211′2′G1G2若在管道兩截面之間無流體漏損，根據質量守恒定律，從截面1-1進入的流體質量流量G1應等于從截面2-2流出的流體質量流量G2。

設流體在如圖所示的管道中:作連續穩定流動;從截面1-1流入，從截面2-2流出

1.3.1質量守恒

1

若流體不可壓縮，ρ＝常數，則上式可簡化為

Au＝常數(1-17)

對于管道的任一截面:ρAu＝常數(1-16)上式稱為連續性方程式。2

由此可知：在連續穩定的不可壓縮流體的流動中，流體流速與管道的截面積成反比。截面積愈大之處流速愈小，反之亦然。

式中d1及d2分別為管道上截面1和截面2處的管內徑。上式說明：不可壓縮流體在管道中的流速與管道內徑的平方成反比。或對于圓形管道，有（1-23）3柏努利方程式是管內流體流動機械能衡算式。

（一）柏努利方程式的推導假設：流體無粘性：在流動過程中無摩擦損失；流體在管道內作穩定流動；在管截面上液體質點的速度分布是均勻的；流體的壓力、密度都取在管截面上的平均值；流體質量流量為G(qm)，管截面積為A。1.3.2、柏努利方程式

(Bernoulli′sequation)4對不可壓縮流體，ρ為常數：(1-19)上式稱為柏努利方程式，它適用于不可壓縮非粘性的流體。通常把非粘性的流體稱為理想流體，故又稱上式為理想流體柏努利方程式。5gz為單位質量流體所具有的位能；

由此知，式(1-19)中的每一項都是單位質量流體的能量。位能、靜壓能及動能均屬于機械能，三者之和稱為總機械能或總能量。

p/ρ為單位質量流體所具有的靜壓能；u2/2為單位質量流體所具有的動能(kineticenergy)。因質量為m、速度為u的流體所具有的動能為mu2/2。（二）柏努利方程式的物理意義

6上式表明：三種形式的能量可以相互轉換；總能量不會有所增減，即三項之和為一常數；所以上式稱為單位質量流體能量守恒方程式。7Hz22108柏努利方程式的其他形式若將式(1-28)各項均除以重力加速度g，則得上式為單位重量流體能量守恒方程式。z為位壓頭；p/ρg為靜壓頭；u2/2g稱為動壓頭（dynamichead）或速度壓頭(velocityhead)。z

+

p/ρg+u2/2g為總壓頭。9

實際流體由于有粘性，管截面上流體質點的速度分布是不均勻的，從而引起能量的損失。簡單實驗觀察流體在等直徑的直管中流動時的能量損失。五、實際流體機械能衡算式

10

兩截面處的靜壓頭分別為p1/ρg與p2/ρg；z1＝z2；

u22/2g＝u12/2g；1截面處的機械能之和大于2截面處的機械能之和。

兩者之差，即為實際流體在這段直管中流動時的能量損失。11因此實際流體在機械能衡算時必須加入能量損失項。

由此方程式可知：只有當1-1截面處總能量大于2-2截面處總能量時，流體才能克服阻力流至2-2截面。式中

∑Hf——壓頭損失，m。12流體機械能衡算式在實際生產中的應用

（1-31）式中H―外加壓頭，m。（1-32）式中∑hf＝g∑Hf，為單位質量流體的能量損失，J/kg。W＝gH，為單位質量流體的外加能量，J/kg。式(1-31)及(1-32)均為實際流體機械能衡算式，習慣上也稱它們為柏努利方程式。13分析和解決流體輸送有關的問題；柏努利方程是流體流動的基本方程式，它的應用范圍很廣。調節閥流通能力的計算等。液體流動過程中流量的測定；六、柏努利方程式的應用14用泵將貯槽(通大氣)中的稀堿液送到蒸發器中進行濃縮，如附圖所示。泵的進口管為φ89×3.5mm的鋼管，堿液在進口管的流速為1.5m/s，泵的出口管為φ76×2.5mm的鋼管。貯槽中堿液的液面距蒸發器入口處的垂直距離為7m，堿液經管路系統的能量損失為40J/kg，蒸發器內堿液蒸發壓力保持在0.2kgf/cm2（表壓），堿液的密度為1100kg/m3。試計算所需的外加能量。15基準16式中，z1=0，z2=7；p1=0(表壓)，p2=0.2kgf/cm2×9.8×104=19600Pa，u10,u2=u0(d0/d2)2=1.5((89-2×3.5)/(76-2×2.5))2=2.0m/s代入上式，得W=128.41J/kg解：解題要求規范化17(1)選取截面連續流體，穩定流動；兩截面均應與流動方向相垂直。用柏努利方程式解題時的注意事項：(2)確定基準面

基準面是用以衡量位能大小的基準。強調：只要在連續穩定的范圍內，任意兩個截面均可選用。不過，為了計算方便，截面常取在輸送系統的起點和終點的相應截面，因為起點和終點的已知條件多。18(3)壓力

