根據一個角的某一三角函數值求其它的三角函數值。需注意先用平方關系，后用商數關系，最后用倒數關系，關鍵注意符號問題。（2）三角函數式的化簡，注意化簡的結果做到“五個盡量”，即①項數盡量少，②次數盡量低，③盡量不含分母，④盡量不帶根號，⑤盡量化為數值。（3）三角恒等式的證明，掌握常規的化弦法（即：切割化弦）以及由繁到簡法等。5.誘導公式同名函數值，前面加上一個把α看成銳角時原函數值的符號。此外，我們還證明了誘導公式對于α為任意角都能成立。（1）［0°，360°］間的角用［0°，90°］間的角表示。若0°≤α≤90°，則［90°，180°］間的角可表示為180°－α。［180°，270°］間的角可表示為180°＋α，［270°，360°］間的角可表示為360°－α。6.兩角和與差的正弦、余弦、正切（2）變換α與β的取值及運用公式與同角三角函數關系式得：說明：（1）對于公式（*）初中要求α、β為銳角，事實上可以取任意角。倍角公式：它們的內在聯系及其推導線索如下：7.三角函數的圖象和性質［要點1］用“五點法”作圖。五個特殊點。［要點2］正弦函數、余弦函數性質。研究函數性質通常從五個方面研究：定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性。（1）五點法畫圖（2）變換9.已知三角函數值求角（1）反正弦概念反正弦的定義理解反正弦概念須注意以下幾點：arcsina無意義。（2）反余弦概念反余弦的定義理解反余弦定義須注意：（3）反正切概念

【典型例題】例1.試求函數y＝sinx＋cosx＋2sinxcosx＋2的最大值和最小值。解：說明：本題主要通過換元將三角問題轉化為代數問題。

例2.解：說明：本題關鍵是將sinαcosβ與cosαsinβ看成一個整體，通過解方程組而求解。

例3.解：說明：然后再求值。

例4.（1）求f(x)的最小正周期。（2）求f(x)取得最值時x的值。（3）求f(x)單調遞增區間。解：

例5.解：

例6.解：例7.如圖在地面上有一旗桿OP，為了測得它的高h，在地面上選一基線AB，AB＝20m，在A點測得P點仰角∠OAP＝30°，在B點測得P點的仰角∠OBP＝45°，又測得∠AOB＝60°解：在△AOB中，運用余弦定理：答：旗桿的高度為20m

【復習測試】一、選擇題（本大題12小題，每小題5分，共60分）1、已知是第二象限角，，則是（）A、第一象限角B、第二象限角C、第三象限角D、第四象限角2、已知，則下列命題正確的是（）A、若、為第一象限角，則B、若、為第二象限角，則C、若、為第三象限角，則D、若、為第四象限角，則3、函數是（）A、周期為的奇函數B、周期為的偶函數C、周期為的奇函數D、周期為的偶函數4、函數的定義域是（）A、B、C、D、5、化簡的結果為（）A、B、C、D、6、的單調遞減區間是（）A、B、C、D、7、設，，則的值為（）A、B、C、D、8、的值為（）A、B、C、1D、09、以為最小正周期的偶函數在上單調遞增的函數是（）A、B、C、D、10、當的最大值和最小值分別是（）A、B、C、D、11、要得到的圖象，只要將的圖象（）A、向左平移個單位B、向右平移個單位C、向左平移個單位D、向左平移個單位12、下列各式，正確的是（）A、B、C、D、二、填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13、已知、都是銳角，，，則________。14、中，，且，則_________，__________。15、化簡______________。16、已知在一個周期內有最高點，最低點，則該函數的解析式是__________。三、解答題（本大題共6小題，共74分）17、（本小題滿分12分）已知，求的值。18、（本小題滿分12分）已知函數。⑴當取最大值時，的取值范圍是什么？⑵該函數的圖像可由的圖象如何變換得到？19、（本題滿分12分）已知，求證：。20、（本小題滿分12分）已知對于，都有成立，且，求的值。21、（本小題滿分12分）已知、、是方程的兩根，求。22、（本小題滿分14分）在中，已知三個內角、、滿足。⑴若任意變換、、的位置，的位置是否會發生變化？證明你的結論；⑵求的最大值。參考答案1、C2、D3、A4、A5、A6、B7、B8、D9