第九章壓桿穩定1、壓桿穩定性的概念2、細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式3、不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長度因數4、歐拉公式的應用范圍·臨界應力總圖5、實際壓桿的穩定因數6、壓桿的穩定計算·壓桿的合理截面實際的受壓桿件實際的受壓桿件由于:其軸線并非理想的直線而存在初彎曲，2.作用于桿上的軸向壓力有“偶然”偏心，3.材料性質并非絕對均勻，因此在軸向壓力作用下會發生彎曲變形，且由此引起的側向位移隨軸向壓力的增大而更快地增大?！?-1壓桿穩定性的概念對于細長的壓桿(大柔度壓桿)，最終會因為彈性的側向位移過大而喪失承載能力；對于中等細長的壓桿(中等柔度壓桿)則當側向位移增大到一定程度時會在彎－壓組合變形下發生強度破壞(壓潰)。對于實際細長壓桿的上述力學行為，如果把初彎曲和材質不均勻的影響都歸入偶然偏心的影響，則可利用大柔度彈性直桿受偏心壓力作用這一力學模型來研究。圖a為下端固定，上端自由的實際壓桿的力學模型；為列出用來尋求F－d關系所需撓曲線近似微分方程而計算橫截面上的彎矩時,需把側向位移考慮在內，即

M(x)=-F(e+d-w)，這樣得到的撓曲線近似微分方程EIz

w"=F(e+d

-w)和積分后得到的撓曲線方程便反映了大柔度桿偏心受壓時側向位移的影響。(a)按照這一思路求得的細長壓桿在不同偏心距e時偏心壓力F與最大側向位移d的關系曲線如圖b所示。(b)由圖可見雖然偶然偏心的程度不同(e3>e2>e1)，但該細長壓桿喪失承載能力時偏心壓力Fcr卻相同。其它桿端約束情況下細長壓桿的F－d關系曲線其特點與圖b相同。抽象的細長中心受壓直桿由圖b可知，當偶然偏心的偏心距e→0時，細長壓桿的F-d關系曲線就逼近折線OAB，而如果把細長壓桿抽象為無初彎曲，軸向壓力無偏心，材料絕對均勻的理想中心壓桿，則它的F-d關系曲線將是折線OAB。由此引出了關于壓桿失穩(buckling)這一抽象的概念：當細長中心壓桿上的軸向壓力F小于Fcr時，桿的直線狀態的平衡是穩定的；當F＝Fcr時桿既可在直線狀態下保持平衡(d＝0)，也可以在微彎狀態下保持平衡，也就是說F＝Fcr時理想中心壓桿的直線平衡狀態是不穩定的，壓桿在軸向壓力Fcr作用下會喪失原有的直線平衡狀態，即發生失穩。Fcr則是壓桿直線狀態的平衡由穩定變為不穩定的臨界力(criticalforce)。從另一個角度來看，此處中心受壓桿的臨界力又可理解為：桿能保持微彎狀態時的軸向壓力。顯然，理想中心壓桿是有偶然偏心等因素的實際壓桿的一種抽象。失穩現象穩定狀態失穩現象臨界狀態失穩現象不穩定狀態壓桿的截面形式及支端約束壓桿的臨界力既然與彎曲變形有關，因此壓桿橫截面的彎曲剛度應盡可能大；圖a為鋼桁架橋上弦桿(壓桿)的橫截面，圖b為廠房建筑中鋼柱的橫截面。在可能條件下還要盡量改善壓桿的桿端約束條件，例如限制甚至阻止桿端轉動。本節以兩端球形鉸支(簡稱兩端鉸支)的細長中心受壓桿件(圖a)為例，按照對于理想中心壓桿來說臨界力就是桿能保持微彎狀態時的軸向壓力這一概念，來導出求臨界力的歐拉(Euler)公式。(a)§9-2細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式在圖a所示微彎狀態下，兩端鉸支壓桿任意x截面的撓度(側向位移)為w，該截面上的彎矩為M(x)=Fcrw（圖b）。桿的撓曲線近似微分方程為(b)(a)上式中負號是由于在圖示坐標中，對應于正值的撓度w，撓曲線切線斜率的變化率為負的緣故。令k2=Fcr