柏努利方程式中的壓力p1與p2只能同時使用表壓或絕對壓力，不能混合使用。(4)外加能量

外加能量W在上游一側為正，能量損失在下游一側為正。應用式(1-32)計算所求得的外加能量W是對每kg流體而言的。若要計算的軸功率，需將W乘以質量流量，再除以效率。19從高位槽向塔內加料，高位槽和塔內的壓力均為大氣壓。要求料液在管內以0.5m/s的速度流動。設料液在管內壓頭損失為1.2m（不包括出口壓頭損失），試求高位槽的液面應該比塔入口處高出多少米？110022x20解：選取高位槽的液面作為1-1截面，選在管出口處內側為2-2截面，以0-0截面為基準面，在兩截面間列柏努利方程，則有式中p1=p2=0（表壓）

u1=0（高位槽截面與管截面相差很大，故高位槽截面的流速與管內流速相比，其值很小可以忽略不計）u2=0.5m/sΣhf=1.2mz1-z2=xx=1.21m

計算結果表明，動能項數值很小，流體位能主要用于克服管路阻力。21柏努利方程的應用1）確定流體的流量

例：20℃的空氣在直徑為800mm的水平管流過，現于管路中接一文丘里管，如本題附圖所示，文丘里管的上游接一水銀U管壓差計，在直徑為20mm的喉徑處接一細管，其下部插入水槽中。空氣流入文丘里管的能量損失可忽略不計，當U管壓差計讀數R=25mm，h=0.5m時，試求此時空氣的流量為多少m3/h?當地大氣壓強為101.33×103Pa。22分析：求流量Vh已知d求u直管任取一截面柏努利方程氣體判斷能否應用？23解：取測壓處及喉頸分別為截面1-1’和截面2-2’截面1-1’處壓強：截面2-2’處壓強為：流經截面1-1’與2-2’的壓強變化為：24在截面1-1’和2-2’之間列柏努利方程式。以管道中心線作基準水平面。由于兩截面無外功加入，We=0。能量損失可忽略不計Σhf=0。柏努利方程式可寫為：

式中：Z1=Z2=0

P1=3335Pa（表壓），P2=-4905Pa（表壓）25化簡得：由連續性方程有：26聯立(a)、(b)兩式272）確定容器間的相對位置例：如本題附圖所示，密度為850kg/m3的料液從高位槽送入塔中，高位槽中的液面維持恒定，塔內表壓強為9.81×103Pa，進料量為5m3/h，連接管直徑為φ38×2.5mm，料液在連接管內流動時的能量損失為30J/kg(不包括出口的能量損失)，試求高位槽內液面應為比塔內的進料口高出多少？28分析：解：

取高位槽液面為截面1-1’，連接管出口內側為截面2-2’,并以截面2-2’的中心線為基準水平面，在兩截面間列柏努利方程式：高位槽、管道出口兩截面u、p已知求△Z柏努利方程29式中：Z2=0；Z1=?

P1=0(表壓)；P2=9.81×103Pa(表壓）由連續性方程∵A1>>A2,We=0，∴u1<<u2,可忽略，u1≈0。將上列數值代入柏努利方程式，并整理得：303）確定輸送設備的有效功率

例：如圖所示，用泵將河水打入洗滌塔中，噴淋下來后流入下水道，已知管道內徑均為0.1m，流量為84.82m3/h，水在塔前管路中流動的總摩擦損失(從管子口至噴頭進入管子的阻力忽略不計)為10J/kg，噴頭處的壓強較塔內壓強高0.02MPa，水從塔中流到下水道的阻力損失可忽略不計，泵的效率為65%，求泵所需的功率。3132分析：求NeNe=WeWs/η求We柏努利方程P2=?塔內壓強整體流動非連續截面的選取？

解：取塔內水面為截面3-3’，下水道截面為截面4-4’，取地平面為基準水平面，在3-3’和4-4’間列柏努利方程：33將已知數據代入柏努利方程式得：計算塔前管路，取河水表面為1-1’截面，噴頭內側為2-2’截面，在1-1’和2-2’截面間列柏努利方程。34式中：35將已知數據代入柏努利方程式泵的功率：364)管道內流體的內壓強及壓強計的指示例1：如圖，一管路由兩部分組成，一部分管內徑為40mm，另一部分管內徑為80mm，流體為水。在管路中的流量為13.57m3/h，兩部分管上均有一測壓點，測壓管之間連一個倒U型管壓差計，其間充以一定量的空氣。若兩測壓點所在截面間的摩擦損失為260mm水柱。求倒U型管壓差計中水柱的高度R為多少為mm?37分析：求R1、2兩點間的壓強差柏努利方程式解：取兩測壓點處分別為截面1-1’和截面2-2’，管道中心線為基準水平面。在截面1-1’和截面2-2’間列單位重量流體的柏努利方程。式中：z1=0，z2=0u已知38代入柏努利方程式：39因倒U型管中為空氣，若不計空氣質量，P3=P4=P40

例2：水在本題附圖所示的虹吸管內作定態流動，管路直徑沒有變化，水流經管路的能量損失可以忽略不計，計算管內截面2-2’,3-3’,4-4’和5-5’處的壓強，大氣壓強為760mmHg，圖中所標注的尺寸均以mm計。分析：求P求u柏努利方程某截面的總機械能求各截面P理想流體41

解：在水槽水面1－1’及管出口內側截面6－6’間列柏努利方程式，并以6－6’截面為基準水平面式中：P1=P6=0（表壓）u1≈0代入柏努利方程式42u6=4.43m/su2=u3