/EI，將撓曲線近似微分方程(a)改寫成該二階常系數線性微分方程(b)的通解為(b)(c)此式中有未知量A和B以及隱含有Fcr的k，但現在能夠利用的邊界條件只有兩個，即x=0，w=0和x=l，w=0，顯然這不可能求出全部三個未知量。這種不確定性是由F=Fcr時桿可在任意微彎狀態下(d可為任意微小值)保持平衡這個抽象概念所決定的。事實上，對于所研究的問題來說只要能從(c)式求出與臨界力相關的未知常數k就可以了。將邊界條件x=0，w=0代入式(c)得B=0。于是根據(c)式并利用邊界條件x=l，w=0得到(c)(a)注意到已有B=0，故上式中的A不可能等于零，否則(c)式將成為w≡0而壓桿不能保持微彎狀態，也就是桿并未達到臨界狀態。由此可知，欲使(c)成立，則必須sinkl=0滿足此條件的kl為或即由于意味著臨界力Fcr

＝0，也就是桿根本未受軸向壓力，所以這不是真實情況。在kl≠0的解中，最小解kl＝p相應于最小的臨界力，這是工程上最關心的臨界力。由kl＝p有亦即從而得到求兩端鉸支細長中心壓桿臨界力的歐拉公式：此時桿的撓曲線方程可如下導出。前已求得B=0，且取kl＝p，以此代入式(c)得注意到當x=l/2時w=d，故有A=d。從而知，對應于kl＝p，亦即對應于Fcr=p2EI/l2，撓曲線方程為可見此時的撓曲線為半波正弦曲線。需要指出的是，盡管上面得到了A=d，但因為桿在任意微彎狀態下保持平衡時d為不確定的值，故不能說未知量A已確定。事實上，在推導任何桿端約束情況的細長中心壓桿歐拉臨界力時，撓曲線近似微分方程的通解中，凡與桿的彎曲程度相關的未知量總是不確定的。(a)現在通過二個例題來推導另一些桿端約束條件下求細長中心壓桿臨界力的歐拉公式。§9-3不同桿端約束下細長壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長度因數

例題9-1

試推導下端固定、上端自由的等直細長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求壓桿相應的撓曲線方程。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面，亦即桿最容易發生彎曲的平面。

解：根據該壓桿失穩后符合桿端約束條件的撓曲線的大致形狀可知，任意x橫截面上的彎矩為桿的撓曲線近似微分方程則為并令有此微分方程的通解為從而亦有根據邊界條件x=0，w=0得Ak=0；注意到不會等于零，故知A＝0，從而有w＝Bcoskx+d。再利用邊界條件x=0，w=0得B=-d。于是此壓桿的撓曲線方程成為至此仍未得到可以確定隱含Fcr的未知量k的條件。為此，利用x=l時w=d這一關系，從而得出從式(a)可知d不可能等于零，否則w將恒等于零，故上式中只能coskl

=0。滿足此條件的kl的最小值為kl

=p/2，亦即從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：(b)亦即以kl

=p/2亦即k=p/(2l)代入式(a)便得到此壓桿對應于式(b)所示臨界力的撓曲線方程：

例題9-2

試推導下端固定、上端鉸支的等直細長中心壓桿臨界力的歐拉公式，并求該壓桿相應的撓曲線方程。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。(a)

解：1.在推導臨界力公式時需要注意，在符合桿端約束條件的微彎狀態下，支座處除軸向約束力外還有無橫向約束力和約束力偶矩。在推導臨界力公式時這是很重要的一步，如果在這一步中發生錯誤，那么得到的結果將必定是錯誤的。(b)圖b示出了該壓桿可能的微彎狀態，與此相對應，B處應有逆時針轉向的約束力偶矩MB，并且根據整個桿的平衡條件ΣMB

＝0可知，桿的上端必有向右的水平約束力Fy；從而亦知桿的下端有向左的水平約束力Fy

。2.桿的任意x截面上的彎矩為從而有撓曲線近似微分方程：上式等號右邊的負號是因為對應于正值的w，為負而加的。(b)令k2=Fcr

/EI，將上式改寫為亦即此微分方程的通解為從而亦有式中共有四個未知量：A，B，k，Fy。對于此桿共有三個邊界條件。由邊界條件x=0，w=0得A=Fy

/(kFcr)。又由邊界條件x=0，w=0得B=-Fy

l/Fcr。將以上A和B的表達式代入式(a)有(a)再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得由于桿在微彎狀態下保持平衡時，Fy不可能等于零，故由上式得滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即，從而得到此壓桿求臨界力的歐拉公式：亦即

3.將kl

=4.49，亦即k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對應于上列臨界力的撓曲線方程：利用此方程還可以進一步求得該壓桿在上列臨界力作用下撓曲線上的拐點在x=0.3l處(圖b)。(b)表9?1各種支承條件下細長壓桿的臨界力Fcrl支承情況兩端鉸支一端固定一端鉸支兩端固定，但可沿縱向相對移動一端固定一端自由兩端固定，但可沿橫向相對移動失穩時撓曲線形狀臨界力長度系數lFcrl0.5lFcrμ=1μ=0.7μ=0.5μ=2μ=12llFcrFcr0.7ll表9-1中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細長中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見，桿端約束越強，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫成了同一的形式：式中，m稱為壓桿的長度因數，它與桿端約束情況有關；ml稱為壓桿的相當長度(equivalentlength)，它表示某種桿端約束情況下幾何長度為l的壓桿，其臨界力相當于長度為ml的兩端鉸支壓桿的臨界力。表9-1的圖中從幾何意義上標出了各種桿端約束情況下的相當長度ml。運用歐拉公式計算臨界力時需要注意：當桿端約束情況在各個縱向平面內相同時(例如球形鉸)，歐拉公式中的

I應是桿的橫截面的最小形心主慣性矩

Imin。當桿端約束在各個縱向平面內不同時，歐拉公式中所取用的I應與失穩(或可能失穩)時的彎曲平面相對應。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷對應于桿在xy平面內失穩，桿端約束接近于兩端固定，對應于桿在xz平面內的失穩，桿端約束相當于兩端鉸支，而取用的臨界力值應是上列兩種計算值中的較小者。xyz軸銷Ⅰ.歐拉公式應用范圍在推導細長中心壓桿臨界力的歐拉公式時，應用了材料在線彈性范圍內工作時的撓曲線近似微分方程，可見歐拉公式只可應用于壓桿橫截面上的應力不超過材料的比例極限sp的情況。按照抽象的概念，細長中心壓桿在臨界力Fcr作用時可在直線狀態下維持不穩定的平衡，故其時橫截面上的應力可按scr＝Fcr

/A來計算，亦即§9-4歐拉公式的應用范圍·臨界應力總圖式中，scr稱為臨界應力；為壓桿橫截面對于失穩時繞以轉動的形心主慣性軸的慣性半徑；ml/i為壓桿的相當長度與其橫截面慣性半徑之比，稱為壓桿的長細比(slenderness)或柔度，記作l，即根據歐拉公式只可應用于scr≤sp的條件，由式(a)知該應用條件就是亦即或寫作可見就是可以應用歐拉公式的壓桿最小柔度。對于Q235鋼，按照

E＝206GPa，sp

＝200MPa，有通常把l≥lp的壓桿，亦即能夠應用歐拉公式求臨界力Fcr的壓桿，稱為大柔度壓桿或細長壓桿，而把l<lp的壓桿，亦即不能應用歐拉公式的壓桿，稱為小柔度壓桿。圖中用實線示出了歐拉公式應用范圍內(l≥lp)的scr-l曲線，它是一條雙曲線，稱為歐拉臨界力曲線，簡稱歐拉曲線。需要指出的是，由于實際壓桿都有初彎曲，偶然偏心和材質不勻，所以從實驗數據來分析，應用歐拉公式求臨界力的最小柔度lp偏大一些。*Ⅱ.研究小柔度壓桿臨界力的折減彈性模量理論工程中的絕大部分壓桿為小柔度壓桿，不能應用歐拉公式。研究小柔度壓桿（l<lp）臨界應力的理論很多，此處介紹的折減彈性模量理論是其中之一。現先以矩形截面小柔度鋼壓桿在xy平面內失穩為例來探討。(a)圖a所示為鋼在壓縮時的s－e曲線。當加載過程中應力s超過比例極限時，材料在某一應力水平下的彈性模量可應用切線模量Es；而卸載時，材料的彈性模量由卸載規律可知，它與初始加載時的彈性模量E相同。(1)

橫截面上應力的變化情況按抽象的概念，小柔度中心壓桿與大柔度中心壓桿一樣，當F=Fcr時桿既可在直線狀態下保持平衡，也可在微彎狀態下保持平衡。小柔度壓桿在直線狀態下保持平衡時其橫截面上的應力是均勻的，其值為scr

=Fcr/A（圖b）。(b)當壓桿在此應力水平下發生微彎時，中性軸一側(圖b中

z軸右側)橫截面上產生附加拉應力，使原有的壓應力scr減小，故屬于減載，附加彎曲拉應力為st=Ey/r

(x)；(b)中性軸另一側橫截面上產生附加應力，使原有的壓應力scr

增大，故屬于加載，附加彎曲壓應力為sc=Esy/r

(x)。因為E≠Es，故微彎時中性軸不通過橫截面形心，它離左邊緣的距離為h1，離右邊緣的距離為h2。(2)

中性軸的具體位置

根據壓桿由于微彎產生的正應力在橫截面上不應組成合力有即應有亦即要求(b)這就要求注意到h1+h2=h，由上式可解得(b)(3)

橫截面上彎矩M(x)與曲率r(x)的關系根據有(b)上式中，Iz,1=bh13/3和Iz,2=bh23/3都是z軸一側的矩形對z軸的慣性矩。由上式可得為了表達方便，用I來表示bh3/12，于是有為將上式表達為一般彎曲問題中的形式，引入折減彈性模量Er：(b)于是有亦即或者說，撓曲線的近似微分方程為對于非矩形截面的小柔度壓桿，其折減彈性模量可類似于上面所述的方法求得，而撓曲線方程的形式仍如式(c)所示。(c)(4)

小柔度壓桿的臨界力和臨界應力表達式小柔度壓桿的撓曲線近似微分方程與大柔度壓桿的

w"＝±M(x)/EI完全一致，對不同桿端約束下各種截面形狀的小柔度壓桿都有如下公式：臨界力臨界應力Er：折減彈性模量Ⅲ.

壓桿的臨界應力總圖臨界應力總圖是指同一材料制作的壓桿，其臨界應力scr隨柔度l變化的關系曲線。在l≥lp的部分，有歐拉公式scr

＝p2E/l2表達scr－l關系；但在壓桿柔度l很小時，由于該理論存在的不足，計算所得scr可能會大于材料的屈服極限ss，故取scr

＝ss。在l<lp的范圍內可利用折減彈性模量理論公式scr

＝p2Er/l2表達scr－l關系；此外，該理論公式中有與截面形狀相關的折減彈性模量Er，故l<lp范圍內的scr－l曲線實際上還因截面形狀而有所不同。為保證實際壓桿具有足夠的穩定性，在穩定計算中需納入穩定安全因數nst，取穩定條件(stabilitycondition)為式中，[s]st=scr/nst為壓桿的穩定許用應力。亦即由于scr與壓桿的柔度l有關，而且考慮到不同柔度的壓桿其失穩的危險性也有所不同，故所選用的穩定安全因數nst也隨l變化，因此[s]st是一個與壓桿柔度（長細比）的關系比較復雜的量?！?-5實際壓桿的穩定因數為了應用方便，將穩定許用應力[s]st寫為材料的強度許用應力[s]乘以一個隨壓桿柔度l變化的穩定因數j=j(l)，即我國鋼結構設計規范根據對常用截面形式、尺寸和加工工藝的96根鋼壓桿，并考慮初曲率和加工產生的殘余應力所作數值計算結果，在選取適當的安全因數后，給出了鋼壓桿穩定因數j與柔度l的一系列關系值。該規范按鋼壓桿中殘余應力對臨界應力的影響從小到大分為a，b，c，d四類截面。大多數鋼壓桿可取作b類截面壓桿。表9-3為Q235鋼b類截面中心壓桿隨柔度l變化的穩定因數j。表9-3

Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩定因數j實際壓桿的穩定因數的影響因素1、柔度（長細比）——反比例關系

相當長度（計算長度）、慣性半徑2、截面形狀3、截面上殘余應力的分布4、材料截面分類（a，b，c，d）

例題9-3

圖a，b，c所示兩端球形鉸支的組合截面中心壓桿，由兩根110mm×70mm×7mm的角鋼用綴條和綴板聯成整體，材料為Q235鋼，強度許用應力[s]=170MPa。試求該壓桿的穩定許用應力。

解：1.

確定組合截面形心和形心主慣性軸圖c所示組合截面的形心離角鋼短肢的距離顯然就是

y0＝35.7mm，并落在對稱軸y軸上。根據y軸為對稱軸可知，圖c中所示通過組合截面形心的y軸和z軸就是該組合截面的形心主慣性軸。2.

計算組合截面的形心主慣性矩可見，在組合截面對于所有形心軸的慣性矩中，Imax=Iz

，Imin=Iy

,按通常的說法就是z軸為強軸，而y軸為弱軸。3.計算壓桿的柔度此壓桿兩端為球形鉸支座，在各個縱向平面內對桿端的約束相同，故失穩時橫截面將繞弱軸

y軸轉動。壓桿的柔度應據此計算。4.計算壓桿的穩定許用應力按b類截面中心壓桿，由表9－3查得l＝97時j＝0.575，從而得根據上節中所述，中心壓桿的穩定條件可以表達為需要注意的是，式中A所表示的橫截面面積，即使當壓桿被釘孔等局部削弱時也還采用不考慮削弱的毛面積，因為壓桿的穩定性取決于整體的抗彎能力，受局部削弱的影響很小。這與強度計算中必須以橫截面被釘孔等削弱后的凈面積為依據是有所不同的。§9-6壓桿的穩定計算·壓桿的合理截面即或穩定性計算主要解決三方面的問題：

(1)穩定性校核；

(2)選擇截面；

(3)確定許用荷載。在穩定計算中如需按穩定條件選擇壓桿的橫截面尺寸，那么由于查表確定穩定因數j時需要依據與截面尺寸相關的柔度l，所以要用試算法。壓桿的臨界應力隨柔度的減小而增大，因而當桿端約束在各縱向平面內相同時，壓桿的合理截面應是：Ⅰ.對兩個形心主慣性軸的慣性半徑相等的截面，亦即兩個形心主慣性矩相等(

Imax=Imin)的截面；Ⅱ.在橫截面面積相同的條件下，對形心主慣性軸的慣性半徑盡可能大的截面，亦即形心主慣性矩盡可能大的截面。對于桿端約束在壓桿各縱向平面內不同的情況，其橫截面以使壓桿在各縱向平面內的柔度l相同或接近相同為合理。圖示截面中，對于桿端約束在各縱向平面內相同的壓桿來說，正方形截面較矩形截面合理；圓截面合理，且空心圓截面較實心圓截面更合理。圖e所示組合截面其兩個槽鋼的形心間距離h以能使Iy等于或稍大于Iz者為合理。

例題9-4

圖示為簡易起重裝置，其扒桿(圖中的斜桿)為平均直徑d=300mm的紅松，長度

l＝6m，順紋抗壓強度許用應力[s]＝10MPa。試求該扒桿所能承受的許可壓力值。解：1.我國規范的有關規定我國木結構設計規范中對木制壓桿，按樹種的彎曲強度分兩類給出穩定因數j的計算公式。紅松屬于樹種強度TC13級(“13”表示彎曲強度為13MPa)，該等級所屬分類的穩定因數計算公式為時時2.

扒桿的柔度該扒桿在軸向壓力作用下如果在圖示平面內失穩，則由于其上端受水平鋼絲繩的約束而基本上不能產生側向位移而只能轉動，其下端由于銷釘的約束也只能轉動，故扒桿大致相當于兩端鉸支壓桿，長度因數可取為m＝1。扒桿在垂直于圖示平面的方向，其上端通常沒有任何約束，而下端由于受銷釘約束基本上不能轉動而可視為固定端，故長度因數可取為m＝2。比較扒桿在兩個相互垂直平面內的長度因數m，并注意到這是圓截面桿可知，決定該扒桿許可壓力的是垂直于圖示平面內的穩定性。從而有3.

穩定因數及許可壓力因l>91，故按下式計算穩定因數：從而有許可壓力：

例題9-5

廠房的鋼柱由兩根槽鋼組成，并由綴板和綴條聯結成整體，承受軸向壓力F=270kN。根據桿端約束情況，該鋼柱的長度因數取為m＝1.3。鋼柱長7m，材料為Q235鋼，強度許用應力[s]=170MPa。該柱屬于b類截面中心壓桿。由于桿端連接的需要，其同一橫截面上有4個直徑為d0=30mm的釘孔。試為該鋼柱選擇槽鋼號碼。解：1.

按穩定條件選擇槽鋼號碼為保證此槽鋼組合截面壓桿在xz平面內和xy平面內具有同樣的穩定性，應根據ly=lz確定兩槽鋼的合理間距h?，F先按壓桿在xy平面內的穩定條件通過試算選擇槽鋼號碼。假設j＝0.50，得到壓桿的穩定許用應力為因而按穩定條件算得每根槽鋼所需橫截面面積為由型鋼表查得，14a號槽鋼的橫截面面積為A=18.51cm2＝18.51×10-4m2，而它對z軸的慣性半徑為iz=5.52cm=55.2mm。下面來檢查采用兩根14a號槽鋼的組合截面柱其穩定因數j是否不小于假設的j＝0.5。注意到此組合截面對于z軸的慣性矩

Iz

和面積

A都是單根槽鋼的兩倍，故組合截面的iz

值就等于單根槽鋼的iz

值。于是有該組合截面壓桿的柔度：由表9-3查得，Q235鋼b類截面中心壓桿相應的穩定因數為j＝0.262。顯然，前面假設的j＝0.5這個值過大，需重新假設j值再來試算；重新假設的j值大致上取以前面假設的j＝0.5和所得的j＝0.262的平均值為基礎稍偏于所得j的值。重新假設j＝0.35，于是有試選